Неравенство Богомолова–Мияоки–Яу

В математике неравенство Богомолова–Мияоки–Яу — это неравенство

${\displaystyle c_{1}^{2}\leq 3c_{2}}$

между числами Черна компактных комплексных поверхностей общего типа . Его главный интерес заключается в том, как он ограничивает возможные топологические типы лежащего в основе действительного 4-многообразия. Он был независимо доказан Шинг-Тунгом Яу  (1977, 1978) и Ёити Мияокой  (1977), после того как Антониус Ван де Вен (1966) и Федор Богомолов  (1978) доказали более слабые версии с заменой константы 3 на 8 и 4.

Арманд Борель и Фридрих Хирцебрух показали, что неравенство наилучшим образом достигается путем нахождения бесконечного числа случаев, когда выполняется равенство. Неравенство ложно в положительной характеристике: Уильям Э. Лэнг (1983) и Роберт В. Истон (2008) привели примеры поверхностей в характеристике p , таких как обобщенные поверхности Рейно , для которых оно не выполняется.

Традиционная формулировка неравенства Богомолова–Мияоки–Яу выглядит следующим образом. Пусть X — компактная комплексная поверхность общего типа , и пусть c ₁ =  c ₁ ( X ) и c ₂ =  c ₂ ( X ) — первый и второй классы Черна комплексного касательного расслоения поверхности. Тогда

${\displaystyle c_{1}^{2}\leq 3c_{2}.}$

Более того, если равенство выполняется, то X является частным шара. Последнее утверждение является следствием дифференциально-геометрического подхода Яу, который основан на его разрешении гипотезы Калаби .

Так как — топологическая эйлерова характеристика и по теореме Тома–Хирцебруха о сигнатуре , где — сигнатура формы пересечения на вторых когомологиях, неравенство Богомолова–Мияоки–Яу можно также записать в виде ограничения на топологический тип поверхности общего вида:${\displaystyle c_{2}(X)=e(X)}$ ${\displaystyle c_{1}^{2}(X)=2e(X)+3\сигма (X)}$${\displaystyle \сигма (X)}$

${\displaystyle \sigma (X)\leq {\frac {1}{3}}e(X),}$

причем если то универсальное покрытие является шаром.${\displaystyle \сигма (X)=(1/3)e(X)}$

Вместе с неравенством Нётер неравенство Богомолова–Мияоки–Яу устанавливает границы в поиске комплексных поверхностей. Картографирование топологических типов, которые реализуются как комплексные поверхности, называется географией поверхностей . см. поверхности общего типа .

Если X — поверхность общего типа с , так что равенство выполняется в неравенстве Богомолова–Мияоки–Яу, то Яу (1977) доказал, что X изоморфно фактору единичного шара в по бесконечной дискретной группе. Примеры поверхностей, удовлетворяющих этому равенству, найти трудно. Борель (1963) показал, что существует бесконечно много значений c${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}}$${\displaystyle {\mathbb {C} }^{2}}$²
₁= 3 c _2, для которого существует поверхность. Дэвид Мамфорд  (1979) нашел фальшивую проективную плоскость с c²
₁= 3 c ₂ = 9, что является минимально возможным значением, поскольку c²
₁+ c ₂ всегда делится на 12, и Прасад и Йенг (2007), Прасад и Йенг (2010), Дональд И. Картрайт и Тим Стегер (2010) показали, что существует ровно 50 фальшивых проективных плоскостей.

Бартель, Хирцебрух и Хёфер (1987) предложили метод поиска примеров, который, в частности, дал поверхность X с c²
₁= 3 c ₂ = 3 ² 5 ⁴ . Ишида (1988) нашел частное этой поверхности с c²
₁= 3 c ₂ = 45, и взятие неразветвленных покрытий этого фактора дает примеры с c²
₁= 3 c ₂ = 45 k для любого положительного целого числа k . Дональд И. Картрайт и Тим Стегер (2010) нашли примеры с c²
₁= 3 c ₂ = 9 n для каждого положительного целого числа n .

• Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные комплексные поверхности , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фолге., т. 3. Фолге. 4, Шпрингер-Верлаг, Берлин, ISBN 978-3-540-00832-3, МР  2030225
• Бартель, Готфрид; Хирцебрух, Фридрих ; Хёфер, Томас (1987), Geradenconfigurationen und Algebraische Flächen , Аспекты математики, D4, Брауншвейг: Фридр. Вьюег и Сон, ISBN 978-3-528-08907-8, МР  0912097
• Богомолов, Федор А. (1978), "Голоморфные тензоры и векторные расслоения на проективных многообразиях", Известия Академии наук СССР. Серия Математическая , 42 (6): 1227–1287, ISSN  0373-2436, МР  0522939
• Борель, Арманд (1963), «Компактные формы Клиффорда-Клейна симметричных пространств», Топология , 2 (1–2): 111–122, doi : 10.1016/0040-9383(63)90026-0 , ISSN  0040-9383, MR  0146301
• Картрайт, Дональд И.; Стегер, Тим (2010), «Перечисление 50 фальшивых проективных плоскостей», Comptes Rendus Mathématique , 348 (1), Elsevier Masson SAS: 11–13, doi : 10.1016/j.crma.2009.11.016
• Истон, Роберт В. (2008), «Поверхности, нарушающие Богомолова-Мияока-Яу в положительной характеристике», Труды Американского математического общества , 136 (7): 2271–2278, arXiv : math/0511455 , doi :10.1090/S0002-9939-08-09466-5, ISSN  0002-9939, MR  2390492, S2CID  35276117
• Ишида, Маса-Нори (1988), «Эллиптическая поверхность, покрытая фальшивой проективной плоскостью Мамфорда», The Tohoku Mathematical Journal , Вторая серия, 40 (3): 367–396, doi : 10.2748/tmj/1178227980 , ISSN  0040-8735, MR  0957050
• Ланг, Уильям Э. (1983), «Примеры поверхностей общего типа с векторными полями», Арифметика и геометрия, т. II , Progr. Math., т. 36, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 167–173, MR  0717611
• Мияока, Ёити (1977), «О числах Черна поверхностей общего типа», Inventiones Mathematicae , 42 (1): 225–237, Bibcode : 1977InMat..42..225M, doi : 10.1007/BF01389789, ISSN  0020-9910, MR  0460343, S2CID  120699065
• Мамфорд, Дэвид (1979), «Алгебраическая поверхность с K-образным множеством, (K2)=9, pg=q=0», American Journal of Mathematics , 101 (1), Издательство Университета Джонса Хопкинса: 233–244, doi :10.2307/2373947, ISSN  0002-9327, JSTOR  2373947, MR  0527834
• Прасад, Гопал; Йенг, Саи-Ки (2007), «Поддельные проективные плоскости», Inventiones Mathematicae , 168 (2): 321–370, arXiv : math/0512115 , Bibcode : 2007InMat.168..321P, doi : 10.1007/s00222-007-0034-5, MR  2289867, S2CID  1990160
• Прасад, Гопал; Йенг, Саи-Ки (2010), «Дополнение к «Поддельным проективным плоскостям»", Inventiones Mathematicae , 182 (1): 213–227, arXiv : 0906.4932 , Bibcode :2010InMat.182..213P, doi :10.1007/s00222-010-0259-6, MR  2672284, S2CID  17216453
• Ван де Вен, Антониус (1966), «О числах Черна некоторых комплексных и почти комплексных многообразий», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 55 (6), Национальная академия наук: 1624–1627, Bibcode : 1966PNAS...55.1624V, doi : 10.1073/pnas.55.6.1624 , ISSN  0027-8424, JSTOR  57245, MR  0198496, PMC  224368 , PMID  16578639
• Яу, Шин Тунг (1977), «Гипотеза Калаби и некоторые новые результаты в алгебраической геометрии», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 74 (5), Национальная академия наук: 1798–1799, Bibcode : 1977PNAS...74.1798Y, doi : 10.1073/pnas.74.5.1798 , ISSN  0027-8424, JSTOR  67110, MR  0451180, PMC  431004 , PMID  16592394
• Яу, Шинг Тунг (1978), «О кривизне Риччи компактного кэлерова многообразия и комплексном уравнении Монжа-Ампера. I», Сообщения по чистой и прикладной математике , 31 (3): 339–411, doi :10.1002/cpa.3160310304, ISSN  0010-3640, MR  0480350