Производственная функция Кобба–Дугласа

В экономике и эконометрике производственная функция Кобба–Дугласа — это особая функциональная форма производственной функции , широко используемая для представления технологической связи между объемами двух или более ресурсов (в частности, физического капитала и труда) и объемом продукции, которая может быть произведена этими ресурсами. Форма Кобба–Дугласа была разработана и проверена на основе статистических данных Чарльзом Коббом и Полом Дугласом в период с 1927 по 1947 год; ^[1] по словам Дугласа, сама функциональная форма была разработана ранее Филиппом Уикстидом . ^[2]

В наиболее стандартной форме для производства одного товара с двумя факторами функция имеет вид:

${\displaystyle Y(L,K)=AL^{\beta }K^{\alpha }}$

где:

• Y = общий объем производства (реальная стоимость всех товаров, произведенных за год или 365,25 дней)
• L = трудозатраты (человеко-часы, отработанные за год или 365,25 дней)
• K = капитальные затраты (мера всех машин, оборудования и зданий; стоимость капитальных затрат, деленная на цену капитала) ^{[ необходимо разъяснение ]}
• A = общая производительность факторов производства
• ${\displaystyle 0<\альфа <1}$и являются эластичностями выпуска капитала и труда соответственно. Эти значения являются константами, определяемыми доступной технологией.${\displaystyle 0<\бета <1}$

Капитал и труд являются двумя «факторами производства» производственной функции Кобба–Дугласа.

Пол Дуглас объяснил, что его первая формулировка производственной функции Кобба–Дугласа была разработана в 1927 году; когда он искал функциональную форму для связи оценок, которые он вычислил для рабочих и капитала, он поговорил с математиком и коллегой Чарльзом Коббом , который предложил функцию вида Y = AL ^β K ^{1− β} , ранее использовавшуюся Кнутом Викселлем , Филиппом Викстидом и Леоном Вальрасом , хотя Дуглас признает только Викстида и Вальраса за их вклад. ^[3] Вскоре после смерти Кнута Викселля в 1926 году Пол Дуглас и Чарльз Кобб впервые реализовали функцию Кобба–Дугласа в своей работе, охватывающей предметный способ теории производителей. ^[4] Оценив это с помощью наименьших квадратов , он получил результат для показателя степени труда 0,75, который впоследствии был подтвержден Национальным бюро экономических исследований как 0,741. Более поздние работы в 1940-х годах побудили их допустить, что показатели степеней K и L могут меняться, что привело к оценкам, которые впоследствии оказались очень близки к улучшенной мере производительности, разработанной в то время. ^[5]

Главной критикой в ​​то время было то, что оценки производственной функции, хотя и казались точными, основывались на таких скудных данных, что им было трудно придать большую достоверность. Дуглас заметил: «Я должен признать, что был обескуражен этой критикой и думал отказаться от усилий, но было что-то, что подсказало мне, что я должен держаться». ^[5] Прорыв произошел с использованием данных переписи населения США , которые были поперечными и предоставили большое количество наблюдений. Дуглас представил результаты этих выводов, наряду с результатами по другим странам, в своем выступлении в 1947 году в качестве президента Американской экономической ассоциации . Вскоре после этого Дуглас занялся политикой и был поражен плохим здоровьем, что привело к небольшому дальнейшему развитию с его стороны. Однако два десятилетия спустя его производственная функция широко использовалась, будучи принятой такими экономистами, как Пол Самуэльсон и Роберт Солоу . ^[5] Производственная функция Кобба-Дугласа особенно примечательна тем, что впервые была разработана, оценена и затем представлена ​​специалистам для анализа совокупная или общеэкономическая производственная функция; она ознаменовала собой эпохальное изменение в подходе экономистов к макроэкономике с точки зрения микроэкономики. ^[6]

Предельный продукт фактора производства — это изменение объема производства при изменении этого фактора производства, при этом все остальные факторы производства, а также общая производительность факторов производства остаются неизменными.

Предельный продукт капитала соответствует первой производной производственной функции по капиталу:${\displaystyle МПК}$

${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}=\alpha AL^{\beta }K^{\alpha -1}=\alpha {\frac {AL^{\beta }K^{\alpha }}{K}}=\alpha {\frac {Y}{K}}}$

Потому что (и также) мы обнаруживаем, что предельный продукт капитала всегда положителен; то есть увеличение капитала приводит к увеличению выпуска.${\displaystyle \альфа >0}$${\displaystyle Y>0,K>0}$

Мы также обнаружили, что увеличение совокупной производительности факторов производства увеличивает предельный продукт капитала.${\displaystyle А}$

Аналогичное рассуждение справедливо и для труда.

Взяв производную предельного продукта капитала по капиталу (т.е. взяв вторую производную производственной функции по капиталу), имеем:

${\displaystyle {\frac {\partial MPK}{\partial K}}={\frac {\partial ^{2}Y}{\partial K^{2}}}={\frac {\partial }{\partial K}}(AL^{\beta }\alpha K^{\alpha -1})=AL^{\beta }\alpha (\alpha -1)K^{\alpha -2}=\alpha (\alpha -1)AL^{\beta }{\frac {K^{\alpha }}{K^{2}}}=\alpha (\alpha -1){\frac {Y}{K^{2}}}}$

Потому что , тогда и так .${\displaystyle \alpha <1}$${\displaystyle \alpha -1<0}$${\displaystyle {\dfrac {\partial MPK}{\partial K}}<0}$

Таким образом, эта функция удовлетворяет закону «убывающей доходности»; то есть предельный продукт капитала, хотя всегда положительный, уменьшается. По мере увеличения капитала (при сохранении постоянной производительности труда и совокупной производительности факторов) выпуск увеличивается, но с убывающей скоростью.

Аналогичные рассуждения справедливы и для труда.

Мы можем изучить, что происходит с предельным продуктом капитала при увеличении труда, взяв частную производную предельного продукта капитала по труду, то есть перекрестную производную выпуска по капиталу и труду:

${\displaystyle {\dfrac {\partial MPK}{\partial L}}={\dfrac {\partial ^{2}Y}{\partial K\partial L}}={\dfrac {\partial }{\partial L}}(AL^{\beta }\alpha K^{\alpha -1})=A\beta L^{\beta -1}\alpha K^{\alpha -1}=A\alpha \beta {\dfrac {L^{\beta }K^{\alpha }}{LK}}=\alpha \beta {\dfrac {Y}{LK}}}$

Так как , увеличение труда увеличивает предельный продукт капитала.${\displaystyle {\dfrac {\partial MPK}{\partial L}}>0}$

Эластичность выпуска измеряет чувствительность выпуска к изменению уровня труда или капитала, используемого в производстве, при прочих равных условиях . Например, если α = 0,45 , то увеличение использования капитала на 1% приведет к увеличению выпуска примерно на 0,45% .

Иногда этот термин имеет более узкое значение, требуя, чтобы функция демонстрировала постоянную отдачу от масштаба , что означает, что увеличение капитала K и труда L в k раз также увеличивает выпуск Y в том же размере, то есть . Это справедливо, если .${\displaystyle Y(kL,kK)=kY(L,K)}$${\displaystyle \alpha +\beta =1}$

Если , то отдача от масштаба уменьшается, что означает, что увеличение капитала K и труда L в k раз приведет к увеличению выпуска Y, меньшему, чем в k раз , то есть . ^[7]${\displaystyle \alpha +\beta <1}$${\displaystyle Y(kL,kK)<kY(L,K)}$

Если , то отдача от масштаба увеличивается, что означает, что увеличение капитала K и труда L в k раз приводит к увеличению выпуска Y больше, чем в k раз , то есть . ^[7]${\displaystyle \alpha +\beta >1}$${\displaystyle Y(kL,kK)>kY(L,K)}$

В условиях совершенной конкуренции факторы производства вознаграждаются по их совокупному предельному продукту.

Предельный продукт капитала определяется по формуле: . Это вознаграждение за каждую единицу капитала. Чтобы узнать вознаграждение за весь капитал, умножим эту величину на :${\displaystyle MPK=\alpha {\dfrac {Y}{K}}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\text{Capital earnings}}=K\cdot MPK=\alpha Y}$.

Таким образом, доля продукции будет вознаграждать капитал.${\displaystyle \alpha }$

Рассуждая аналогичным образом, мы можем обнаружить, что доля продукции будет вознаграждать труд.${\displaystyle \beta }$

Эти акции составляют в сумме 100% объема производства только в том случае, если .${\displaystyle \alpha +\beta =1}$

В обобщенном виде функция Кобба–Дугласа моделирует более двух товаров. Функция Кобба–Дугласа может быть записана как ^[8]

${\displaystyle f(x)=A\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\lambda _{i}},\qquad x=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

где

• A — параметр эффективности
• n — общее количество входных переменных (товаров)
• x ₁ , ..., x _n — (неотрицательные) количества потребленных, произведенных и т. д. благ.
• ${\displaystyle \lambda _{i}}$является параметром эластичности для хорошего i

Функция подверглась критике за отсутствие обоснованности. На Кобба и Дугласа повлияли статистические данные, которые, по-видимому, показывали, что доли труда и капитала в общем объеме производства были постоянными с течением времени в развитых странах; они объяснили это статистической подгонкой регрессии наименьших квадратов их производственной функции. В настоящее время широко признано, что доля труда снижается в индустриальных экономиках. ^{[9] [10]} Производственная функция содержит основное предположение, которое не всегда может обеспечивать наиболее точное представление производственных возможностей страны и эффективности предложения. Это предположение представляет собой «постоянную долю труда в объеме производства», что может быть неэффективным при применении к случаям стран, рынки труда которых растут значительными темпами. ^[11] Еще одной проблемой в фундаментальной композиции производственной функции Кобба–Дугласа является наличие смещения одновременного уравнения. Когда предполагается конкуренция, смещение одновременного уравнения влияет на все типы функций, включающие решения фирм, включая функцию Кобба–Дугласа. В некоторых случаях это смещение одновременного уравнения не проявляется. Однако оно очевидно при использовании асимптотических приближений наименьших квадратов. ^[12]

Производственная функция Кобба-Дугласа не была разработана на основе каких-либо знаний в области инженерии, технологий или управления производственным процессом ^{[ требуется ссылка ]} . Это обоснование может быть верным, учитывая определение термина Капитал. Рабочие часы и Капитал нуждаются в лучшем определении. Если капитал определяется как здание, труд уже включен в разработку этого здания. Здание состоит из товаров, труда, рисков и общих условий. Вместо этого оно было разработано, потому что имело привлекательные математические характеристики ^{[ требуется ссылка ]} , такие как убывающая предельная доходность любого фактора производства и свойство, что оптимальные доли расходов на любой заданный ввод фирмы, эксплуатирующей технологию Кобба-Дугласа, являются постоянными. Первоначально для этого не было никаких полезных основ. В современную эпоху некоторые экономисты пытаются строить модели на основе действий отдельных агентов, а не навязывать функциональную форму всей экономике ^{[ требуется ссылка ]} . Производственная функция Кобба-Дугласа, если она правильно определена, может применяться на микроэкономическом уровне вплоть до макроэкономического уровня.

Однако многие современные авторы ^{[ кто? ]} разработали модели, которые дают микроэкономически обоснованные производственные функции Кобба-Дугласа, включая многие новые кейнсианские модели. ^[13] Тем не менее, было бы математической ошибкой предполагать, что только потому, что функция Кобба-Дугласа применяется на микроэкономическом уровне, она также всегда применяется на макроэкономическом уровне. Аналогично, не обязательно, что макро-Кобба-Дугласа применяется на дезагрегированном уровне. Раннее микрооснование совокупной технологии Кобба-Дугласа, основанное на линейных видах деятельности, получено в Houthakker (1955). ^[14] Производственная функция Кобба-Дугласа не согласуется с современными эмпирическими оценками эластичности замещения между капиталом и трудом, которые предполагают, что капитал и труд являются валовыми дополнениями. Метаанализ 3186 оценок 2021 года приходит к выводу, что «вес доказательств, накопленных в эмпирической литературе, решительно отвергает спецификацию Кобба-Дугласа». ^[15]

Функция Кобба–Дугласа часто используется как функция полезности . ^{[16] [8]} Полезность является функцией количества потребляемых товаров :${\displaystyle {\tilde {u}}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\tilde {u}}(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\lambda _{i}}}$

Функции полезности представляют порядковые предпочтения и не имеют натуральных единиц, в отличие от производственных функций. В результате монотонное преобразование функции полезности представляет те же предпочтения. В отличие от производственной функции Кобба–Дугласа, где сумма показателей определяет степень экономии масштаба , для функции полезности сумма может быть нормализована до единицы, поскольку нормализация является монотонным преобразованием исходной функции полезности. Таким образом, определим и , так что , и запишем функцию полезности как:${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}$${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1}$

${\displaystyle u(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}}$

Потребитель максимизирует полезность при условии бюджетного ограничения, что стоимость товара меньше его богатства . Обозначив цены товаров, она решает:${\displaystyle w}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle \max _{x_{i}}\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}\quad {\text{ subject to the constraint }}\quad \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}=w}$

Оказывается, решение для спроса Кобба–Дугласа следующее:

${\displaystyle \forall j:\qquad x_{j}^{\star }={\frac {w\alpha _{j}}{p_{j}}}}$

Поскольку , потребитель тратит часть своего богатства на товар j . Обратите внимание, что это решение для или , поскольку одни и те же предпочтения порождают один и тот же спрос.${\displaystyle \alpha _{j}={\frac {p_{j}x_{j}^{*}}{w}}}$${\displaystyle \alpha _{j}}$${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle {\tilde {u}}(x),}$

Косвенную функцию полезности можно рассчитать, подставив спрос в функцию полезности. Определим константу и получим:${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle K=\prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\alpha _{i}}}$

${\displaystyle v(p,w)=\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {w\alpha _{i}}{p_{i}}}\right)^{\alpha _{i}}={\frac {\prod _{i=1}^{n}w^{\alpha _{i}}\cdot \prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\alpha _{i}}}{\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}=K\left({\frac {w}{\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}\right)}$

что является частным случаем полярной формы Гормана . Функция расходов является обратной функцией косвенной функции полезности: ^{[17] : 112}

${\displaystyle e(p,u)=(1/K)\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}u}$

Форму функции Кобба–Дугласа можно оценить как линейную зависимость, используя следующее выражение:

${\displaystyle \ln(Y)=a_{0}+\sum _{i}a_{i}\ln(I_{i})}$

где

• ${\displaystyle Y={\text{output}}}$
• ${\displaystyle I_{i}={\text{inputs}}}$
• ${\displaystyle a_{i}={\text{model coefficients}}}$

Модель также может быть записана как

${\displaystyle Y=e^{a_{0}}(I_{1})^{a_{1}}\cdot (I_{2})^{a_{2}}\cdots }$

Как уже отмечалось, обычная функция Кобба–Дугласа, используемая в макроэкономическом моделировании, имеет вид

${\displaystyle Y=K^{\alpha }L^{\beta }}$

где K — капитал, а L — труд. Когда показатель степени модели в сумме равен единице, производственная функция является однородной первого порядка , что подразумевает постоянную отдачу от масштаба — то есть, если все входы масштабируются общим множителем, большим нуля, выпуск будет масштабироваться тем же множителем.

Производственная функция постоянной эластичности замещения (CES) (в двухфакторном случае) имеет вид

${\displaystyle Y=A\left(\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha )L^{\gamma }\right)^{1/\gamma },}$

в котором предельный случай γ = 0 соответствует функции Кобба–Дугласа с постоянной отдачей от масштаба. ^[18]${\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha },}$

Чтобы увидеть это, рассмотрим журнал функции CES:

${\displaystyle \ln(Y)=\ln(A)+{\frac {1}{\gamma }}\ln \left(\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha )L^{\gamma }\right)}$

можно довести до предела, применив правило Лопиталя :

${\displaystyle \lim _{\gamma \to 0}\ln(Y)=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha )\ln(L).}$

Поэтому, .${\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }}$

Транслогарифмическая производственная функция является аппроксимацией функции CES полиномом Тейлора второго порядка по переменной около , т.е. случай Кобба–Дугласа. ^{[19] [20]} Название транслогарифмическая означает «трансцендентный логарифмический». Она часто используется в эконометрике из-за того, что она линейна по параметрам, что означает, что можно использовать обычный метод наименьших квадратов, если входные данные можно считать экзогенными .${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma =0}$

В двухфакторном случае выше транслогарифмическая производственная функция имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(Y)&=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha )\ln(L)+{\frac {1}{2}}\gamma \alpha (1-\alpha )\left[\ln(K)-\ln(L)\right]^{2}\\&=\ln(A)+a_{K}\ln(K)+a_{L}\ln(L)+b_{KK}\ln ^{2}(K)+b_{LL}\ln ^{2}(L)+b_{KL}\ln(K)\ln(L)\end{aligned}}}$

где , , , , и определены соответствующим образом. В трехфакторном случае транслогарифмическая производственная функция имеет вид:${\displaystyle a_{K}}$${\displaystyle a_{L}}$${\displaystyle b_{KK}}$${\displaystyle b_{LL}}$${\displaystyle b_{KL}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(Y)&=\ln(A)+a_{L}\ln(L)+a_{K}\ln(K)+a_{M}\ln(M)+b_{LL}\ln ^{2}(L)+b_{KK}\ln ^{2}(K)+b_{MM}\ln ^{2}(M)\\&{}\qquad \qquad +b_{LK}\ln(L)\ln(K)+b_{LM}\ln(L)\ln(M)+b_{KM}\ln(K)\ln(M)\\&=f(L,K,M).\end{aligned}}}$

где = совокупная производительность факторов производства, = труд, = капитал, = материалы и принадлежности, = выпуск продукции.${\displaystyle A}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Y}$

• Производственная функция Леонтьева
• Граница производства-возможностей
• Теория производства

• Реншоу, Джефф (2005). Математика для экономики . Нью-Йорк: Oxford University Press. С. 516–526. ISBN 0-19-926746-4.

На Викискладе есть медиафайлы по теме « Производственные функции Кобба–Дугласа» .

• Анатомия производственных функций типа Кобба-Дугласа в 3D
• Анализ функции Кобба-Дугласа как функции полезности. Архивировано 03.10.2014 на Wayback Machine.
• Закрытое решение для фирмы с N-факторной производственной функцией