гипотеза Калаби

В математической области дифференциальной геометрии гипотеза Калаби была гипотезой о существовании определенных видов римановых метрик на определенных комплексных многообразиях , выдвинутой Эухенио Калаби  (1954, 1957). Она была доказана Шинг-Тунгом Яу  (1977, 1978), который получил медаль Филдса и премию Освальда Веблена отчасти за свое доказательство. Его работа, в основном анализ эллиптического уравнения в частных производных, известного как комплексное уравнение Монжа–Ампера , была влиятельным ранним результатом в области геометрического анализа .

Точнее, гипотеза Калаби утверждает разрешение проблемы заданной кривизны Риччи в рамках метрик Кэлера на замкнутых комплексных многообразиях. Согласно теории Черна–Вейля , форма Риччи любой такой метрики является замкнутой дифференциальной 2-формой , которая представляет первый класс Черна . Калаби предположил, что для любой такой дифференциальной формы R существует ровно одна метрика Кэлера в каждом классе Кэлера , форма Риччи которой есть R. (Некоторые компактные комплексные многообразия не допускают классов Кэлера, и в этом случае гипотеза бессодержательна.)

В частном случае, когда первый класс Черна равен нулю, это означает, что каждый класс Кэлера содержит ровно одну метрику Риччи-плоской . Их часто называют многообразиями Калаби–Яу . Однако этот термин часто используется разными авторами немного по-разному — например, некоторые варианты использования могут относиться к комплексному многообразию, в то время как другие могут относиться к комплексному многообразию вместе с конкретной метрикой Риччи-плоской Кэлера.

Этот особый случай можно эквивалентно рассматривать как полную теорию существования и единственности для метрик Кэлера–Эйнштейна нулевой скалярной кривизны на компактных комплексных многообразиях. Случай ненулевой скалярной кривизны не следует как частный случай гипотезы Калаби, поскольку «правая часть» проблемы Кэлера–Эйнштейна зависит от «неизвестной» метрики, тем самым помещая проблему Кэлера–Эйнштейна за пределы области предписания кривизны Риччи. Однако анализ Яу комплексного уравнения Монжа–Ампера при разрешении гипотезы Калаби был достаточно общим, чтобы также разрешить существование метрик Кэлера–Эйнштейна отрицательной скалярной кривизны. Третий и последний случай положительной скалярной кривизны был решен в 2010-х годах, частично с использованием гипотезы Калаби.

Калаби преобразовал гипотезу Калаби в нелинейное уравнение в частных производных комплексного типа Монжа–Ампера и показал, что это уравнение имеет не более одного решения, тем самым установив единственность требуемой метрики Кэлера.

Яу доказал гипотезу Калаби, построив решение этого уравнения с помощью метода непрерывности . Это включает в себя сначала решение более простого уравнения, а затем демонстрацию того, что решение легкого уравнения может быть непрерывно деформировано до решения сложного уравнения. Самая сложная часть решения Яу — доказательство определенных априорных оценок для производных решений.

Предположим, что — комплексное компактное многообразие с кэлеровой формой . По -лемме любая другая кэлерова форма в том же классе когомологий де Рама имеет вид${\displaystyle М}$${\displaystyle \омега}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

${\displaystyle \omega +dd'\varphi }$

для некоторой гладкой функции на , единственной с точностью до добавления константы. Гипотеза Калаби, таким образом, эквивалентна следующей задаче:${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle М}$

Пусть — положительная гладкая функция со средним значением 1. Тогда существует гладкая вещественная функция ; со${\displaystyle F=e^{f}}$${\displaystyle М}$${\displaystyle \varphi}$

${\displaystyle (\omega +dd'\varphi)^{m}=e^{f}\omega ^{m}}$

и ; уникально с точностью до добавления константы.${\displaystyle \varphi}$

Это уравнение типа сложного Монжа–Ампера для одной функции . Это особенно сложное для решения уравнение в частных производных, поскольку оно нелинейно в терминах высшего порядка. Его легко решить, когда , как и решение. Идея метода непрерывности состоит в том, чтобы показать, что его можно решить для всех, показав, что множество , для которого его можно решить, является как открытым, так и замкнутым. Поскольку множество , для которого его можно решить, непусто, а множество всех связно, это показывает, что его можно решить для всех .${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle f=0}$${\displaystyle \varphi =0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Отображение от гладких функций к гладким функциям, принимающим заданное выражением ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle F=(\omega +dd'\varphi)^{m}/\omega ^{m}}$

не является ни инъективным, ни сюръективным. Он не инъективен, потому что добавление константы к не меняет , и он не сюръективен, потому что должен быть положительным и иметь среднее значение 1. Поэтому мы рассматриваем отображение, ограниченное функциями , которые нормализованы так, чтобы иметь среднее значение 0, и спрашиваем, является ли это отображение изоморфизмом на множество положительных со средним значением 1. Калаби и Яу доказали, что это действительно изоморфизм. Это делается в несколько шагов, описанных ниже.${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle F=e^{f}}$

Доказательство того, что решение единственно, включает демонстрацию того, что если

${\displaystyle (\omega +dd'\varphi _{1})^{m}=(\omega +dd'\varphi _{2})^{m}}$

тогда φ ₁ и φ ₂ отличаются на константу (поэтому должны быть одинаковыми, если они оба нормализованы так, чтобы иметь среднее значение 0). Калаби доказал это, показав, что среднее значение

${\displaystyle |d(\varphi _{1}-\varphi _{2})|^{2}}$

задается выражением, которое не больше 0. Поскольку оно, очевидно, не меньше 0, оно должно быть равно 0, поэтому

${\displaystyle d(\varphi _{1}-\varphi _{2})=0}$

что в свою очередь заставляет φ ₁ и φ ₂ отличаться на константу.

Доказательство того, что множество возможных F является открытым (в множестве гладких функций со средним значением 1), включает демонстрацию того, что если возможно решить уравнение для некоторого F , то возможно решить его и для всех достаточно близких F. Калаби доказал это, используя теорему о неявной функции для банаховых пространств : чтобы применить ее, основным шагом является демонстрация того, что линеаризация дифференциального оператора выше обратима.

Это самая сложная часть доказательства, и ее выполнил Яу. Предположим, что F находится в замыкании образа возможных функций φ. Это означает, что существует последовательность функций φ ₁ , φ ₂ , ... такая, что соответствующие функции F ₁ , F ₂ ,... сходятся к F , и проблема состоит в том, чтобы показать, что некоторая подпоследовательность φ сходится к решению φ. Чтобы сделать это, Яу находит некоторые априорные границы для функций φ _i и их высших производных в терминах высших производных log( f _i ). Нахождение этих границ требует длинной последовательности жестких оценок, каждая из которых немного улучшает предыдущую оценку. Границ, которые получает Яу, достаточно, чтобы показать, что все функции φ _i лежат в компактном подмножестве подходящего банахова пространства функций, поэтому можно найти сходящуюся подпоследовательность. Эта подпоследовательность сходится к функции φ с изображением F , что показывает, что множество возможных изображений F замкнуто.

• Яу, Шинг Тунг (2009), «Многообразие Калаби-Яу», Scholarpedia , 4 (8): 6524, Бибкод : 2009SchpJ...4.6524Y, doi : 10.4249/scholarpedia.6524