Пара Картан

В математических областях теории Ли и алгебраической топологии понятие пары Картана является техническим условием связи между редуктивной алгеброй Ли и редуктивной в ней подалгеброй . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Говорят, что редукционная пара является параой Картана , если относительные когомологии алгебры Ли${\displaystyle ({\mathfrak {g}}, {\mathfrak {k}})}$

${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}}, {\mathfrak {k}})}$

изоморфна тензорному произведению характеристической подалгебры

${\displaystyle \mathrm {im} {\big (}S({\mathfrak {k}}^{*})\to H^{*}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}}){\big )}}$

и внешняя подалгебра , где${\displaystyle \bigwedge {\hat {P}}}$${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}})}$

• ${\displaystyle {\шляпа {P}}}$, подпространство Самельсона , являются теми примитивными элементами в ядре композиции ,${\displaystyle P{\overset {\tau }{\to }}S({\mathfrak {g}}^{*})\to S({\mathfrak {k}}^{*})}$
• ${\displaystyle P}$является примитивным подпространством ,${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}})}$
• ${\displaystyle \тау}$это преступление ,
• а отображение симметричных алгебр индуцируется отображением ограничения дуальных векторных пространств .${\displaystyle S({\mathfrak {g}}^{*})\to S({\mathfrak {k}}^{*})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}\to {\mathfrak {k}}^{*}}$

На уровне групп Ли , если G — компактная связная группа Ли, а K — замкнутая связная подгруппа, то существуют естественные расслоения

${\displaystyle G\to G_{K}\to BK}$,

где - гомотопический фактор , здесь гомотопический эквивалент регулярного фактора, и${\displaystyle G_{K}:=(EK\times G)/K\simeq G/K}$

${\displaystyle G/K{\overset {\chi }{\to }}BK{\overset {r}{\to }}BG}$.

Тогда характеристическая алгебра является образом , трансгрессия из примитивного подпространства P пространства является той, которая возникает из отображений ребер в спектральной последовательности Серра универсального расслоения , а подпространство пространства является ядром пространства .${\displaystyle \chi ^{*}\colon H^{*}(BK)\to H^{*}(G/K)}$${\displaystyle \tau \colon P\to H^{*}(BG)}$${\displaystyle H^{*}(G)}$ ${\displaystyle G\to EG\to BG}$${\displaystyle {\шляпа {P}}}$${\displaystyle H^{*}(Г/К)}$${\displaystyle r^{*}\circ \tau }$