Линеаризация Карлемана
Метод математического преобразования

В математике линеаризация Карлемана (или вложение Карлемана ) — это метод преобразования конечномерной нелинейной динамической системы в бесконечномерную линейную систему. Он был введен шведским математиком Торстеном Карлеманом в 1932 году. [1] Линеаризация Карлемана связана с оператором композиции и широко используется при изучении динамических систем. Она также используется во многих прикладных областях, таких как теория управления [2] [3] и квантовые вычисления . [4] [5]

Процедура

Рассмотрим следующую автономную нелинейную систему:

х ˙ = ф ( х ) + ∑ дж = 1 м г дж ( х ) г дж ( т ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)+\sum _{j=1}^{m}g_{j}(x)d_{j}(t)}

где обозначает вектор состояния системы. Кроме того, и 's являются известными аналитическими векторными функциями, а — элемент неизвестного возмущения системы. х ∈ Р н {\displaystyle x\in R^{n}} ф {\displaystyle f} г я {\displaystyle g_{i}} г дж {\displaystyle d_{j}} дж т час {\displaystyle j^{th}}

В желаемой номинальной точке нелинейные функции в приведенной выше системе могут быть аппроксимированы с помощью разложения Тейлора

ф ( х ) ≃ ф ( х 0 ) + ∑ к = 1 η 1 к ! ∂ ф [ к ] ∣ х = х 0 ( х − х 0 ) [ к ] {\displaystyle f(x)\simeq f(x_{0})+\sum _{k=1}^{\eta }{\frac {1}{k!}}\partial f_{[k]}\mid _{x=x_{0}}(x-x_{0})^{[k]}}

где — частная производная по отношению к , а обозначает произведение Кронекера . ∂ ф [ к ] ∣ х = х 0 {\displaystyle \partial f_{[k]}\mid _{x=x_{0}}} к т час {\displaystyle k^{th}} ф ( х ) {\displaystyle f(x)} х {\displaystyle x} х = х 0 {\displaystyle x=x_{0}} х [ к ] {\displaystyle x^{[k]}} к т час {\displaystyle k^{th}}

Без потери общности будем считать, что находится в начале координат. х 0 {\displaystyle x_{0}}

Применяя к системе приближение Тейлора, получаем

х ˙ ≃ ∑ к = 0 η А к х [ к ] + ∑ дж = 1 м ∑ к = 0 η Б дж к х [ к ] г дж {\displaystyle {\dot {x}}\simeq \sum _{k=0}^{\eta }A_{k}x^{[k]}+\sum _{j=1}^{m}\ сумма _{k=0}^{\eta }B_{jk}x^{[k]}d_{j}}

где и . А к = 1 к ! ∂ ф [ к ] ∣ х = 0 {\displaystyle A_{k}={\frac {1}{k!}}\partial f_{[k]}\mid _{x=0}} Б дж к = 1 к ! ∂ г дж [ к ] ∣ х = 0 {\displaystyle B_{jk}={\frac {1}{k!}}\partial g_{j[k]}\mid _{x=0}}

Следовательно, получается следующая линейная система для высших порядков исходных состояний:

d ( x [ i ] ) d t ≃ ∑ k = 0 η − i + 1 A i , k x [ k + i − 1 ] + ∑ j = 1 m ∑ k = 0 η − i + 1 B j , i , k x [ k + i − 1 ] d j {\displaystyle {\frac {d(x^{[i]})}{dt}}\simeq \sum _{k=0}^{\eta -i+1}A_{i,k}x^{[k+i-1]}+\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=0}^{\eta -i+1}B_{j,i,k}x^{[k+i-1]}d_{j}}

где , и аналогично . A i , k = ∑ l = 0 i − 1 I n [ l ] ⊗ A k ⊗ I n [ i − 1 − l ] {\displaystyle A_{i,k}=\sum _{l=0}^{i-1}I_{n}^{[l]}\otimes A_{k}\otimes I_{n}^{[i-1-l]}} B j , i , κ = ∑ l = 0 i − 1 I n [ l ] ⊗ B j , κ ⊗ I n [ i − 1 − l ] {\displaystyle B_{j,i,\kappa }=\sum _{l=0}^{i-1}I_{n}^{[l]}\otimes B_{j,\kappa }\otimes I_{n}^{[i-1-l]}}

Используя оператор произведения Кронекера , аппроксимированная система представляется в следующем виде:

x ˙ ⊗ ≃ A x ⊗ + ∑ j = 1 m [ B j x ⊗ d j + B j 0 d j ] + A r {\displaystyle {\dot {x}}_{\otimes }\simeq Ax_{\otimes }+\sum _{j=1}^{m}[B_{j}x_{\otimes }d_{j}+B_{j0}d_{j}]+A_{r}}

где , а и матрицы определены в (Hashemian and Armaou 2015). [6] x ⊗ = [ x T x [ 2 ] T . . . x [ η ] T ] T {\displaystyle x_{\otimes }={\begin{bmatrix}x^{T}&x^{{[2]}^{T}}&...&x^{{[\eta ]}^{T}}\end{bmatrix}}^{T}} A , B j , A r {\displaystyle A,B_{j},A_{r}} B j , 0 {\displaystyle B_{j,0}}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Карлеман, Торстен (1932). «Применение теории интегральных линейных уравнений и различных нелинейных систем». Акта Математика . 59 : 63–87 . doi : 10.1007/BF02546499 . ISSN  0001-5962. S2CID  120263424.
  2. ^ Салазар-Касерес, Фабиан; Теллез-Кастро, Дуван; Мохика-Нава, Эдуардо (2017). «Консенсус для многоагентных нелинейных систем: аппроксимационный подход Карлемана». 2017 Третья Колумбийская конференция IEEE по автоматическому управлению (CCAC) . Картахена: IEEE. стр.  1–5 . doi :10.1109/CCAC.2017.8276388. ISBN 978-1-5386-0398-7. S2CID  44019245.
  3. ^ Амини, Араш; Сан, Циюй; Моти, Надер (2020). «Приближенное оптимальное проектирование управления для класса нелинейных систем путем подъема уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана». Американская конференция по управлению (ACC) 2020 г. Денвер, Колорадо, США: IEEE. стр.  2717– 2722. doi : 10.23919/ACC45564.2020.9147576. ISBN 978-1-5386-8266-1. S2CID  220889153.
  4. ^ Лю, Цзинь-Пэн; Колден, Герман Ойе; Крови, Хари К.; Лоурейро, Нуно Ф.; Тривиса, Константина; Чайлдс, Эндрю М. (2021-08-31). "Эффективный квантовый алгоритм для диссипативных нелинейных дифференциальных уравнений". Труды Национальной академии наук . 118 (35): e2026805118. arXiv : 2011.03185 . Bibcode : 2021PNAS..11826805L. doi : 10.1073/pnas.2026805118 . ISSN  0027-8424. PMC 8536387. PMID  34446548 . 
  5. ^ Леви, Макс Г. (5 января 2021 г.). «Новые квантовые алгоритмы наконец-то расщепляют нелинейные уравнения». Журнал Quanta . Получено 31 декабря 2022 г.
  6. ^ Хашемиан, Н.; Армау, А. (2015). «Оценка быстро движущегося горизонта нелинейных процессов с помощью линеаризации Карлемана». Американская конференция по управлению (ACC) 2015 г. стр.  3379–3385 . doi :10.1109/ACC.2015.7171854. ISBN 978-1-4799-8684-2. S2CID  13251259.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Carleman_linearization&oldid=1272626825"