Скороход интеграл

В математике интеграл Скорохода , также называемый интегралом Хицуды–Скорохода , часто обозначаемый , является оператором большой важности в теории случайных процессов . Он назван в честь украинского математика Анатолия Скорохода и японского математика Масуюки Хицуды. Часть его важности заключается в том, что он объединяет несколько концепций:${\displaystyle \дельта}$

• ${\displaystyle \дельта}$является расширением интеграла Ито на неадаптированные процессы ;
• ${\displaystyle \дельта}$является сопряженной к производной Маллявэна , которая является основополагающей для стохастического вариационного исчисления ( исчисления Маллявэна );
• ${\displaystyle \дельта}$является бесконечномерным обобщением оператора дивергенции из классического векторного исчисления .

Интеграл был введен Хицудой в 1972 году ^[1] и Скороходом в 1975 году ^[2].

Рассмотрим фиксированное вероятностное пространство и пространство Гильберта ; обозначает ожидание относительно${\displaystyle (\Омега,\Сигма,\mathbf {P})}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {P} }$

$${\displaystyle \mathbf {E} [X]:=\int _ {\Omega }X(\omega)\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega).}$$

Интуитивно говоря, производная Маллявэна случайной величины в определяется путем ее разложения по гауссовым случайным величинам, параметризованным элементами из , и формального дифференцирования разложения; интеграл Скорохода является сопряженной операцией к производной Маллявэна.${\displaystyle F}$${\displaystyle L^{p}(\Omega)}$${\displaystyle H}$

Рассмотрим семейство -значных случайных величин , индексированных элементами гильбертова пространства . Предположим далее, что каждая из них является гауссовой ( нормальной ) случайной величиной, что отображение, приводящее к, является линейным отображением , и что структура среднего и ковариации задается как${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle W(ч)}$${\displaystyle ч}$${\displaystyle H}$${\displaystyle W(ч)}$${\displaystyle ч}$${\displaystyle W(ч)}$

$${\displaystyle \mathbf {E} [W(h)]=0,}$$$${\displaystyle \mathbf {E} [W(g)W(h)]=\langle g,h\rangle _{H},}$$

для всех и в . Можно показать, что при задании всегда существует вероятностное пространство и семейство случайных величин с указанными выше свойствами. Производная Маллявэна по существу определяется путем формального задания производной случайной величины как , а затем расширения этого определения до « достаточно гладких » случайных величин. Для случайной величины вида${\displaystyle г}$${\displaystyle ч}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle (\Омега,\Сигма,\mathbf {P})}$${\displaystyle W(ч)}$${\displaystyle ч}$${\displaystyle F}$

$${\displaystyle F=f(W(h_{1}),\ldots ,W(h_{n})),}$$

где — гладкая, производная Маллявэна определяется с использованием более раннего «формального определения» и цепного правила:${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \mathrm {D} F:=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(W(h_{1}),\ldots ,W(h_{n}))h_{i}.}$$

Другими словами, в то время как была действительной случайной величиной, ее производная является -значной случайной величиной, элементом пространства . Конечно, эта процедура определяет только для "гладких" случайных величин, но процедура аппроксимации может быть использована для определения для в большом подпространстве ; область определения является замыканием гладких случайных величин в полунорме  :${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathrm {D} F}$${\displaystyle H}$${\displaystyle L^{p}(\Omega ;H)}$${\displaystyle \mathrm {D} F}$${\displaystyle \mathrm {D} F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$${\displaystyle \mathrm {D} }$

$${\displaystyle \|F\|_{1,p}:={\big (}\mathbf {E} [|F|^{p}]+\mathbf {E} [\|\mathrm {D} F\|_{H}^{p}]{\big )}^{1/p}.}$$

Это пространство обозначается и называется пространством Ватанабэ–Соболева.${\displaystyle \mathbf {D} ^{1,p}}$

Для простоты рассмотрим теперь только случай . Интеграл Скорохода определяется как -сопряженный к производной Маллявэна . Так же, как не был определен на всем , не определен на всем : область определения состоит из тех процессов в , для которых существует константа такая, что для всех в ,${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \mathrm {D} }$${\displaystyle \mathrm {D} }$${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle L^{2}(\Omega ;H)}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle u}$${\displaystyle L^{2}(\Omega ;H)}$${\displaystyle C(u)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbf {D} ^{1,2}}$

$${\displaystyle {\big |}\mathbf {E} [\langle \mathrm {D} F,u\rangle _{H}]{\big |}\leq C(u)\|F\|_{L^{2}(\Omega )}.}$$

Интеграл Скорохода процесса в — это действительная случайная величина в ; если лежит в области определения , то определяется соотношением, что для всех ,${\displaystyle u}$${\displaystyle L^{2}(\Omega ;H)}$${\displaystyle \delta u}$${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta u}$${\displaystyle F\in \mathbf {D} ^{1,2}}$

$${\displaystyle \mathbf {E} [F\,\delta u]=\mathbf {E} [\langle \mathrm {D} F,u\rangle _{H}].}$$

Так же, как производная Маллявэна была впервые определена для простых, гладких случайных величин, интеграл Скорохода имеет простое выражение для «простых процессов»: если задается как${\displaystyle \mathrm {D} }$${\displaystyle u}$

$${\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}F_{j}h_{j}}$$

с гладким и в , тогда${\displaystyle F_{j}}$${\displaystyle h_{j}}$${\displaystyle H}$

$${\displaystyle \delta u=\sum _{j=1}^{n}\left(F_{j}W(h_{j})-\langle \mathrm {D} F_{j},h_{j}\rangle _{H}\right).}$$

• Свойство изометрии : для любого процесса в , который лежит в области , Если — адаптированный процесс, то для , поэтому второй член в правой части обращается в нуль. Интегралы Скорохода и Ито в этом случае совпадают, и приведенное выше уравнение становится изометрией Ито .${\displaystyle u}$${\displaystyle \mathbf {D} ^{1,p}}$${\displaystyle \delta }$$${\displaystyle \mathbf {E} {\big [}(\delta u)^{2}{\big ]}=\mathbf {E} \int |u_{t}|^{2}dt+\mathbf {E} \int D_{s}u_{t}\,D_{t}u_{s}\,ds\,dt.}$$${\displaystyle u}$${\displaystyle D_{s}u_{t}=0}$${\displaystyle s>t}$
• Производная интеграла Скорохода определяется формулой , где обозначает случайную величину, которая является значением процесса в «момент времени» .$${\displaystyle \mathrm {D} _{h}(\delta u)=\langle u,h\rangle _{H}+\delta (\mathrm {D} _{h}u),}$$${\displaystyle \mathrm {D} _{h}X}$${\displaystyle (\mathrm {D} X)(h)}$${\displaystyle \mathrm {D} X}$${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$
• Интеграл Скорохода от произведения случайной величины в и процесса в определяется формулой${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbf {D} ^{1,2}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \operatorname {dom} (\delta )}$$${\displaystyle \delta (Fu)=F\,\delta u-\langle \mathrm {D} F,u\rangle _{H}.}$$

Альтернативой интегралу Скорохода является интеграл Огавы .

• "Скороход интеграл", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС , 2001 [1994]
• Оконе, Дэниел Л. (1988). «Руководство по стохастическому вариационному исчислению». Стохастический анализ и смежные темы (Силиври, 1986) . Конспект лекций по математике. 1316. Берлин: Springer. С.  1–79 . MR 953793
• Санс-Соле, Марта (2008). «Применение исчисления Маллявэна к стохастическим уравнениям в частных производных (лекции, прочитанные в Имперском колледже Лондона, 7–11 июля 2008 г.)» (PDF) . Получено 09.07.2008 .