матрица Карлемана

В математике матрица Карлемана — это матрица, используемая для преобразования композиции функций в умножение матриц . Она часто используется в теории итераций для нахождения непрерывной итерации функций , которые не могут быть итерированы только распознаванием образов . Другие применения матриц Карлемана встречаются в теории функций генерации вероятностей и цепях Маркова .

Определение

Матрица Карлемана бесконечно дифференцируемой функции определяется как: ф ( х ) {\displaystyle f(x)}

М [ ф ] дж к = 1 к ! [ г к г х к ( ф ( х ) ) дж ] х = 0   , {\displaystyle M[f]_{jk}={\frac {1}{k!}}\left[{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(f(x))^{j}\right]_{x=0}~,}

чтобы удовлетворить уравнению ( ряд Тейлора ):

( ф ( х ) ) дж = ∑ к = 0 ∞ М [ ф ] дж к х к . {\displaystyle (f(x))^{j}=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{jk}x^{k}.}

Например, вычисление по ф ( х ) {\displaystyle f(x)}

ф ( х ) = ∑ к = 0 ∞ М [ ф ] 1 , к х к .   {\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{1,k}x^{k}.~}

просто сводится к скалярному произведению строки 1 с вектором-столбцом . М [ ф ] {\displaystyle М[ж]} [ 1 , х , х 2 , х 3 , . . . ] τ {\displaystyle \left[1,x,x^{2},x^{3},...\right]^{\tau }}

Записи в следующей строке дают вторую степень числа : М [ ф ] {\displaystyle М[ж]} ф ( х ) {\displaystyle f(x)}

ф ( х ) 2 = ∑ к = 0 ∞ М [ ф ] 2 , к х к   , {\displaystyle f(x)^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{2,k}x^{k}~,}

и также, чтобы иметь нулевую степень в , мы принимаем строку 0, содержащую нули везде, кроме первой позиции, так что ф ( х ) {\displaystyle f(x)} М [ ф ] {\displaystyle М[ж]}

ф ( х ) 0 = 1 = ∑ к = 0 ∞ М [ ф ] 0 , к х к = 1 + ∑ к = 1 ∞ 0 ⋅ х к   . {\displaystyle f(x)^{0}=1=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{0,k}x^{k}=1+\sum _{k=1}^{\infty }0\cdot x^{k}~.}

Таким образом, скалярное произведение с вектором-столбцом дает вектор-столбец , т.е. М [ ф ] {\displaystyle М[ж]} [ 1 , х , х 2 , . . . ] Т {\displaystyle {\begin{bmatrix}1,x,x^{2},...\end{bmatrix}}^{T}} [ 1 , ф ( х ) , ф ( х ) 2 , . . . ] Т {\displaystyle \left[1,f(x),f(x)^{2},...\right]^{T}}

М [ ф ] [ 1 х х 2 х 3 ⋮ ] = [ 1 ф ( х ) ( ф ( х ) ) 2 ( ф ( х ) ) 3 ⋮ ] . {\displaystyle M[f]{\begin{bmatrix}1\\x\\x^{2}\\x^{3}\\\vdots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\f(x)\\(f(x))^{2}\\(f(x))^{3}\\\vdots \end{bmatrix}}.}

Обобщение

Обобщение матрицы Карлемана функции можно определить вокруг любой точки, например:

М [ ф ] х 0 = М х [ х − х 0 ] М [ ф ] М х [ х + х 0 ] {\displaystyle M[ж]_{x_{0}}=M_{x}[x-x_{0}]M[ж]M_{x}[x+x_{0}]}

или где . Это позволяет связать мощность матрицы как: М [ ф ] х 0 = М [ г ] {\displaystyle M[ж]_{x_{0}}=M[г]} г ( х ) = ф ( х + х 0 ) − х 0 {\displaystyle g(x)=f(x+x_{0})-x_{0}}

( М [ ф ] х 0 ) н = М х [ х − х 0 ] М [ ф ] н М х [ х + х 0 ] {\displaystyle (M[f]_{x_{0}})^{n}=M_{x}[x-x_{0}]M[f]^{n}M_{x}[x+x_{0}]}

Общая серия

Другой способ еще больше обобщить это — представить себе общий ряд следующим образом:
Пусть — ряд приближения , где — базис пространства, содержащего час ( х ) = ∑ н с н ( час ) ⋅ ψ н ( х ) {\displaystyle h(x)=\sum _{n}c_{n}(h)\cdot \psi _{n}(x)} час ( х ) {\displaystyle h(x)} { ψ н ( х ) } н {\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}_{n}} час ( х ) {\displaystyle h(x)}
Предполагая, что также является основой для , Мы можем определить , следовательно, имеем , теперь мы можем доказать, что , если мы предположим, что также является основой для и . { ψ н ( х ) } н {\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}_{n}} ф ( х ) {\displaystyle f(x)} Г [ ф ] м н = с н ( ψ м ∘ ф ) {\displaystyle G[f]_{mn}=c_{n}(\psi _{m}\circ f)} ψ м ∘ ф = ∑ н с н ( ψ м ∘ ф ) ⋅ ψ н = ∑ н Г [ ф ] м н ⋅ ψ н {\displaystyle \psi _{m}\circ f=\sum _{n}c_{n}(\psi _{m}\circ f)\cdot \psi _{n}=\sum _{n}G[f]_{mn}\cdot \psi _{n}} Г [ г ∘ ф ] = Г [ г ] ⋅ Г [ ф ] {\displaystyle G[g\circ f]=G[g]\cdot G[f]} { ψ н ( х ) } н {\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}_{n}} г ( х ) {\displaystyle g(x)} г ( ф ( х ) ) {\displaystyle g(f(x))}
Пусть будет так, что где . г ( х ) {\displaystyle g(x)} ψ л ∘ г = ∑ м Г [ г ] л м ⋅ ψ м {\displaystyle \psi _{l}\circ g=\sum _{m}G[g]_{lm}\cdot \psi _{m}} G [ g ] l m = c m ( ψ l ∘ g ) {\displaystyle G[g]_{lm}=c_{m}(\psi _{l}\circ g)}
Сейчас
         ∑  n   G [ g ∘ f  ]  l n    ψ  n   =  ψ  l   ∘ ( g ∘ f )    = (  ψ  l   ∘ g ) ∘ f       =  ∑  m   G [ g  ]  l m   (  ψ  m   ∘ f )       =  ∑  m   G [ g  ]  l m    ∑  n   G [ f  ]  m n    ψ  n         =  ∑  n , m   G [ g  ]  l m   G [ f  ]  m n    ψ  n         =  ∑  n   (  ∑  m   G [ g  ]  l m   G [ f  ]  m n   )  ψ  n         {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}G[g\circ f]_{ln}\psi _{n}=\psi _{l}\circ (g\circ f)&=(\psi _{l}\circ g)\circ f\\&=\sum _{m}G[g]_{lm}(\psi _{m}\circ f)\\&=\sum _{m}G[g]_{lm}\sum _{n}G[f]_{mn}\psi _{n}\\&=\sum _{n,m}G[g]_{lm}G[f]_{mn}\psi _{n}\\&=\sum _{n}(\sum _{m}G[g]_{lm}G[f]_{mn})\psi _{n}\end{aligned}}}
Сравнивая первый и последний член, и являясь базой для , следует, что { ψ n ( x ) } n {\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}_{n}} f ( x ) {\displaystyle f(x)} g ( x ) {\displaystyle g(x)} g ( f ( x ) ) {\displaystyle g(f(x))} G [ g ∘ f ] = ∑ m G [ g ] l m G [ f ] m n = G [ g ] ⋅ G [ f ] {\displaystyle G[g\circ f]=\sum _{m}G[g]_{lm}G[f]_{mn}=G[g]\cdot G[f]}

Примеры

Повторное получение матрицы Карлемана (Тейлора)

Если мы установим, то получим матрицу Карлемана . Потому что тогда мы знаем, что n-й коэффициент должен быть n-м коэффициентом ряда Тейлора . Поэтому Поэтому Какая матрица Карлемана приведена выше. (Важно отметить, что это не ортонормальный базис) ψ n ( x ) = x n {\displaystyle \psi _{n}(x)=x^{n}}
h ( x ) = ∑ n c n ( h ) ⋅ ψ n ( x ) = ∑ n c n ( h ) ⋅ x n {\displaystyle h(x)=\sum _{n}c_{n}(h)\cdot \psi _{n}(x)=\sum _{n}c_{n}(h)\cdot x^{n}}
c n ( h ) {\displaystyle c_{n}(h)} h {\displaystyle h} c n ( h ) = 1 n ! h ( n ) ( 0 ) {\displaystyle c_{n}(h)={\frac {1}{n!}}h^{(n)}(0)}
G [ f ] m n = c n ( ψ m ∘ f ) = c n ( f ( x ) m ) = 1 n ! [ d n d x n ( f ( x ) ) m ] x = 0 {\displaystyle G[f]_{mn}=c_{n}(\psi _{m}\circ f)=c_{n}(f(x)^{m})={\frac {1}{n!}}\left[{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(f(x))^{m}\right]_{x=0}}

Матрица Карлемана для ортонормированного базиса

Если — ортонормированный базис для гильбертова пространства с определенным скалярным произведением , то можно положить и будет . Тогда . { e n ( x ) } n {\displaystyle \{e_{n}(x)\}_{n}} ⟨ f , g ⟩ {\displaystyle \langle f,g\rangle } ψ n = e n {\displaystyle \psi _{n}=e_{n}} c n ( h ) {\displaystyle c_{n}(h)} ⟨ h , e n ⟩ {\displaystyle {\displaystyle \langle h,e_{n}\rangle }} G [ f ] m n = c n ( e m ∘ f ) = ⟨ e m ∘ f , e n ⟩ {\displaystyle G[f]_{mn}=c_{n}(e_{m}\circ f)=\langle e_{m}\circ f,e_{n}\rangle }

Матрица Карлемана для ряда Фурье

Если у нас есть аналог для ряда Фурье . Пусть и представляют коэффициент Карлемана и матрицу в базисе Фурье. Поскольку базис ортогонален, у нас есть. e n ( x ) = e i n x {\displaystyle e_{n}(x)=e^{inx}} c ^ n {\displaystyle {\hat {c}}_{n}} G ^ {\displaystyle {\hat {G}}}

c ^ n ( h ) = ⟨ h , e n ⟩ = 1 2 π ∫ − π π h ( x ) ⋅ e − i n x d x {\displaystyle {\hat {c}}_{n}(h)=\langle h,e_{n}\rangle ={\cfrac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\displaystyle h(x)\cdot e^{-inx}dx} .


Тогда, следовательно, что есть G ^ [ f ] m n = c n ^ ( e m ∘ f ) = ⟨ e m ∘ f , e n ⟩ {\displaystyle {\hat {G}}[f]_{mn}={\hat {c_{n}}}(e_{m}\circ f)=\langle e_{m}\circ f,e_{n}\rangle }

G ^ [ f ] m n = 1 2 π ∫ − π π e i m f ( x ) ⋅ e − i n x d x {\displaystyle {\hat {G}}[f]_{mn}={\cfrac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\displaystyle e^{imf(x)}\cdot e^{-inx}dx}

Характеристики

Матрицы Карлемана удовлетворяют фундаментальному соотношению

  • M [ f ∘ g ] = M [ f ] M [ g ]   , {\displaystyle M[f\circ g]=M[f]M[g]~,}

что делает матрицу Карлемана M (прямым) представлением . Здесь термин обозначает композицию функций . f ( x ) {\displaystyle f(x)} f ∘ g {\displaystyle f\circ g} f ( g ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))}

Другие свойства включают в себя:

Примеры

Матрица Карлемана константы имеет вид:

M [ a ] = ( 1 0 0 ⋯ a 0 0 ⋯ a 2 0 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle M[a]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\a&0&0&\cdots \\a^{2}&0&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}

Матрица Карлемана функции тождества имеет вид:

M x [ x ] = ( 1 0 0 ⋯ 0 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle M_{x}[x]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&1&0&\cdots \\0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}

Матрица Карлемана постоянного сложения имеет вид:

M x [ a + x ] = ( 1 0 0 ⋯ a 1 0 ⋯ a 2 2 a 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle M_{x}[a+x]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\a&1&0&\cdots \\a^{2}&2a&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}

Матрица Карлемана функции-последователя эквивалентна биномиальному коэффициенту :

M x [ 1 + x ] = ( 1 0 0 0 ⋯ 1 1 0 0 ⋯ 1 2 1 0 ⋯ 1 3 3 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle M_{x}[1+x]=\left({\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&\cdots \\1&1&0&0&\cdots \\1&2&1&0&\cdots \\1&3&3&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}
M x [ 1 + x ] j k = ( j k ) {\displaystyle M_{x}[1+x]_{jk}={\binom {j}{k}}}

Матрица Карлемана логарифма связана со знаковыми числами Стерлинга первого рода, масштабированными факториалами :

M x [ log ⁡ ( 1 + x ) ] = ( 1 0 0 0 0 ⋯ 0 1 − 1 2 1 3 − 1 4 ⋯ 0 0 1 − 1 11 12 ⋯ 0 0 0 1 − 3 2 ⋯ 0 0 0 0 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle M_{x}[\log(1+x)]=\left({\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&\cdots \\0&1&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{4}}&\cdots \\0&0&1&-1&{\frac {11}{12}}&\cdots \\0&0&0&1&-{\frac {3}{2}}&\cdots \\0&0&0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}
M x [ log ⁡ ( 1 + x ) ] j k = s ( k , j ) j ! k ! {\displaystyle M_{x}[\log(1+x)]_{jk}=s(k,j){\frac {j!}{k!}}}

Матрица Карлемана логарифма связана с (беззнаковыми) числами Стерлинга первого рода, масштабированными факториалами :

M x [ − log ⁡ ( 1 − x ) ] = ( 1 0 0 0 0 ⋯ 0 1 1 2 1 3 1 4 ⋯ 0 0 1 1 11 12 ⋯ 0 0 0 1 3 2 ⋯ 0 0 0 0 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle M_{x}[-\log(1-x)]=\left({\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&\cdots \\0&1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&\cdots \\0&0&1&1&{\frac {11}{12}}&\cdots \\0&0&0&1&{\frac {3}{2}}&\cdots \\0&0&0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}
M x [ − log ⁡ ( 1 − x ) ] j k = | s ( k , j ) | j ! k ! {\displaystyle M_{x}[-\log(1-x)]_{jk}=|s(k,j)|{\frac {j!}{k!}}}

Матрица Карлемана показательной функции связана с числами Стирлинга второго рода, масштабированными факториалами :

M x [ exp ⁡ ( x ) − 1 ] = ( 1 0 0 0 0 ⋯ 0 1 1 2 1 6 1 24 ⋯ 0 0 1 1 7 12 ⋯ 0 0 0 1 3 2 ⋯ 0 0 0 0 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle M_{x}[\exp(x)-1]=\left({\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&\cdots \\0&1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{24}}&\cdots \\0&0&1&1&{\frac {7}{12}}&\cdots \\0&0&0&1&{\frac {3}{2}}&\cdots \\0&0&0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}
M x [ exp ⁡ ( x ) − 1 ] j k = S ( k , j ) j ! k ! {\displaystyle M_{x}[\exp(x)-1]_{jk}=S(k,j){\frac {j!}{k!}}}

Матрица Карлемана показательных функций имеет вид:

M x [ exp ⁡ ( a x ) ] = ( 1 0 0 0 ⋯ 1 a a 2 2 a 3 6 ⋯ 1 2 a 2 a 2 4 a 3 3 ⋯ 1 3 a 9 a 2 2 9 a 3 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle M_{x}[\exp(ax)]=\left({\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&\cdots \\1&a&{\frac {a^{2}}{2}}&{\frac {a^{3}}{6}}&\cdots \\1&2a&2a^{2}&{\frac {4a^{3}}{3}}&\cdots \\1&3a&{\frac {9a^{2}}{2}}&{\frac {9a^{3}}{2}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}
M x [ exp ⁡ ( a x ) ] j k = ( j a ) k k ! {\displaystyle M_{x}[\exp(ax)]_{jk}={\frac {(ja)^{k}}{k!}}}

Матрица Карлемана постоянного множителя имеет вид:

M x [ c x ] = ( 1 0 0 ⋯ 0 c 0 ⋯ 0 0 c 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle M_{x}[cx]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&c&0&\cdots \\0&0&c^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}

Матрица Карлемана линейной функции имеет вид:

M x [ a + c x ] = ( 1 0 0 ⋯ a c 0 ⋯ a 2 2 a c c 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle M_{x}[a+cx]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\a&c&0&\cdots \\a^{2}&2ac&c^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}

Матрица Карлемана функции имеет вид: f ( x ) = ∑ k = 1 ∞ f k x k {\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}x^{k}}

M [ f ] = ( 1 0 0 ⋯ 0 f 1 f 2 ⋯ 0 0 f 1 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle M[f]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&f_{1}&f_{2}&\cdots \\0&0&f_{1}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}

Матрица Карлемана функции имеет вид: f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ f k x k {\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}x^{k}}

M [ f ] = ( 1 0 0 ⋯ f 0 f 1 f 2 ⋯ f 0 2 2 f 0 f 1 f 1 2 + 2 f 0 f 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle M[f]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\f_{0}&f_{1}&f_{2}&\cdots \\f_{0}^{2}&2f_{0}f_{1}&f_{1}^{2}+2f_{0}f_{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}

Матрица Белла или матрица Жаботинского функции определяется как [1] ​​[2] [3] f ( x ) {\displaystyle f(x)}

B [ f ] j k = 1 j ! [ d j d x j ( f ( x ) ) k ] x = 0   , {\displaystyle B[f]_{jk}={\frac {1}{j!}}\left[{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}(f(x))^{k}\right]_{x=0}~,}

чтобы удовлетворить уравнению

( f ( x ) ) k = ∑ j = 0 ∞ B [ f ] j k x j   , {\displaystyle (f(x))^{k}=\sum _{j=0}^{\infty }B[f]_{jk}x^{j}~,}

Эти матрицы были разработаны в 1947 году Эри Жаботинским для представления сверток многочленов. [4] Это транспонированная матрица Карлемана, удовлетворяющая

B [ f ∘ g ] = B [ g ] B [ f ]   , {\displaystyle B[f\circ g]=B[g]B[f]~,} что делает матрицу Белла B антипредставлением . f ( x ) {\displaystyle f(x)}

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Кнут, Д. (1992). «Сверточные многочлены». Журнал Mathematica . 2 (4): 67–78 . arXiv : math/9207221 . Bibcode : 1992math......7221K.
  2. ^ Жаботинский, Эри (1953). «Представление функций матрицами. Применение к многочленам Фабера». Труды Американского математического общества . 4 (4): 546– 553. doi : 10.1090/S0002-9939-1953-0059359-0 . ISSN  0002-9939.
  3. ^ Лэнг, В. (2000). «Об обобщениях треугольников чисел Стирлинга». Журнал целочисленных последовательностей . 3 (2.4): 1– 19. Bibcode : 2000JIntS...3...24L.
  4. ^ Жаботинский, Эри (1947). «Сюр-ла-представление композиции функций по продукту матриц. Применение к итерации де ^х и де ^х-1». Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 224 : 323–324 .

Ссылки

  • Р. Альдрованди, Специальные матрицы математической физики: стохастические, циркулянтные и матрицы Белла, World Scientific, 2001. (предварительный просмотр)
  • Р. Альдрованди, Л.П. Фрейтас, Непрерывная итерация динамических отображений, онлайн-препринт, 1997.
  • П. Гралевич, К. Ковальски, Непрерывная эволюция во времени на основе итерированных отображений и линеаризации Карлемана, онлайн-препринт, 2000.
  • K Kowalski и WH Steeb, Нелинейные динамические системы и линеаризация Карлемана, World Scientific, 1991. (предварительный просмотр)
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Carleman_matrix&oldid=1235680348"