Анализ характеристического режима

Характерные моды (ХМ) образуют набор функций, который при определенных граничных условиях диагонализирует оператор, связывающий полевые и индуцированные источники . При определенных условиях набор ХМ является единственным и полным (по крайней мере, теоретически) и тем самым способен в полной мере описывать поведение изучаемого объекта.

В данной статье рассматривается разложение характеристических мод в электромагнетизме — области, в которой первоначально была предложена теория КМ.

Разложение CM первоначально было введено как набор мод, диагонализующих матрицу рассеяния. ^{[1] [2]} Впоследствии теория была обобщена Харрингтоном и Маутцем для антенн. ^{[3] [4]} Харрингтон, Маутц и их ученики также успешно разработали несколько других расширений теории. ^{[5] [6] [7] [8]} Несмотря на то, что некоторые предшественники ^[9] были опубликованы еще в конце 1940-х годов, полный потенциал CM оставался непризнанным в течение дополнительных 40 лет. Возможности CM были пересмотрены ^[10] в 2007 году, и с тех пор интерес к CM резко возрос. Последующий бум теории CM отражен в ряде выдающихся публикаций и приложений.

Для простоты в этой статье будет рассматриваться только исходная форма КМ, сформулированная для идеально электропроводящих (PEC) тел в свободном пространстве  . Электромагнитные величины будут представлены исключительно в виде изображений Фурье в частотной области . Используется калибровка Лоренца .

Рассеяние электромагнитной волны на теле ПЭК представляется с помощью граничного условия на теле ПЭК, а именно:

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {i} }=-{\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} },}$

с представлением единичной нормали к поверхности ПЭК, представлением падающей напряженности электрического поля и представлением рассеянной напряженности электрического поля, определяемой как${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {n}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {i} }}$${\displaystyle {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }}$

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }=-\mathrm {j} \omega {\boldsymbol {A}}-\nabla \varphi ,}$

где мнимая единица , угловая частота , векторный потенциал${\displaystyle \mathrm {j} }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\left({\boldsymbol {r}}\right)=\mu _{0}\int \limits _{\Omega }{\boldsymbol {J}}\left({\boldsymbol {r}}'\right)G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)\,\mathrm {d} S,}$

${\displaystyle \mu _{0}}$быть проницаемостью вакуума , быть скалярным потенциалом${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi \left({\boldsymbol {r}}\right)=-{\frac {1}{\mathrm {j} \omega \epsilon _{0}}}\int \limits _{\Omega }\nabla \cdot {\boldsymbol {J}}\left({\boldsymbol {r}}'\right)G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)\,\mathrm {d} S,}$

${\displaystyle \epsilon _{0}}$будучи вакуумной диэлектрической проницаемостью , будучи скалярной функцией Грина${\displaystyle G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)}$

${\displaystyle G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)={\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} k\left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\right|}}{4\pi \left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\right|}}}$

и быть волновым числом . Интегро-дифференциальный оператор — это тот, который должен быть диагонализирован через характеристические моды.${\displaystyle k}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }\left({\boldsymbol {J}}\right)}$

Основное уравнение разложения CM имеет вид

${\displaystyle {\mathcal {X}}\left({\boldsymbol {J}}_{n}\right)=\lambda _{n}{\mathcal {R}}\left({\boldsymbol {J}}_{n}\right)\qquad \mathrm {(1)} }$

где и являются действительной и мнимой частями оператора импеданса соответственно: Оператор определяется как${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {Z}}(\cdot )={\mathcal {R}}(\cdot )+\mathrm {j} {\mathcal {X}}(\cdot )\,.}$${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left({\boldsymbol {J}}\right)={\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }\left({\boldsymbol {J}}\right).\qquad \mathrm {(2)} }$

Результатом (1) является набор характеристических мод , , сопровождаемых соответствующими характеристическими числами . Очевидно, что (1) является обобщенной задачей на собственные значения , которая, однако, не может быть решена аналитически (за исключением нескольких канонических тел ^[11] ). Поэтому обычно используется численное решение, описанное в следующем параграфе.${\displaystyle \left\{{\boldsymbol {J}}_{n}\right\}}$${\displaystyle n\in \left\{1,2,\dots \right\}}$${\displaystyle \left\{\lambda _{n}\right\}}$

Дискретизация тела рассеивателя на подобласти как и использование набора линейно независимых кусочно-непрерывных функций , , позволяет представить плотность тока в виде${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Omega ^{M}={\mathcal {D}}\left(\Omega \right)}$${\displaystyle \left\{{\boldsymbol {\psi }}_{n}\right\}}$${\displaystyle n\in \left\{1,\dots ,N\right\}}$${\displaystyle {\boldsymbol {J}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}\left({\boldsymbol {r}}\right)\approx \sum \limits _{n=1}^{N}I_{n}{\boldsymbol {\psi }}_{n}\left({\boldsymbol {r}}\right)}$

и, применяя метод Галеркина , оператор импеданса (2)

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {R} +\mathrm {j} \mathbf {X} =\left[Z_{uv}\right]=\left[\,\int \limits _{\Omega }{\boldsymbol {\psi }}_{u}^{\ast }\cdot {\mathcal {Z}}\left({\boldsymbol {\psi }}_{v}\right)\,\mathrm {d} S\right].}$

Затем задача собственных значений (1) преобразуется в матричную форму

${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {I} _{n}=\lambda _{n}\mathbf {R} \mathbf {I} _{n},}$

которые можно легко решить, используя, например, обобщенное разложение Шура или неявно перезапущенный метод Арнольди, дающий конечный набор коэффициентов разложения и связанных с ними характеристических чисел . Свойства разложения CM исследуются ниже.${\displaystyle \left\{\mathbf {I} _{n}\right\}}$${\displaystyle \left\{\lambda _{n}\right\}}$

Демонстрируются свойства разложения КМ в его матричной форме.

Во-первых, напомним, что билинейные формы

${\displaystyle P_{\mathrm {r} }\approx {\frac {1}{2}}\mathbf {I} ^{\mathrm {H} }\mathbf {R} \mathbf {I} \geq 0}$

и

${\displaystyle 2\omega \left(W_{\mathrm {m} }-W_{\mathrm {e} }\right)\approx {\frac {1}{2}}\mathbf {I} ^{\mathrm {H} }\mathbf {X} \mathbf {I} ,}$

где верхний индекс обозначает эрмитово транспонирование , а где представляет собой произвольное распределение поверхностного тока, соответствуют излучаемой мощности и реактивной чистой мощности, ^[12] соответственно. Следующие свойства затем могут быть легко выведены:${\displaystyle ^{\mathrm {H} }}$${\displaystyle \mathbf {I} }$

• Матрица весов теоретически положительно определена и неопределенна. Коэффициент Рэлея${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle \lambda _{n}\approx {\frac {\mathbf {I} _{n}^{\mathrm {H} }\mathbf {X} \mathbf {I} _{n}}{\mathbf {I} _{n}^{\mathrm {H} }\mathbf {R} \mathbf {I} _{n}}}}$

затем охватывает диапазон и указывает, является ли характерный режим емкостным ( ) , индуктивным ( ) или резонансным ( ). В действительности коэффициент Рэлея ограничен числовой динамикой используемой точности машины , а количество правильно найденных режимов ограничено.${\displaystyle -\infty \leq \lambda _{n}\leq \infty }$${\displaystyle \lambda _{n}<0}$${\displaystyle \lambda _{n}>0}$${\displaystyle \lambda _{n}=0}$

• Характерные числа изменяются с частотой, т. е . они могут пересекаться друг с другом или быть одинаковыми (в случае вырождений ^[13] ). По этой причине для получения гладких кривых часто применяется отслеживание мод . ^{[14] [15] [16] [17] [18]} К сожалению, этот процесс отчасти эвристический, и алгоритмы отслеживания все еще далеки от совершенства. ^[11]${\displaystyle \lambda _{n}=\lambda _{n}\left(\omega \right)}$${\displaystyle \lambda _{n}\left(\omega \right)}$
• Характерные режимы могут быть выбраны как действительные функции, . Другими словами, характерные режимы образуют набор эквифазных токов.${\displaystyle \mathbf {I} _{n}\in \mathbb {R} ^{N\times 1}}$
• Разложение CM инвариантно относительно амплитуды характерных мод. Этот факт используется для нормализации тока таким образом, чтобы они излучали единую излучаемую мощность

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathbf {I} _{m}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} \mathbf {I} _{n}\approx \left(1+\mathrm {j} \lambda _{n}\right)\delta _{mn}.}$

Последнее соотношение показывает способность характеристических мод диагонализовать оператор импеданса (2) и демонстрирует ортогональность в дальней зоне , т.е.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}}{\mu _{0}}}}\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }{\boldsymbol {F}}_{m}^{\ast }\cdot {\boldsymbol {F}}_{n}\sin \vartheta \,\mathrm {d} \vartheta \,\mathrm {d} \varphi =\delta _{mn}.}$

Модовые токи можно использовать для оценки параметров антенны в их модовой форме, например:

• модальное дальнее поле (  — поляризация ,  — направление), ^[3]${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{n}\left({\boldsymbol {\hat {e}}},{\boldsymbol {\hat {r}}}\right)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {e}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}}}$
• модальная направленность ,${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{n}\left({\boldsymbol {\hat {e}}},{\boldsymbol {\hat {r}}}\right)}$
• эффективность модального излучения , ^[19]${\displaystyle \eta _{n}}$
• модальный коэффициент качества , ^[20]${\displaystyle Q_{n}}$
• модальный импеданс .${\displaystyle Z_{n}}$

Эти величины можно использовать для анализа, синтеза питания, оптимизации формы излучателя или определения характеристик антенны.

Число потенциальных применений огромно и продолжает расти:

• анализ и синтез антенн, ^{[21] [22] [23]}
• проектирование антенн MIMO , ^{[24] [25] [26] [27]}
• компактная конструкция антенны ( RFID , Wi-Fi ), ^{[28] [29]}
• Антенны БПЛА , ^[30]
• селективное возбуждение шасси и платформ, ^[31]
• Сокращение порядка модели, ^[32]
• улучшение пропускной способности, ^{[33] [34]}
• нанотрубки ^[35] и метаматериалы, ^{[36] [37]}
• проверка вычислительных электромагнитных кодов. ^[11]

Перспективные темы включают в себя:

• электрически большие структуры, рассчитанные с использованием MLFMA, ^[38]
• диэлектрики, ^{[7] [39]}
• использование комбинированного интегрального уравнения поля, ^[40]
• периодические структуры,
• формулировка для массивов. ^[41]

Разложение CM недавно было реализовано в основных электромагнитных симуляторах, а именно в FEKO, ^[42] CST-MWS, ^[43] и WIPL-D. ^[44] Другие пакеты вскоре начнут его поддерживать, например, HFSS ^[45] и CEM One. ^[46] Кроме того, существует множество внутренних и академических пакетов, которые способны оценивать CM и многие связанные с ними параметры.

CM полезны для лучшего понимания работы радиатора. Они с большим успехом использовались для многих практических целей. Однако важно подчеркнуть, что они не идеальны, и часто лучше использовать другие формулировки, такие как энергетические режимы, ^[47] режимы излучения, ^[47] режимы сохраненной энергии ^[32] или режимы эффективности излучения. ^[48]