Обратное неравенство Мильмана Брунна–Минковского

В математике , в частности, в асимптотической выпуклой геометрии , обратное неравенство Брунна–Минковского Мильмана — это результат Виталия Мильмана ^[1] , который дает обратное неравенство к знаменитому неравенству Брунна–Минковского для выпуклых тел в n - мерном евклидовом пространстве R ⁿ . А именно, оно ограничивает объем суммы Минковского двух тел сверху через объемы тел.

Пусть K и L — выпуклые тела в Rn . Неравенство Брунна–Минковского утверждает, ^что

${\displaystyle \mathrm {vol} (K+L)^{1/n}\geq \mathrm {vol} (K)^{1/n}+\mathrm {vol} (L)^{1/n}~,}$

где vol обозначает n -мерную меру Лебега , а + в левой части обозначает сложение Минковского.

В общем случае обратная граница невозможна, поскольку можно найти выпуклые тела K и L единичного объема, такие, что объем их суммы Минковского будет сколь угодно большим. Теорема Мильмана утверждает, что можно заменить одно из тел его образом при правильно выбранном линейном отображении, сохраняющем объем, так что левая часть неравенства Брунна–Минковского будет ограничена постоянным кратным правой части.

Результат является одной из основных структурных теорем в локальной теории банаховых пространств . ^[2]

Существует константа C , не зависящая от n , такая, что для любых двух центрально-симметричных выпуклых тел K и L в R ⁿ существуют сохраняющие объем линейные отображения φ и ψ из R ⁿ в себя такие, что для любых действительных чисел s ,  t  > 0

${\displaystyle \mathrm {vol} (s\,\varphi K+t\,\psi L)^{1/n}\leq C\left(s\,\mathrm {vol} (\varphi K)^{1/n}+t\,\mathrm {vol} (\psi L)^{1/n}\right)~.}$

Одна из карт может быть выбрана в качестве идентичности. ^[3]

• Мильман, Виталий Д. (1986). «Негативность обратного неравенства Брунна-Минковского и приложений в локальной теории нормированных пространств. [Обратная форма неравенства Брунна-Минковского с приложениями к локальной теории нормированных пространств]». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 302 (1): 25–28 . МР  0827101.

• Pisier, Gilles (1989). Объем выпуклых тел и геометрия банахова пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 94. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36465-5. МР  1036275.