Тройная система

В алгебре тройная система ( или тернар ) — это векторное пространство V над полем F вместе с F -трилинейным отображением

${\displaystyle (\cdot ,\cdot ,\cdot )\colon V\times V\times V\to V.}$

Наиболее важными примерами являются тройные системы Ли и тройные системы Йордана . Они были введены Натаном Якобсоном в 1949 году для изучения подпространств ассоциативных алгебр, замкнутых относительно тройных коммутаторов [[ u , v ], w ] и тройных антикоммутаторов { u , { v , w }}. В частности, любая алгебра Ли определяет тройную систему Ли, а любая алгебра Йордана определяет тройную систему Йордана. Они важны в теориях симметричных пространств , в частности эрмитовых симметричных пространств и их обобщений ( симметричных R-пространств и их некомпактных сопряженных).

Тройная система называется тройной системой Ли, если трилинейное отображение, обозначаемое , удовлетворяет следующим тождествам:${\displaystyle [\cdot ,\cdot ,\cdot ]}$

${\displaystyle [u,v,w]=-[v,u,w]}$

${\displaystyle [u,v,w]+[w,u,v]+[v,w,u]=0}$

${\displaystyle [u,v,[w,x,y]]=[[u,v,w],x,y]+[w,[u,v,x],y]+[w,x,[u,v,y]].}$

Первые два тождества абстрагируют косую симметрию и тождество Якоби для тройного коммутатора, тогда как третье тождество означает, что линейное отображение L _{u , v} :  V  →  V , определенное как L _{u , v} ( w ) = [ u , v , w ], является выводом тройного произведения. Тождество также показывает, что пространство k = span {L _{u , v}  : u , v ∈ V } замкнуто относительно скобки коммутатора, следовательно, является алгеброй Ли.

Записывая m вместо V , следует, что

${\displaystyle {\mathfrak {g}}:=k\oplus {\mathfrak {m}}}$

можно преобразовать в -градуированную алгебру Ли, стандартное вложение m , со скобками${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle [(L,u),(M,v)]=([L,M]+L_{u,v},L(v)-M(u)).}$

Разложение g , очевидно, является симметричным разложением для этой скобки Ли, и, следовательно, если G — связная группа Ли с алгеброй Ли g , а K — подгруппа с алгеброй Ли k , то G / K — симметричное пространство .

Наоборот, если задана алгебра Ли g с таким симметричным разложением (т.е. это алгебра Ли симметричного пространства), тройная скобка [[ u , v ], w ] превращает m в тройную систему Ли.

Говорят, что тройная система является жордановой тройной системой, если трилинейное отображение, обозначаемое {.,.,.}, удовлетворяет следующим тождествам:

${\displaystyle \{u,v,w\} =\{u,w,v\}}$

${\displaystyle \{u,v,\{w,x,y\}\}=\{w,x,\{u,v,y\}\}+\{w,\{u,v,x\},y\}-\{\{v,u,w\},x,y\}.}$

Первое тождество абстрагирует симметрию тройного антикоммутатора, тогда как второе тождество означает, что если L _{u , v} : V → V определяется как L _{u , v} ( y ) = { u , v , y }, то

${\displaystyle [L_{u,v},L_{w,x}]:=L_{u,v}\circ L_{w,x}-L_{w,x}\circ L_{u,v}=L_{w,\{u,v,x\}}-L_{\{v,u,w\},x}}$

так что пространство линейных отображений span {L _{u , v} : u , v ∈ V } замкнуто относительно коммутаторной скобки и, следовательно, является алгеброй Ли g ₀ .

Любая система троек Жордана является системой троек Ли относительно произведения

${\displaystyle [u,v,w]=\{u,v,w\}-\{v,u,w\}.}$

Говорят, что система тройных Жорданов положительно определена (соотв. невырождена ), если билинейная форма на V, определяемая следом L _{u , v} , положительно определена (соотв. невырождена). В любом случае, существует отождествление V с его сопряженным пространством и соответствующая инволюция на g ₀ . Они индуцируют инволюцию

${\displaystyle V\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus V^{*}}$

которая в положительно определенном случае является инволюцией Картана. Соответствующее симметричное пространство является симметричным R-пространством . Оно имеет некомпактное сопряженное, заданное заменой инволюции Картана ее композитом с инволюцией, равной +1 на g ₀ и −1 на V и V ^* . Частный случай этой конструкции возникает, когда g ₀ сохраняет комплексную структуру на V . В этом случае мы получаем дуальные эрмитовы симметрические пространства компактного и некомпактного типа (последние являются ограниченными симметрическими областями ).

Жорданова пара — это обобщение жордановой тройной системы, включающей два векторных пространства V ₊ и V ₋ . Трилинейное отображение затем заменяется парой трилинейных отображений

${\displaystyle \{\cdot ,\cdot ,\cdot \}_{+}\двоеточие V_{-}\times S^{2}V_{+}\to V_{+}}$

${\displaystyle \{\cdot ,\cdot ,\cdot \}_{-}\двоеточие V_{+}\times S^{2}V_{-}\to V_{-}}$

которые часто рассматриваются как квадратичные отображения V ₊ → Hom( V ₋ , V ₊ ) и V ₋ → Hom( V ₊ , V ₋ ). Другая аксиома Жордана (кроме симметрии) также заменяется двумя аксиомами, одна из которых

${\displaystyle \{u,v,\{w,x,y\}_{+}\}_{+}=\{w,x,\{u,v,y\}_{+}\}_{+}+\{w,\{u,v,x\}_{+},y\}_{+}-\{\{v,u,w\}_{-},x,y\}_{+}}$

а другой — аналог с поменянными местами индексами + и −.

Как и в случае жордановых тройных систем, для u в V ₋ и v в V ₊ можно определить линейное отображение

${\displaystyle L_{u,v}^{+}:V_{+}\to V_{+}\quad {\text{by}}\quad L_{u,v}^{+}(y)=\{u,v,y\}_{+}}$

и аналогично L ⁻ . Аксиомы Жордана (кроме симметрии) могут быть тогда записаны

${\displaystyle [L_{u,v}^{\pm },L_{w,x}^{\pm }]=L_{w,\{u,v,x\}_{\pm }}^{\pm } -L_ {\{v,u,w\}_{\mp },x}^{\pm }}$

которые подразумевают, что образы L ⁺ и L ⁻ замкнуты в коммутаторных скобках в End( V ₊ ) и End( V ₋ ). Вместе они определяют линейное отображение

${\displaystyle V_{+}\otimes V_{-}\to {\mathfrak {gl}}(V_{+})\oplus {\mathfrak {gl}}(V_{-})}$

образом которой является подалгебра Ли , а тождества Жордана становятся тождествами Якоби для градуированной скобки Ли на${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$

${\displaystyle V_{+}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus V_{-},}$

так что наоборот, если

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{+1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{-1}}$

является градуированной алгеброй Ли, тогда пара является жордановой парой со скобками${\displaystyle ({\mathfrak {g}}_{+1},{\mathfrak {g}}_{-1})}$

${\displaystyle \{X_{\mp },Y_{\pm },Z_{\pm }\}_{\pm }:=[[X_{\mp },Y_{\pm }],Z_{\pm }].}$

Тройные системы Жордана — это пары Жордана с V ₊ = V ₋ и равными трилинейными отображениями. Другой важный случай возникает, когда V ₊ и V ₋ являются двойственными друг другу, причем двойственные трилинейные отображения определяются элементом

${\displaystyle \mathrm {End} (S^{2}V_{+})\cong S^{2}V_{+}^{*}\otimes S^{2}V_{-}^{*}\cong \mathrm {End} (S^{2}V_{-}).}$

Они возникают, в частности, когда вышеприведенное является полупростым, когда форма Убийства обеспечивает дуальность между и .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{+1}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}}$

• Ассоциатор
• Е ₇ (математика)
• Квадратичная йорданова алгебра

• Бертрам, Вольфганг (2000), Геометрия жордановых и лиевых структур , Lecture Notes in Mathematics, т. 1754, Springer, ISBN 978-3-540-41426-1
• Хельгасон, Сигурдур (2001) [1978], Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства, Graduate Studies in Mathematics, т. 34, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-2848-9

• Якобсон, Натан (1949), «Тройные системы Ли и Жордана», American Journal of Mathematics , 71 (1): 149– 170, doi :10.2307/2372102, JSTOR  2372102
• Камия, Нориаки (2001) [1994], «Тройная система Ли», Энциклопедия математики , EMS Press.
• Камия, Нориаки (2001) [1994], "Тройная система Жордана", Энциклопедия математики , EMS Press.
• Кёхер, М. (1969), Элементарный подход к ограниченным симметричным областям , Конспект лекций, Университет Райса
• Лоос, Оттмар (1969), Общая теория, Симметричные пространства, т. 1, WA Benjamin, OCLC  681278693
• Лоос, Оттмар (1969), Компактные пространства и классификация , Симметричные пространства, т. 2, WA Benjamin
• Лоос, Оттмар (1971), «Тройные системы Жордана, R -пространства и ограниченные симметричные области», Бюллетень Американского математического общества , 77 (4): 558– 561, doi : 10.1090/s0002-9904-1971-12753-2
• Лоос, Оттмар (2006) [1975], Жордановы пары, Lecture Notes in Mathematics, т. 460, Springer, ISBN 978-3-540-37499-2
• Лоос, Оттмар (1977), Ограниченные симметричные области и жордановы пары (PDF) , Математические лекции, Калифорнийский университет в Ирвайне, архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-03
• Мейберг, К. (1972), Лекции по алгебрам и тройным системам (PDF) , Университет Вирджинии
• Розенфельд, Борис (1997), Геометрия групп Ли , Математика и ее приложения, т. 393, Kluwer, стр. 92, ISBN 978-0792343905, ЗБЛ  0867.53002
• Тевелев, Э. (2002), «Обратные Мура-Пенроуза, параболические подгруппы и жордановы пары», Журнал теории Ли , 12 : 461–481 , arXiv : math/0101107 , Bibcode : 2001math......1107T