G-функция Барнса

В математике G-функция Барнса G ( z ) — это функция , которая является расширением суперфакториалов до комплексных чисел . Она связана с гамма-функцией , K-функцией и константой Глейшера–Кинкелина и была названа в честь математика Эрнеста Уильяма Барнса . ^[1] Она может быть записана в терминах двойной гамма-функции .

Формально G -функция Барнса определяется в следующей форме произведения Вейерштрасса :

${\displaystyle G(1+z)=(2\pi )^{z/2}\exp \left(-{\frac {z+z^{2}(1+\gamma )}{2}}\right)\,\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}$

где — постоянная Эйлера–Маскерони , exp ( x ) = e ^x — показательная функция, а Π обозначает умножение ( обозначение с заглавной буквой пи ).${\displaystyle \,\гамма}$

Интегральное представление, которое можно вывести из соотношения к двойной гамма-функции , имеет вид

${\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {1-e^{-zt}}{4\sinh ^{2}{\frac {t}{2}}}}+{\frac {z^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {z}{t}}\right]}$

Как целая функция , G имеет порядок два и бесконечный тип. Это можно вывести из асимптотического разложения, приведенного ниже.

G -функция Барнса удовлетворяет функциональному уравнению

${\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)\,G(z)}$

с нормировкой G (1) = 1. Обратите внимание на сходство между функциональным уравнением G-функции Барнса и уравнением гамма-функции Эйлера :

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z).}$

Функциональное уравнение подразумевает, что G принимает следующие значения при целочисленных аргументах:

${\displaystyle G(n)={\begin{cases}0&{\text{if }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\text{if }}n=1,2,\dots \end{cases}}}$

(в частности, ) и таким образом${\displaystyle \,G(0)=0,G(1)=1}$

${\displaystyle G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}}$

где обозначает гамма-функцию , а K обозначает K-функцию . Функциональное уравнение однозначно определяет G-функцию Барнса, если выполняется условие выпуклости, ${\displaystyle \,\Гамма (x)}$

${\displaystyle (\forall x\geq 1)\,{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}\log(G(x))\geq 0}$

добавлено. ^[2] Кроме того, G-функция Барнса удовлетворяет формуле удвоения, ^[3]

${\displaystyle G(x)G\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}G(x+1)=e^{\frac {1}{4}}A^{-3}2^{-2x^{2}+3x-{\frac {11}{12}}}\pi ^{x-{\frac {1}{2}}}G\left(2x\right)}$,

где — константа Глейшера–Кинкелина .${\displaystyle А}$

Аналогично теореме Бора–Моллерупа для гамма-функции , для константы имеем для ^[4]${\displaystyle с>0}$${\displaystyle f(x)=cG(x)}$

${\displaystyle f(x+1)=\Гамма (x)f(x)}$

и для${\displaystyle х>0}$

${\displaystyle f(x+n)\sim \Гамма (x)^{n}n^{x \выберите 2}f(n)}$

как .${\displaystyle n\to \infty }$

Разностное уравнение для G-функции в сочетании с функциональным уравнением для гамма-функции можно использовать для получения следующей формулы отражения для G-функции Барнса (первоначально доказанной Германом Кинкелином ):

${\displaystyle \log G(1-z)=\log G(1+z)-z\log 2\pi +\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx.}$

Логарифмический интеграл в правой части можно оценить через функцию Клаузена (порядка 2), как показано ниже:

${\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)}$

Доказательство этого результата основано на следующей оценке котангенса интеграла: вводя обозначение для логарифмического котангенса интеграла и используя тот факт, что , интегрирование по частям дает${\displaystyle \operatorname {Lc} (z)}$${\displaystyle \,(d/dx)\log(\sin \pi x)=\pi \cot \pi x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Lc} (z)&=\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(\sin \pi x)\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}{\Bigg [}\log(2\sin \pi x)-\log 2{\Bigg ]}\,dx\\&=z\log(2\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(2\sin \pi x)\,dx.\end{aligned}}}$

Выполнение интегральной замены дает${\displaystyle \,y=2\pi x\Rightarrow dx=dy/(2\pi )}$

${\displaystyle z\log(2\sin \pi z)-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi z}\log \left(2\sin {\frac {y}{2}}\right)\,dy.}$

Функция Клаузена – второго порядка – имеет интегральное представление

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log {\Bigg |}2\sin {\frac {x}{2}}{\Bigg |}\,dx.}$

Однако в пределах интервала знак абсолютного значения в подынтегральном выражении можно опустить, поскольку в пределах интервала функция «полусинус» в интеграле строго положительна и строго не равна нулю. Сравнивая это определение с результатом выше для логтангенсного интеграла, очевидно, выполняется следующее соотношение:${\displaystyle \,0<\theta <2\pi }$

${\displaystyle \operatorname {Lc} (z)=z\log(2\sin \pi z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z).}$

Таким образом, после небольшой перестановки терминов доказательство завершено:

${\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)\,.\,\Box }$

Используя соотношение и разделив формулу отражения на коэффициент, получаем эквивалентную форму:${\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)}$${\displaystyle \,2\pi }$

${\displaystyle \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)=z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\log \Gamma (z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)}$

Адамчик (2003) дал эквивалентную форму формулы отражения , но с другим доказательством. ^[5]

Заменяем z на ⁠1/2⁠  −  z в предыдущей формуле отражения дает, после некоторого упрощения, эквивалентную формулу, показанную ниже (с участием полиномов Бернулли ):

${\displaystyle \log \left({\frac {G\left({\frac {1}{2}}+z\right)}{G\left({\frac {1}{2}}-z\right)}}\right)=\log \Gamma \left({\frac {1}{2}}-z\right)+B_{1}(z)\log 2\pi +{\frac {1}{2}}\log 2+\pi \int _{0}^{z}B_{1}(x)\tan \pi x\,dx}$

По теореме Тейлора и с учетом логарифмических производных функции Барнса можно получить следующее разложение в ряд:

${\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}.}$

Это справедливо для . Здесь — дзета-функция Римана :${\displaystyle \,0<z<1}$${\displaystyle \,\zeta (x)}$

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$

Возведение обеих частей разложения Тейлора в степень дает:

${\displaystyle {\begin{aligned}G(1+z)&=\exp \left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]\\&=(2\pi )^{z/2}\exp \left[-{\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right]\exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right].\end{aligned}}}$

Сравнение этого с формой произведения Вейерштрасса функции Барнса дает следующее соотношение:

${\displaystyle \exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]=\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}$

Как и гамма-функция, G-функция также имеет формулу умножения: ^[6]

${\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right)}$

где — константа, определяемая выражением:${\displaystyle K(n)}$

${\displaystyle K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.}$

Здесь — производная дзета-функции Римана , — константа Глейшера–Кинкелина .${\displaystyle \zeta ^{\prime }}$${\displaystyle A}$

Справедливо, что , таким образом . Из этого соотношения и представленной выше формы произведения Вейерштрасса можно показать, что${\displaystyle G({\overline {z}})={\overline {G(z)}}}$${\displaystyle |G(z)|^{2}=G(z)G({\overline {z}})}$

${\displaystyle |G(x+iy)|=|G(x)|\exp \left(y^{2}{\frac {1+\gamma }{2}}\right){\sqrt {1+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}}}{\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {y^{2}}{(x+k)^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{k}}\right)}}.}$

Это соотношение справедливо для произвольных , и . Если , то вместо этого справедлива следующая формула:${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0,-1,-2,\dots \}}$${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle |G(iy)|=y\exp \left(y^{2}{\frac {1+\gamma }{2}}\right){\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {y^{2}}{k^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{k}}\right)}}}$

для произвольного действительного y .

Логарифм G ( z + 1) имеет следующее асимптотическое разложение, как установлено Барнсом :

${\displaystyle {\begin{aligned}\log G(z+1)={}&{\frac {z^{2}}{2}}\log z-{\frac {3z^{2}}{4}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {1}{12}}\log z\\&{}+\left({\frac {1}{12}}-\log A\right)+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}~+~O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).\end{aligned}}}$

Здесь — числа Бернулли , а — постоянная Глейшера–Кинкелина . (Обратите внимание, что во времена Барнса ^[7] число Бернулли было бы записано как , но это соглашение больше не актуально.) Это разложение справедливо для в любом секторе, не содержащем отрицательную вещественную ось с большим .${\displaystyle B_{k}}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{2k}}$${\displaystyle (-1)^{k+1}B_{k}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle |z|}$

Параметрическую логарифмическую гамма можно оценить с помощью G-функции Барнса: ^[5]

${\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)}$

• Askey, RA; Roy, R. (2010), "G-функция Барнса", в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.