петля Бола

В математике и абстрактной алгебре петля Бола — алгебраическая структура, обобщающая понятие группы . Петли Бола названы в честь голландского математика Геррита Бола, который ввел их в (Бол 1937).

Петля L называется левой петлей Бола, если она удовлетворяет тождеству

${\displaystyle а(b(ac))=(а(ba))c}$, для каждого a , b , c в L ,

в то время как L называется правой петлей Бола, если она удовлетворяет

${\displaystyle ((ca)b)a=c((ab)a)}$, для каждого a , b , c в L .

Эти идентичности можно рассматривать как ослабленные формы ассоциативности или усиленную форму (левой или правой) альтернативности .

Петля является как левым Болом, так и правым Болом тогда и только тогда, когда она является петлей Муфанга . С другой стороны, правая или левая петля Бола является Муфангом тогда и только тогда, когда она удовлетворяет гибкому тождеству a(ba) = (ab)a . Разные авторы используют термин «петля Бола» для обозначения либо левой, либо правой петли Бола.

Левое (правое) тождество Бола напрямую подразумевает левое (правое) альтернативное свойство , что можно показать, установив b равным тождеству.

Это также подразумевает свойство левой (правой) инверсии , как можно увидеть, установив b в левую (правую) инверсию a и используя деление цикла для отмены лишнего множителя a. В результате циклы Бола имеют двусторонние инверсии.

Петли Бола также являются ассоциативными по мощности .

Цикл Бола, в котором вышеупомянутый двусторонний обратный элемент удовлетворяет свойству автоморфного обратного элемента ( ab ) ⁻¹ = a ⁻¹ b ⁻¹ для всех a,b в L , известен как (левый или правый) цикл Брака или K-цикл (названный в честь американского математика Ричарда Брака ). Пример в следующем разделе — цикл Брака.

Петли Брука имеют приложения в специальной теории относительности ; см. Ungar (2002). Левые петли Брука эквивалентны гирокоммутативным гирогруппам Ungar (2002) , хотя эти две структуры определяются по-разному.

Пусть L обозначает множество nxn положительно определенных эрмитовых матриц над комплексными числами. Обычно неверно, что матричное произведение AB матриц A , B в L является эрмитовым, не говоря уже о положительно определенном. Однако существует единственная P в L и единственная унитарная матрица U такие, что AB = PU ; это полярное разложение AB . Определим бинарную операцию * на L как A * B = P . Тогда ( L , *) является левой петлей Брака. Явная формула для * задается как A * B = ( AB ² A ) ^1/2 , где верхний индекс 1/2 указывает на единственный положительно определенный эрмитов квадратный корень .

(Левая) алгебра Бола — это векторное пространство, снабженное бинарной операцией и тернарной операцией , которое удовлетворяет следующим тождествам: ^[1]${\displaystyle [а,б]+[б,а]=0}$${\displaystyle \{a,b,c\}}$

${\displaystyle \{a,b,c\}+\{b,a,c\}=0}$

и

${\displaystyle \{a,b,c\}+\{b,c,a\}+\{c,a,b\}=0}$

и

${\displaystyle [\{a,b,c\},d]-[\{a,b,d\},c]+\{c,d,[a,b]\}-\{a,b,[c,d]\}+[[a,b],[c,d]]=0}$

и

${\displaystyle \{a,b,\{c,d,e\}\}-\{\{a,b,c\},d,e\}-\{c,\{a,b,d\},e\}-\{c,d,\{a,b,e\}\}=0}$.

Обратите внимание, что {.,.,.} действует как тройная система Ли . Если A — левая или правая альтернативная алгебра , то она имеет ассоциированную алгебру Бола A ^b , где — коммутатор , а — ассоциатор Жордана .${\displaystyle [a,b]=ab-ba}$${\displaystyle \{a,b,c\} =\langle b,c,a\rangle}$

• Бол, Г. (1937), «Gewebe und gruppen», Mathematische Annalen , 114 (1): 414–431 , doi : 10.1007/BF01594185, ISSN  0025-5831, JFM  63.1157.04, MR  1513147, Zbl  0016.22603
• Kiechle, H. (2002). Теория K-петли . Springer. ISBN 978-3-540-43262-3.
• Pflugfelder, HO (1990). Квазигруппы и циклы: Введение . Heldermann. ISBN 978-3-88538-007-8. Глава VI посвящена петлям Бола.
• Робинсон, ДА (1966). «Петли Бола». Trans. Amer. Math. Soc . 123 (2): 341– 354. doi : 10.1090/s0002-9947-1966-0194545-4 . JSTOR  1994661.
• Унгар, А.А. (2002). За пределами закона сложения Эйнштейна и его гироскопической прецессии Томаса: теория гирогрупп и гировекторных пространств . Клювер. ISBN 978-0-7923-6909-7.