Условие когерентности

В этой статье есть несколько проблем. Помогите улучшить ее или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) Эта статья требует внимания эксперта по математике . Подробности смотрите на странице обсуждения . WikiProject Mathematics может помочь в поиске эксперта. ( Февраль 2009 ) В этой статье содержится список литературы , сопутствующих материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты .Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Сентябрь 2017 )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

В математике , и в частности в теории категорий , условие когерентности — это набор условий, требующих, чтобы различные композиции элементарных морфизмов были равны. Обычно элементарные морфизмы являются частью данных категории . Теорема когерентности утверждает, что для того, чтобы убедиться, что все эти равенства выполняются, достаточно проверить небольшое количество тождеств.

Часть данных моноидальной категории представляет собой выбранный морфизм , называемый ассоциатором :${\displaystyle \альфа _{A,B,C}}$

${\displaystyle \alpha _{A,B,C}\colon (A\otimes B)\otimes C\rightarrow A\otimes (B\otimes C)}$

для каждой тройки объектов в категории. Используя композиции этих , можно построить морфизм${\displaystyle А,Б,В}$${\displaystyle \альфа _{A,B,C}}$

${\displaystyle ((A_{N}\otimes A_{N-1})\otimes A_{N-2})\otimes \cdots \otimes A_{1})\rightarrow (A_{N}\otimes (A_{N-1}\otimes \cdots \otimes (A_{2}\otimes A_{1})).}$

На самом деле, существует много способов построить такой морфизм как композицию различных . Одно условие согласованности, которое обычно накладывается, состоит в том, что все эти композиции равны.${\displaystyle \альфа _{A,B,C}}$

Обычно условие когерентности доказывается с помощью теоремы когерентности , которая гласит, что нужно проверить лишь несколько равенств композиций, чтобы показать, что остальные также верны. В приведенном выше примере нужно лишь проверить, что для всех четверок объектов следующая диаграмма коммутирует.${\displaystyle А,Б,В,Г}$

Любая пара морфизмов из в , построенная как композиция различных, равна.${\displaystyle ((\cdots (A_{N}\otimes A_{N-1})\otimes \cdots )\otimes A_{2})\otimes A_{1})}$${\displaystyle (A_{N}\otimes (A_{N-1}\otimes (\cdots \otimes (A_{2}\otimes A_{1})\cdots ))}$${\displaystyle \альфа _{A,B,C}}$

Ниже приведены два простых примера, иллюстрирующих определение. Оба взяты непосредственно из определения категории.

Пусть f  : A → B — морфизм категории, содержащей два объекта A и B. С этими объектами связаны тождественные морфизмы 1 _A  : A → A и 1 _B  : B → B. Составляя их с f , мы строим два морфизма:

f o 1 _A  : A → B , и

1 _Б о ф  : А → Б .

Оба являются морфизмами между теми же объектами, что и f . Соответственно, мы имеем следующее утверждение о согласованности:

ф о 1 _А = ф   = 1 _Б о ф .

Пусть f  : A → B , g  : B → C и h  : C → D — морфизмы категории, содержащей объекты A , B , C и D . Повторяя композицию, мы можем построить морфизм из A в D двумя способами:

( h o g ) o f  : A → D , и

h o ( g o f ) : A → D .

Теперь у нас есть следующее утверждение о согласованности:

( h o g ) o f = h o ( g o f ) .

В этих двух конкретных примерах утверждения о когерентности являются теоремами для случая абстрактной категории, поскольку они следуют непосредственно из аксиом; по сути, они являются аксиомами. Для случая конкретной математической структуры их можно рассматривать как условия, а именно как требования к рассматриваемой математической структуре, чтобы быть конкретной категорией, требования, которым такая структура может соответствовать или не соответствовать.