Разнообразие персонажей

В математике теории модулей , если заданы алгебраическая , редуктивная , группа Ли и конечно порожденная группа , многообразие -характеров представляет собой пространство классов эквивалентности гомоморфизмов групп из в : Г {\displaystyle G} π {\displaystyle \пи} Г {\displaystyle G} π {\displaystyle \пи} π {\displaystyle \пи} Г {\displaystyle G}

Р ( π , Г ) = Хом ⁡ ( π , Г ) / ∼ . {\displaystyle {\mathfrak {R}}(\pi,G)=\operatorname {Hom} (\pi,G)/\!\sim \,.}

Точнее, действует на сопряжением , и два гомоморфизма определяются как эквивалентные (обозначаются ) тогда и только тогда, когда их замыкания орбит пересекаются. Это самое слабое отношение эквивалентности на множестве орбит сопряжения, , которое дает хаусдорфово пространство . Г {\displaystyle G} Хом ⁡ ( π , Г ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi,G)} ∼ {\displaystyle \сим } Хом ⁡ ( π , Г ) / Г {\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi,G)/G}

Формулировка

Формально, когда редуктивная группа определена над комплексными числами , многообразие -характеров является спектром простых идеалов кольца инвариантов (т.е. аффинным фактором GIT ). С {\displaystyle \mathbb {C} } Г {\displaystyle G}

С [ Хом ⁡ ( π , Г ) ] Г . {\displaystyle \mathbb {C} [\operatorname {Hom} (\pi ,G)]^{G}.}

Здесь в более общем случае можно рассматривать алгебраически замкнутые поля простой характеристики. В этой общности многообразия характеров являются только алгебраическими множествами и не являются фактическими многообразиями. Чтобы избежать технических проблем, часто рассматривают связанное редуцированное пространство путем деления на радикал 0 (исключая нильпотенты ). Однако это не обязательно дает неприводимое пространство. Более того, если мы заменим комплексную группу действительной группой, мы можем даже не получить алгебраическое множество. В частности, максимальная компактная подгруппа обычно дает полуалгебраическое множество . С другой стороны, всякий раз, когда является свободным, мы всегда получаем честное многообразие; однако оно является сингулярным. π {\displaystyle \пи}

Примеры

Интересный класс примеров возникает из римановых поверхностей : если — риманова поверхность, то многообразие характеров , или пространство модулей Бетти , является многообразием характеров группы поверхностей Х {\displaystyle X} Г {\displaystyle G} Х {\displaystyle X} π = π 1 ( Х ) {\displaystyle \pi =\pi _ {1}(X)}

М Б ( Х , Г ) = Р ( π 1 ( Х ) , Г ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{B}(X,G)={\mathfrak {R}}(\pi _{1}(X),G)} .

Например, если и — сфера Римана, проколотая три раза, то есть свободная от ранга два, то Анри Г. Фогт, Роберт Фрике и Феликс Клейн доказали [1] [2] , что многообразие характеров есть ; его координатное кольцо изоморфно комплексному кольцу многочленов от 3 переменных, . Ограничение до дает замкнутый действительный трехмерный шар (полуалгебраический, но не алгебраический). Г = С Л ( 2 , С ) {\displaystyle G=\mathrm {SL} (2,\mathbb {C})} Х {\displaystyle X} π = π 1 ( Х ) {\displaystyle \pi =\pi _ {1}(X)} С 3 {\displaystyle \mathbb {C} ^{3}} С [ х , у , з ] {\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]} Г = С У ( 2 ) {\displaystyle G=\mathrm {SU} (2)}

Другой пример, также изученный Фогтом и Фрике–Клейном, — это случай с и является сферой Римана, проколотой четыре раза, поэтому не имеет ранга три. Тогда многообразие характеров изоморфно гиперповерхности в , заданной уравнением Г = С Л ( 2 , С ) {\displaystyle G=\mathrm {SL} (2,\mathbb {C})} Х {\displaystyle X} π = π 1 ( Х ) {\displaystyle \pi =\pi _ {1}(X)} С 7 {\displaystyle \mathbb {C} ^{7}}

а 2 + б 2 + с 2 + г 2 + х 2 + у 2 + з 2 − ( а б + с г ) х − ( а г + б с ) у − ( а с + б г ) з + а б с г + х у з − 4 = 0. {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ab+cd)x-(ad+bc)y-(ac+bd)z+abcd+xyz-4=0.}

Это многообразие характеров появляется в теории шестого уравнения Пенлеве [3] и имеет естественную структуру Пуассона, такую, что являются функциями Казимира, поэтому симплектические листы являются аффинными кубическими поверхностями вида а , б , с , г {\displaystyle а,б,в,г} х у з + х 2 + у 2 + з 2 + с 1 х + с 2 у + с 3 з = с 4 {\displaystyle xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}+c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z=c_{4}}

Варианты

Эта конструкция многообразия характеров не обязательно совпадает с конструкцией Марка Каллера и Питера Шалена (сгенерированной оценками следов), хотя когда они соглашаются, поскольку Клаудио Прочези показал, что в этом случае кольцо инвариантов фактически генерируется только следами. Поскольку функции следов инвариантны всеми внутренними автоморфизмами, конструкция Каллера–Шалена по сути предполагает, что мы действуем по даже если . [ необходимо разъяснение ] Г = С Л ( н , С ) {\displaystyle G=\mathrm {SL} (п,\mathbb {C})} Г = С Л ( н , С ) {\displaystyle G=\mathrm {SL} (п,\mathbb {C})} Р = Хом ⁡ ( π , ЧАС ) {\displaystyle {\mathfrak {R}}=\operatorname {Hom} (\pi,H)} Г ≠ ЧАС {\displaystyle G\neq H}

Например, когда — свободная группа ранга 2 и , действие сопряжения тривиально, а многообразие -характеров — это тор π {\displaystyle \пи} Г = С О ( 2 ) {\displaystyle G=\mathrm {SO} (2)} Г {\displaystyle G}

С 1 × С 1 . {\displaystyle S^{1}\times S^{1}.}

Но алгебра следов является строго малой подалгеброй (инвариантов меньше). Это обеспечивает инволютивное действие на торе, которое необходимо учитывать, чтобы получить многообразие характеров Каллера–Шалена. Инволюция на этом торе дает 2-сферу. Дело в том, что с точностью до -сопряжения все точки различны, но след идентифицирует элементы с различными антидиагональными элементами (инволюция). С О ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SO} (2)}

Связь с геометрией

Существует взаимодействие между этими пространствами модулей и пространствами модулей главных расслоений , векторных расслоений , расслоений Хиггса и геометрических структур на топологических пространствах, заданное в общем случае наблюдением, что, по крайней мере локально, эквивалентные объекты в этих категориях параметризуются классами сопряженности гомоморфизмов голономии плоских связностей. Другими словами, относительно базового пространства для расслоений или фиксированного топологического пространства для геометрических структур гомоморфизм голономии является групповым гомоморфизмом из в структурную группу расслоения. [ необходима цитата ] М {\displaystyle М} π 1 ( М ) {\displaystyle \пи _{1}(М)} Г {\displaystyle G}

Подключение к модулям мотков

Координатное кольцо многообразия характеров было связано с модулями скейн в теории узлов . [4] [5] Модуль скейн является грубой деформацией (или квантованием) многообразия характеров. Он тесно связан с топологической квантовой теорией поля в размерности 2+1.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Горовиц, РД (1972). «Характеристики свободных групп, представленных в двумерной специальной линейной группе». Сообщения по чистой и прикладной математике . XXV (6): 635–649. doi :10.1002/cpa.3160250602.
  2. ^ Магнус, В. (1980). «Кольца характеров Фрике и группы автоморфизмов свободных групп». Math. Z. 170 : 91–103. doi :10.1007/BF01214715. S2CID  120977131.
  3. ^ Ивасаки, К. (2002). «Действие модулярной группы на кубических поверхностях и монодромия уравнения Пенлеве VI». Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci . 78 (7): 131–5. doi : 10.3792/pjaa.78.131 . MR  1930217. Zbl  1058.34125.
  4. ^ Дуг Буллок, Кольца -характеров и модуль скобок Кауфмана С Л 2 ( С ) {\displaystyle {\rm {SL}}_{2}(\mathbb {C} )} , Commentarii Mathematici Helvetici 72 (1997), № 4, 521–542. MR 1600138
  5. ^ Przytycki, Józef H. ; Sikora, Adam S. (2000). "On skein algebras and -character variations". Topology . 39 (1): 115–148. arXiv : q-alg/9705011 . doi :10.1016/S0040-9383(98)00062-7. MR  1710996. S2CID  14740329. С Л 2 ( С ) {\displaystyle {\rm {SL}}_{2}(\mathbb {C} )}
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Разновидность_персонажа&oldid=1174289870"