Классическое пространство Винера

В этой статье есть несколько проблем. Помогите улучшить ее или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) Эта статья требует внимания эксперта по математике . Пожалуйста, добавьте причину или параметр обсуждения в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. WikiProject Mathematics может помочь в поиске эксперта. ( Февраль 2023 ) Для проверки данной статьи необходимы дополнительные цитаты .Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденный материал может быть оспорен и удален. Найти источники:  "Classical Wiener space" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( Февраль 2023 )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

В математике классическое пространство Винера — это совокупность всех непрерывных функций на заданной области (обычно подынтервале действительной прямой ), принимающих значения в метрическом пространстве (обычно n -мерном евклидовом пространстве ). Классическое пространство Винера полезно при изучении стохастических процессов , траектории выборок которых являются непрерывными функциями. Оно названо в честь американского математика Норберта Винера .

Рассмотрим E ⊆ Rn и метрическое пространство ( M , d ). Классическое пространство Винера C ( E ; M ) — это пространство всех непрерывных функций f  : E → M. То ^есть для каждого фиксированного t в E ,

${\displaystyle d(f(s),f(t))\to 0}$как${\displaystyle |st|\to 0.}$

Почти во всех приложениях берут E = [0,  T  ] или [0, +∞) и M = R ⁿ для некоторого n из N . Для краткости запишем C для C ([0,  T  ]; R ⁿ ); это векторное пространство . Запишем C ₀ для линейного подпространства , состоящего только из тех функций , которые принимают значение ноль в инфимуме множества E . Многие авторы называют C ₀ «классическим винеровским пространством».

Для стохастического процесса и пространства всех функций от до , мы смотрим на карту . Затем мы можем определить координатные карты или канонические версии, определенные с помощью . Форма другого процесса. Мера Винера тогда является единственной мерой на такой, что координатный процесс является броуновским движением. ^[1]${\displaystyle \{X_{t},t\in T\}:(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\to (E,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(T,E)}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \varphi :\Omega \to {\mathcal {F}}(T,E)\cong E^{T}}$ ${\displaystyle Y_{t}:E^{T}\to E}$${\displaystyle Y_{t}(\omega)=\omega (t)}$${\displaystyle \{Y_{t},t\in T\}}$${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} )}$

Векторному пространству C можно придать равномерную норму

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in [0,\,T]}|f(t)|}$

превращая его в нормированное векторное пространство (фактически банахово пространство, поскольку ). Эта норма индуцирует метрику на C обычным образом: . Топология, порожденная открытыми множествами в этой метрике, является топологией равномерной сходимости на [0,  T  ], или равномерной топологией .${\displaystyle [0,Т]}$${\displaystyle d(f,g):=\|fg\|}$

Думая о домене [0,  T  ] как о "времени", а о диапазоне R ⁿ как о "пространстве", интуитивное представление о равномерной топологии состоит в том, что две функции "близки", если мы можем "слегка пошевелить пространство" и заставить график f лечь на график g , оставив время фиксированным. Сравните это с топологией Скорохода , которая позволяет нам "пошевелить" как пространство, так и время.

Если взглянуть на более общую область с ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\geq 0}|f(t)|,}$

то пространство Винера больше не является банаховым пространством, однако его можно превратить в таковое, если пространство Винера определить при дополнительном ограничении

${\displaystyle \lim \limits _{s\to \infty }s^{-1}|f(s)|=0.}$

Относительно равномерной метрики C является как сепарабельным , так и полным пространством :

• отделимость является следствием теоремы Стоуна–Вейерштрасса ;
• полнота является следствием того факта, что равномерный предел последовательности непрерывных функций сам по себе непрерывен.

Поскольку оно одновременно сепарабельно и полно, C является польским пространством .

Напомним, что модуль непрерывности для функции f  : [0,  T  ] → R ⁿ определяется как

${\displaystyle \omega _{f}(\delta ):=\sup \left\{|f(s)-f(t)|:s,t\in [0,T],\,|st|\leq \delta \right\}.}$

Это определение имеет смысл, даже если f не является непрерывной, и можно показать, что f является непрерывной тогда и только тогда, когда ее модуль непрерывности стремится к нулю при δ → 0:

${\displaystyle f\in C\если \omega _{f}(\delta )\to 0{\text{ как }}\delta \to 0}$.

Применяя теорему Арцела-Асколи , можно показать, что последовательность вероятностных мер на классическом пространстве Винера C является плотной тогда и только тогда, когда выполняются оба следующих условия:${\displaystyle (\mu _{n})_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle \lim _{a\to \infty}\limsup _{n\to \infty}\mu _{n}\{f\in C\mid |f(0)|\geq a\}=0,}$и

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C\mid \omega _{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0}$для всех ε > 0.

Существует «стандартная» мера на C ₀ , известная как классическая мера Винера (или просто мера Винера ). Мера Винера имеет (по крайней мере) две эквивалентные характеристики:

Если определить броуновское движение как марковский стохастический процесс B  : [0,  T  ] × Ω → R ⁿ , начинающийся в начале координат, с почти наверняка непрерывными траекториями и независимыми приращениями

${\displaystyle B_{t}-B_{s}\sim \,\mathrm {Нормальный} \left(0,|ts|\right),}$

тогда классическая мера Винера γ является законом процесса B.

В качестве альтернативы можно использовать конструкцию абстрактного пространства Винера , в которой классическая мера Винера γ является радонификацией канонического гауссовского цилиндрического множества меры на гильбертовом пространстве Камерона-Мартина, соответствующем C ₀ .

Классическая мера Винера является гауссовой мерой : в частности, это строго положительная вероятностная мера.

Если задана классическая мера Винера γ на C ₀ , то произведение меры γ ⁿ × γ является вероятностной мерой на C , где γ ⁿ обозначает стандартную гауссовскую меру на R ⁿ .

• Абстрактное пространство Винера
• Пространство Скорохода , обобщение классического пространства Винера, допускающее разрывность функций
• процесс Винера