Логарифмически вогнутая мера

В математике борелевская мера μ на n - мерном евклидовом пространстве называется логарифмически вогнутой (или логарифмически вогнутой для краткости), если для любых компактных подмножеств A и B и 0 <  λ  < 1 выполняется${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mu (\lambda A+(1-\lambda)B)\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda },}$

где λ  A  + (1 −  λ )  B обозначает сумму Минковского λ A и  ( 1 −  λ )  B . ^[1]

Неравенство Брунна –Минковского утверждает, что мера Лебега является логарифмически вогнутой. Ограничение меры Лебега на любое выпуклое множество также является логарифмически вогнутым.

По теореме Борреля ^[2] вероятностная мера на R^d является логарифмически вогнутой тогда и только тогда, когда она имеет плотность относительно меры Лебега на некоторой аффинной гиперплоскости, и эта плотность является логарифмически вогнутой функцией . Таким образом, любая гауссовская мера является логарифмически вогнутой.

Неравенство Прекопы –Лейндлера показывает, что свертка логарифмически вогнутых мер является логарифмически вогнутой.

• Выпуклая мера , обобщение этой концепции
• Логарифмически вогнутая функция