Биметрическая гравитация
Предлагаемые теории гравитации

Биметрическая гравитация или бигравитация относится к двум различным классам теорий. Первый класс теорий опирается на модифицированные математические теории гравитации (или тяготения), в которых используются два метрических тензора вместо одного. [1] [2] Вторая метрика может быть введена при высоких энергиях, подразумевая, что скорость света может зависеть от энергии, что позволяет строить модели с переменной скоростью света .

Если две метрики являются динамическими и взаимодействуют, первая возможность подразумевает две моды гравитонов , одну массивную и одну безмассовую; такие биметрические теории тогда тесно связаны с массивной гравитацией . [3] Существует несколько биметрических теорий с массивными гравитонами, например, приписываемые Натану Розену (1909–1995) [4] [5] [6] или Мордехаю Милгрому с релятивистскими расширениями модифицированной ньютоновской динамики ( МОНД ). [7] Совсем недавно разработки в области массивной гравитации также привели к новым последовательным теориям биметрической гравитации. [8] Хотя ни одна из них не была показана для более точного или более последовательного объяснения физических наблюдений, чем теория общей теории относительности , было показано, что теория Розена не согласуется с наблюдениями двойного пульсара Халса–Тейлора . [5] Некоторые из этих теорий приводят к космическому ускорению в поздние времена и, следовательно, являются альтернативами темной энергии . [9] [10] Биметрическая гравитация также противоречит измерениям гравитационных волн, испускаемых слиянием нейтронной звезды GW170817 . [11]

Напротив, второй класс биметрических теорий гравитации не опирается на массивные гравитоны и не изменяет закон Ньютона , а вместо этого описывает вселенную как многообразие , имеющее две связанные римановы метрики , где материя, населяющая два сектора, взаимодействует посредством гравитации (и антигравитации, если топология и рассматриваемое ньютоновское приближение вводят отрицательные состояния массы и энергии в космологии как альтернативу темной материи и темной энергии). Некоторые из этих космологических моделей также используют переменную скорость света в состоянии высокой плотности энергии эпохи доминирования излучения во вселенной, бросая вызов гипотезе инфляции . [12] [13] [14] [15] [16]

Бигравитация Розена (1940-1989)

В общей теории относительности (ОТО) предполагается, что расстояние между двумя точками в пространстве-времени задается метрическим тензором . Затем для расчета формы метрики на основе распределения энергии и импульса используется уравнение поля Эйнштейна .

В 1940 году Розен [1] [2] предположил, что в каждой точке пространства-времени, помимо риманового метрического тензора , существует евклидов метрический тензор . Таким образом, в каждой точке пространства-времени существуют две метрики: γ я дж {\displaystyle \гамма _{ij}} г я дж {\displaystyle g_{ij}}

  1. г с 2 = г я дж г х я г х дж {\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}}
  2. г σ 2 = γ я дж г х я г х дж {\displaystyle d\сигма ^{2}=\гамма _{ij}dx^{i}dx^{j}}

Первый метрический тензор, , описывает геометрию пространства-времени и, таким образом, гравитационное поле. Второй метрический тензор, , относится к плоскому пространству-времени и описывает инерционные силы. Символы Кристоффеля , образованные из и , обозначаются как и соответственно. г я дж {\displaystyle g_{ij}} γ я дж {\displaystyle \гамма _{ij}} г я дж {\displaystyle g_{ij}} γ я дж {\displaystyle \гамма _{ij}} { дж к я } {\displaystyle \{_{jk}^{i}\}} Г дж к я {\displaystyle \Gamma _ {jk}^{i}}

Поскольку разность двух связей является тензором, можно определить тензорное поле, заданное как: Δ дж к я {\displaystyle \Delta _ {jk}^{i}}

Δ дж к я = { дж к я } − Г дж к я {\displaystyle \Delta _{jk}^{i}=\{_{jk}^{i}\}-\Gamma _{jk}^{i}} ( 1 )

Тогда возникают два вида ковариантного дифференцирования: -дифференцирование на основе (обозначается точкой с запятой, например ), и ковариантное дифференцирование на основе (обозначается косой чертой, например ). Обычные частные производные обозначаются запятой (например ). Пусть и будут тензорами кривизны Римана, вычисленными из и , соответственно. В приведенном выше подходе тензор кривизны равен нулю, поскольку — плоская метрика пространства-времени. г {\displaystyle г} г я дж {\displaystyle g_{ij}} Х ; а {\displaystyle X_{;a}} γ я дж {\displaystyle \гамма _{ij}} Х / а {\displaystyle X_{/a}} Х , а {\displaystyle X_{,a}} Р я дж к час {\displaystyle R_{ijk}^{h}} П я дж к час {\displaystyle P_{ijk}^{h}} г я дж {\displaystyle g_{ij}} γ я дж {\displaystyle \гамма _{ij}} П я дж к час {\displaystyle P_{ijk}^{h}} γ я дж {\displaystyle \гамма _{ij}}

Прямой расчет дает тензор кривизны Римана

Р я дж к час = П я дж к час − Δ я дж / к час + Δ я к / дж час + Δ м дж час Δ я к м − Δ м к час Δ я дж м = − Δ я дж / к час + Δ я к / дж час + Δ м дж час Δ я к м − Δ м к час Δ я дж м {\displaystyle {\begin{aligned}R_{ijk}^{h}&=P_{ijk}^{h}-\Delta _{ij/k}^{h}+\Delta _{ik/j}^ {h}+\Delta _{mj}^{h}\Delta _{ik}^{m}-\Delta _{mk}^{h}\Delta _{ij}^{m}\\&=-\Delta _{ij/k}^{h}+\Delta _{ik/j}^{h}+\Delta _{mj}^{h}\ Delta _{ik}^{m}-\Delta _{mk}^{h}\Delta _{ij}^{m}\end{aligned}}}

Каждый член в правой части является тензором. Видно, что от ОТО можно перейти к новой формулировке, просто заменив {:} на и обычное дифференцирование на ковариантное -дифференцирование, на , меру интегрирования на , где , и . Введя однажды в теорию, мы имеем в своем распоряжении большое количество новых тензоров и скаляров. Можно составить другие уравнения поля, отличные от уравнений Эйнштейна. Возможно, что некоторые из них будут более удовлетворительными для описания природы. Δ {\displaystyle \Дельта} γ {\displaystyle \гамма} − г {\displaystyle {\sqrt {-g}}} г γ {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {g}{\gamma }}}} г 4 х {\displaystyle d^{4}x} − γ г 4 х {\displaystyle {\sqrt {-\gamma }}\,d^{4}x} г = дет ( г я дж ) {\displaystyle g=\det(g_{ij})} γ = дет ( γ я дж ) {\displaystyle \gamma =\det(\gamma _{ij})} г 4 х = г х 1 г х 2 г х 3 г х 4 {\displaystyle d^{4}x=dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4}} γ я дж {\displaystyle \гамма _{ij}}

Уравнение геодезической в ​​биметрической теории относительности (БР) имеет вид

г 2 х я г с 2 + Г дж к я г х дж г с г х к г с + Δ дж к я г х дж г с г х к г с = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{ds^{2}}}+\Гамма _{jk}^{i}{\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ds}}+\Дельта _{jk}^{i}{\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ds}}=0} ( 2 )

Из уравнений ( 1 ) и ( 2 ) видно , что их можно рассматривать как описывающие инерционное поле, поскольку оно исчезает при соответствующем преобразовании координат. Г {\displaystyle \Гамма}

Поскольку величина является тензором, она не зависит от какой-либо системы координат и, следовательно, может рассматриваться как описывающая постоянное гравитационное поле. Δ {\displaystyle \Дельта}

Розен (1973) нашел BR, удовлетворяющий принципу ковариантности и эквивалентности. В 1966 году Розен показал, что введение метрики пространства в рамки общей теории относительности не только позволяет получить тензор плотности энергии-импульса гравитационного поля, но и позволяет получить этот тензор из вариационного принципа. Уравнения поля BR, выведенные из вариационного принципа, имеют вид

К дж я = Н дж я − 1 2 δ дж я Н = − 8 π к Т дж я {\displaystyle K_{j}^{i}=N_{j}^{i}-{\frac {1}{2}}\delta _{j}^{i}N=-8\pi \kappa T_{j}^{i}} ( 3 )

где

Н дж я = 1 2 γ α β ( г час я г час дж / α ) / β {\displaystyle N_{j}^{i}={\frac {1}{2}}\gamma ^{\alpha \beta }(g^{hi}g_{hj/\alpha })_{/\beta }}

или

Н дж я = 1 2 γ α β { ( г час я г час дж , α ) , β − ( г час я г м дж Г час α м ) , β − γ α β ( Г дж α я ) , β + Г λ β я [ г час λ г час дж , α − г час λ г м дж Г час α м − Г дж α λ ] − Г дж β λ [ г час я г час λ , α − г час я г м λ Г час α м − Г λ α я ] + Г α β λ [ г час я г час дж , λ − г час я г м дж Г час λ м − Г дж λ я ] } {\displaystyle {\begin{aligned}N_{j}^{i}&={\frac {1}{2}}\gamma ^{\alpha \beta }\left\{\left(g^{hi}g_{hj,\alpha }\right)_{,\beta }-\left(g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}\right)_{,\beta }-\gamma ^{\alpha \beta }\left(\Gamma _{j\alpha }^{i}\right)_{,\beta }+\Gamma _{\lambda \beta }^{i}\left[g^{h\lambda }g_{hj,\alpha }-g^{h\lambda }g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{j\alpha }^{\lambda }\right]-\right.\\&\qquad \Gamma _{j\beta }^{\lambda }\left[g^{hi}g_{h\lambda ,\alpha }-g^{hi}g_{m\lambda }\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{\lambda \alpha }^{i}\right]+\Gamma _{\alpha \beta }^{\lambda }\left.\left[g^{hi}g_{hj,\lambda }-g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\lambda }^{m}-\Gamma _{j\lambda }^{i}\right]\right\}\end{выровнено}}}

с

Н = г я дж Н я дж {\displaystyle N=g^{ij}N_{ij}} , к = г γ {\displaystyle \kappa = {\ sqrt {\frac {g}{\gamma }}}}

и является тензором энергии-импульса. Т дж я {\displaystyle T_{j}^{i}}

Вариационный принцип также приводит к соотношению

Т дж ; я я = 0 {\displaystyle T_{j;i}^{i}=0} .

Следовательно из ( 3 )

К дж ; я я = 0 {\displaystyle K_{j;i}^{i}=0} ,

что подразумевает, что в БР пробная частица в гравитационном поле движется по геодезической относительно г я дж . {\displaystyle g_{ij}.}

Розен продолжил совершенствовать свою биметрическую теорию гравитации с дополнительными публикациями в 1978 [17] и 1980 годах [18] , в которых он предпринял попытку «устранить сингулярности, возникающие в общей теории относительности, модифицируя ее таким образом, чтобы учесть существование фундаментальной системы покоя во Вселенной». В 1985 году [19] Розен снова попытался удалить сингулярности и псевдотензоры из общей теории относительности. Дважды в 1989 году с публикациями в марте [20] и ноябре [21] Розен продолжил развивать свою концепцию элементарных частиц в биметрическом поле общей теории относительности.

Установлено, что теории BR и GR различаются в следующих случаях:

  • распространение электромагнитных волн
  • внешнее поле звезды высокой плотности
  • поведение интенсивных гравитационных волн, распространяющихся через сильное статическое гравитационное поле.

С 1992 года было показано, что предсказания гравитационного излучения в теории Розена противоречат наблюдениям двойного пульсара Халса-Тейлора . [5]

Огромная бигравитация

С 2010 года интерес к бигравитации возобновился после разработки Клаудией де Рам , Григорием Габададзе и Эндрю Толли (dRGT) здоровой теории массивной гравитации. [22] Массивная гравитация является биметрической теорией в том смысле, что нетривиальные члены взаимодействия для метрики могут быть записаны только с помощью второй метрики, поскольку единственный непроизводный член, который может быть записан с использованием одной метрики, — это космологическая постоянная . В теории dRGT вводится нединамическая «референтная метрика», а члены взаимодействия строятся из матричного квадратного корня из . г μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} ф μ ν {\displaystyle f_{\mu \nu }} г − 1 ф {\displaystyle г^{-1}ф}

В массивной гравитации dRGT опорная метрика должна быть указана вручную. Можно задать опорную метрику как член Эйнштейна–Гильберта , в этом случае она не выбирается, а вместо этого динамически развивается в ответ на и, возможно, материю. Эта массивная бигравитация была введена Фавадом Хассаном и Рэйчел Розен как расширение массивной гравитации dRGT. [3] [23] ф μ ν {\displaystyle f_{\mu \nu }} г μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }}

Теория dRGT имеет решающее значение для разработки теории с двумя динамическими метриками, поскольку общие биметрические теории страдают от призрака Бульвара-Дезера , возможной шестой поляризации для массивного гравитона. [24] Потенциал dRGT специально построен так, чтобы сделать этот призрак нединамическим, и пока кинетический член для второй метрики имеет форму Эйнштейна-Гильберта, результирующая теория остается свободной от призраков. [3]

Действие для безпризрачной массивной бигравитации определяется выражением [ 25]

С = − М г 2 2 ∫ г 4 х − г Р ( г ) − М ф 2 2 ∫ г 4 х − ф Р ( ф ) + м 2 М г 2 ∫ г 4 х − г ∑ н = 0 4 β н е н ( Х ) + ∫ г 4 х − г Л м ( г , Ф я ) . {\displaystyle S=-{\frac {M_{g}^{2}}{2}}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}R(g)-{\frac {M_{f}^{2}}{2}}\int d^{4}x{\sqrt {-f}}R(f)+m^{2}M_{g}^{2}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\displaystyle \sum _{n=0}^{4}\beta _{n}e_{n}(\mathbb {X} )+\int d^{4}x{\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} }(g,\Phi _{i}).}

Как и в стандартной общей теории относительности, метрика имеет кинетический член Эйнштейна–Гильберта, пропорциональный скаляру Риччи , и минимальную связь с лагранжианом материи , с представлением всех полей материи, таких как поля Стандартной модели . Член Эйнштейна–Гильберта также дан для . Каждая метрика имеет свою собственную массу Планка , обозначаемую и соответственно. Потенциал взаимодействия такой же, как в массивной гравитации dRGT. Являются безразмерными константами связи и (или, в частности , ) связаны с массой массивного гравитона. Эта теория распространяет семь степеней свободы, соответствующих безмассовому гравитону и массивному гравитону (хотя массивное и безмассовое состояния не совпадают ни с одной из метрик). g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} R ( g ) {\displaystyle R(g)} L m {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {m} }} Φ i {\displaystyle \Phi _{i}} f μ ν {\displaystyle f_{\mu \nu }} M g {\displaystyle M_{g}} M f {\displaystyle M_{f}} β i {\displaystyle \beta _{i}} m {\displaystyle m} β i 1 / 2 m {\displaystyle \beta _{i}^{1/2}m}

Потенциал взаимодействия строится из элементарных симметричных полиномов собственных значений матриц или , параметризованных безразмерными константами связи или , соответственно. Здесь — матричный квадратный корень матрицы . Записанный в индексной нотации, определяется соотношением e n {\displaystyle e_{n}} K = I − g − 1 f {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {I} -{\sqrt {g^{-1}f}}} X = g − 1 f {\displaystyle \mathbb {X} ={\sqrt {g^{-1}f}}} α i {\displaystyle \alpha _{i}} β i {\displaystyle \beta _{i}} g − 1 f {\displaystyle {\sqrt {g^{-1}f}}} g − 1 f {\displaystyle g^{-1}f} X {\displaystyle \mathbb {X} }

X μ α X α ν = g μ α f ν α . {\displaystyle X^{\mu }{}_{\alpha }X^{\alpha }{}_{\nu }=g^{\mu \alpha }f_{\nu \alpha }.}

Это можно записать непосредственно в терминах как e n {\displaystyle e_{n}} X {\displaystyle \mathbb {X} }

e 0 ( X ) = 1 , e 1 ( X ) = [ X ] , e 2 ( X ) = 1 2 ( [ X ] 2 − [ X 2 ] ) , e 3 ( X ) = 1 6 ( [ X ] 3 − 3 [ X ] [ X 2 ] + 2 [ X 3 ] ) , e 4 ( X ) = det ⁡ X , {\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(\mathbb {X} )&=1,\\e_{1}(\mathbb {X} )&=[\mathbb {X} ],\\e_{2}(\mathbb {X} )&={\frac {1}{2}}\left([\mathbb {X} ]^{2}-[\mathbb {X} ^{2}]\right),\\e_{3}(\mathbb {X} )&={\frac {1}{6}}\left([\mathbb {X} ]^{3}-3[\mathbb {X} ][\mathbb {X} ^{2}]+2[\mathbb {X} ^{3}]\right),\\e_{4}(\mathbb {X} )&=\operatorname {det} \mathbb {X} ,\end{aligned}}}

где скобки указывают на след , . Это конкретная антисимметричная комбинация членов в каждом из , которая отвечает за то, что призрак Бульвара–Дезера становится нединамичным. [ X ] ≡ X μ μ {\displaystyle [\mathbb {X} ]\equiv X^{\mu }{}_{\mu }} e n {\displaystyle e_{n}}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab Rosen, Nathan (1940), "Общая теория относительности и плоское пространство. I", Phys. Rev. , 57 (2): 147–150, Bibcode : 1940PhRv...57..147R, doi : 10.1103/PhysRev.57.147
  2. ^ ab Rosen, Nathan (1940), "Общая теория относительности и плоское пространство. II", Phys. Rev. , 57 (2): 150, Bibcode : 1940PhRv...57..150R, doi : 10.1103/PhysRev.57.150
  3. ^ abc Хассан, С.Ф.; Розен, Рэйчел А. (2012). «Биметрическая гравитация из массивной гравитации без призраков». JHEP . 1202 (2): 126. arXiv : 1109.3515 . Bibcode :2012JHEP...02..126H. doi :10.1007/JHEP02(2012)126. S2CID  118427524.
  4. ^ Розен, Натан (1973), «Биметрическая теория гравитации», Gen. Rel. Grav. , 4 (6): 435–447, Bibcode : 1973GReGr...4..435R, doi : 10.1007/BF01215403, S2CID  189831561
  5. ^ abc Уилл, Клиффорд (1992). "Возрождение общей теории относительности". В Дэвис, Пол (ред.). Новая физика . Cambridge University Press. стр. 18. ISBN 9780521438315. OCLC  824636830. Одним из интересных побочных продуктов этого стало опрокидывание биметрической теории гравитации Розена, которая до сих пор согласовывалась с экспериментами в солнечной системе. Оказалось, что эта теория делает радикально иные предсказания для потери энергии гравитационной волны, чем общая теория относительности, и находится в серьезном противоречии с наблюдениями.
  6. ^ «Натан Розен — человек и дело его жизни», Technion.ac.il, 2011, веб-сайт: Technion-rosen.
  7. ^ Милгром, М. (2009). "Биметрическая гравитация MOND". Phys. Rev. D. 80 ( 12): 123536. arXiv : 0912.0790 . Bibcode : 2009PhRvD..80l3536M. doi : 10.1103/PhysRevD.80.123536. S2CID  119229428.
  8. ^ Zyga, Lisa (21 сентября 2017 г.). «Гравитационные волны могут колебаться, как и нейтрино». Phys.org . Omicron Technology Limited.
  9. ^ Акрами, Яшар; Койвисто, Томи С.; Сандстад, Марит (2013). «Ускоренное расширение за счет бигравитации без призраков: статистический анализ с улучшенной общностью». JHEP . 1303 (3): 099. arXiv : 1209.0457 . Бибкод : 2013JHEP...03..099A. doi : 10.1007/JHEP03(2013)099. S2CID  54533200.
  10. ^ Акрами, Яшар; Хассан, СФ; Кённиг, Франк; Шмидт-Мэй, Ангнис; Соломон, Адам Р. (2015). «Биметрическая гравитация космологически жизнеспособна». Physics Letters B . 748 : 37–44. arXiv : 1503.07521 . Bibcode :2015PhLB..748...37A. doi :10.1016/j.physletb.2015.06.062. S2CID  118371127.
  11. ^ Baker T, Bellini E, Ferreira PG, Lagos M, Noller J, Sawicki I (декабрь 2017 г.). "Сильные ограничения на космологическую гравитацию из GW170817 и GRB 170817A". Physical Review Letters . 119 (25): 251301. arXiv : 1710.06394 . Bibcode :2017PhRvL.119y1301B. doi :10.1103/PhysRevLett.119.251301. PMID  29303333. S2CID  36160359.
  12. ^ Генри-Куанье, Ф. (30 апреля 2005 г.). «Дискретные симметрии и общая теория относительности, темная сторона гравитации». International Journal of Modern Physics A . 20 (11): 2341–2345. arXiv : gr-qc/0410055 . Bibcode :2005IJMPA..20.2341H. doi :10.1142/S0217751X05024602. S2CID  5063.
  13. ^ Хоссенфельдер, С. (15 августа 2008 г.). "Биметрическая теория с обменной симметрией". Physical Review D. 78 ( 4): 044015. arXiv : 0807.2838 . Bibcode : 2008PhRvD..78d4015H. doi : 10.1103/PhysRevD.78.044015. S2CID  119152509.
  14. ^ Хоссенфельдер, Сабина (июнь 2009 г.). Антигравитация . 17-я Международная конференция по суперсимметрии и объединению фундаментальных взаимодействий. Бостон: Американский институт физики. arXiv : 0909.3456 . doi :10.1063/1.3327545.
  15. ^ Petit, J.-P.; d'Agostini, G. (10 ноября 2014 г.). «Космологическая биметрическая модель с взаимодействующими положительными и отрицательными массами и двумя различными скоростями света, в согласии с наблюдаемым ускорением Вселенной» (PDF) . Modern Physics Letters A. 29 ( 34): 1450182. Bibcode : 2014MPLA...2950182P. doi : 10.1142/S021773231450182X.
  16. ^ О'Дауд, Мэтт (7 февраля 2019 г.). "Звуковые волны из начала времени". PBS Space Time . PBS . 16 минут в . Получено 8 февраля 2019 г. Альтернативная модель того, как может вести себя отрицательная масса: в так называемой "биметрической гравитации" у вас могут быть положительные и отрицательные массы, но каждая из них описывается своим собственным набором уравнений поля Эйнштейна. Это своего рода "параллельные пространства-времена", одно с положительными и одно с отрицательными массами, которые все еще могут взаимодействовать гравитационно. В этих моделях одноименные массы притягиваются, а противоположные массы отталкиваются... и вы не получите безумного "убегающего движения", которое происходит, если вы помещаете как положительные, так и отрицательные массы в одно и то же пространство-время. Так что никаких вечных двигателей... Его также можно использовать для объяснения темной энергии и темной материи.
  17. ^ Розен, Натан (апрель 1978 г.). «Биметрическая теория гравитации на космологической основе». Общая теория относительности и гравитация . 9 (4): 339–351. Bibcode :1978GReGr...9..339R. doi :10.1007/BF00760426. S2CID  122535391.
  18. ^ Розен, Натан (октябрь 1980 г.). «Общая теория относительности с фоновой метрикой». Foundations of Physics . 10 (9–10): 673–704. Bibcode :1980FoPh...10..673R. doi :10.1007/BF00708416. S2CID  122332164.
  19. ^ Розен, Натан (октябрь 1985). «Локализация гравитационной энергии». Основы физики . 15 (10): 997–1008. Bibcode :1985FoPh...15..997R. doi :10.1007/BF00732842. S2CID  120011940.
  20. ^ Розен, Натен (март 1989). «Элементарные частицы в биметрической общей теории относительности». Основы физики . 19 (3): 339–348. Bibcode :1989FoPh...19..339R. doi :10.1007/BF00734563. S2CID  121456662.
  21. ^ Розен, Натан (ноябрь 1989 г.). «Элементарные частицы в биметрической общей теории относительности. II». Основы физики . 19 (11): 1337–1344. Bibcode :1989FoPh...19.1337R. doi :10.1007/BF00732755. S2CID  189851052.
  22. ^ de Rham, Claudia ; Gabadadze, Gregory ; Tolley, Andrew J. (2011). "Resummation of Massive Gravity". Phys. Rev. Lett . 106 (23): 231101. arXiv : 1011.1232 . Bibcode : 2011PhRvL.106w1101D. doi : 10.1103/PhysRevLett.106.231101. PMID  21770493. S2CID  3564069.
  23. ^ Merali, Zeeya (2013-09-10). "Толстая гравитационная частица дает ключи к темной энергии". Nature News . Получено 2019-01-23 .
  24. ^ Boulware, David G.; Deser, Stanley (1972). «Может ли гравитация иметь конечный диапазон?» (PDF) . Phys. Rev. D6 ( 12): 3368–3382. Bibcode : 1972PhRvD...6.3368B. doi : 10.1103/PhysRevD.6.3368. S2CID  124214140.
  25. ^ Хассан, С.Ф.; Розен, Рэйчел А. (2011). «О нелинейных действиях для массивной гравитации». JHEP . 1107 (7): 009. arXiv : 1103.6055 . Bibcode : 2011JHEP...07..009H. doi : 10.1007/JHEP07(2011)009. S2CID  119240485.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bimetric_gravity&oldid=1239046979"