Уравнение Бете–Солпитера
Уравнение для связанных состояний двух тел

Уравнение Бете–Солпитера (BSE, названо в честь Ганса Бете и Эдвина Солпитера ) [1] — интегральное уравнение, решение которого описывает структуру связанного состояния релятивистских двух тел (частиц) в ковариантном формализме квантовой теории поля (КТП). Уравнение было впервые опубликовано в 1950 году в конце статьи Ёитиро Намбу , но без вывода. [2]

Графическое представление уравнения Бете-Солпитера, показывающее его рекурсивное определение.

Из-за его общего применения в нескольких областях теоретической физики, уравнение Бете-Солпитера появляется во многих формах. Одна из форм, часто используемая в физике высоких энергий , это

Г ( П , п ) = ∫ г 4 к ( 2 π ) 4 К ( П , п , к ) С ( к − П 2 ) Г ( П , к ) С ( к + П 2 ) {\displaystyle \Гамма (P,p)=\int \!{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}\;K(P,p,k)\,S(k-{\tfrac {P}{2}})\,\Гамма (P,k)\,S(k+{\tfrac {P}{2}})}

где — амплитуда Бете-Солпитера (BSA), функция Грина, представляющая взаимодействие и одетые пропагаторы двух составных частиц. Г {\displaystyle \Гамма} К {\displaystyle К} С {\displaystyle S}

В квантовой теории связанные состояния представляют собой составные физические системы со временем жизни , значительно превышающим временной масштаб взаимодействия, разрушающего их структуру (иначе рассматриваемые физические системы называются резонансами ), что дает достаточно времени для взаимодействия составляющих. Учитывая все возможные взаимодействия, которые могут возникнуть между двумя составляющими, BSE является инструментом для расчета свойств глубоко связанных состояний. BSA как его решение кодирует структуру рассматриваемого связанного состояния.

Поскольку это уравнение может быть получено путем идентификации связанных состояний с полюсами в S-матрице 4-точечной функции, включающей составляющие частицы, оно относится к квантово-полевому описанию процессов рассеяния с применением функций Грина .

Как инструмент общего назначения, приложения BSE можно найти в большинстве квантовых теорий поля. Примерами служат позитроний (связанное состояние пары электрон - позитрон ), экситоны (связанные состояния пар электрон-дырка [3] ) и мезоны (как связанные состояния кварк -антикварк). [4]

Даже для простых систем, таких как позитроний , уравнение не может быть решено точно в рамках квантовой электродинамики (КЭД), несмотря на его точную формулировку. Редукция уравнения может быть достигнута без точного решения. В случае, когда рождение пар частиц можно игнорировать, если один из двух фермионных компонентов значительно массивнее другого , система упрощается до уравнения Дирака для легкой частицы под внешним потенциалом тяжелой.

Вывод

Отправной точкой для вывода уравнения Бете-Солпитера является двухчастичное (или четырехточечное) уравнение Дайсона

Г = С 1 С 2 + С 1 С 2 К 12 Г {\displaystyle G=S_{1}\,S_{2}+S_{1}\,S_{2}\,K_{12}\,G}

в импульсном пространстве, где "G" - двухчастичная функция Грина , "S" - свободные пропагаторы , а "K" - ядро ​​взаимодействия, которое содержит все возможные взаимодействия между двумя частицами. Теперь решающим шагом является предположение, что связанные состояния появляются как полюса в функции Грина. Предполагается, что две частицы объединяются и образуют связанное состояние с массой "M", это связанное состояние свободно распространяется, а затем связанное состояние снова распадается на две составляющие. Поэтому вводится волновая функция Бете-Солпитера , которая является амплитудой перехода двух составляющих в связанное состояние , а затем делается анзац для функции Грина вблизи полюса как ⟨ Ω | ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 | Ω ⟩ {\displaystyle \langle \Omega |\phi _{1}\,\phi _{2}\,\phi _{3}\,\phi _{4}|\Omega \rangle } Ψ = ⟨ Ω | ϕ 1 ϕ 2 | ψ ⟩ {\displaystyle \Psi =\langle \Omega |\phi _{1}\,\phi _{2}|\psi \rangle } ϕ я {\displaystyle \фи _{я}} ψ {\displaystyle \пси}

Г ≈ Ψ Ψ ¯ П 2 − М 2 , {\displaystyle G\approx {\frac {\Psi \;{\bar {\Psi }}}{P^{2}-M^{2}}},}

где P — полный импульс системы. Видно, что если для этого импульса выполняется уравнение, которое является в точности соотношением энергии-импульса Эйнштейна (с Четырех-импульсом и ), то четырехточечная функция Грина содержит полюс. Если подставить этот Анзац в уравнение Дайсона выше и задать полный импульс «P» таким образом, чтобы соотношение энергии-импульса выполнялось, то с обеих сторон члена появится полюс. П 2 = М 2 {\displaystyle P^{2}=M^{2}} П μ = ( Э / с , п → ) {\displaystyle P_{\mu }=\left(E/c,{\vec {p}}\right)} П 2 = П μ П μ {\displaystyle P^{2}=P_{\mu }\,P^{\mu }}

Ψ Ψ ¯ П 2 − М 2 = С 1 С 2 + С 1 С 2 К 12 Ψ Ψ ¯ П 2 − М 2 {\displaystyle {\frac {\Psi \;{\bar {\Psi }}}{P^{2}-M^{2}}}=S_{1}\,S_{2}+S_{1}\,S_{2}\,K_{12}{\frac {\Psi \;{\bar {\Psi }}}{P^{2}-M^{2}}}}

Сравнение остатков урожайности

Ψ = С 1 С 2 К 12 Ψ , {\displaystyle \Psi =S_{1}\,S_{2}\,K_{12}\Psi,\,}

Это уже уравнение Бете–Солпитера, записанное в терминах волновых функций Бете–Солпитера. Чтобы получить указанную выше форму, вводятся амплитуды Бете–Солпитера «Γ»

Ψ = С 1 С 2 Г {\displaystyle \Psi =S_{1}\,S_{2}\,\Gamma }

и наконец получает

Г = К 12 С 1 С 2 Г {\displaystyle \Gamma =K_{12}\,S_{1}\,S_{2}\,\Gamma }

что записано выше, с явной зависимостью от импульса.

Радужно-лестничное приближение

Графическое представление уравнения Бете–Солпитера в лестничном приближении

В принципе ядро ​​взаимодействия K содержит все возможные двухчастично-неприводимые взаимодействия, которые могут возникнуть между двумя составляющими. Для того, чтобы провести практические вычисления, необходимо смоделировать его, выбрав подмножество взаимодействий. Как и в квантовых теориях поля , взаимодействие описывается посредством обмена частицами (например, фотонами в КЭД или глюонами в квантовой хромодинамике ), за исключением контактных взаимодействий, наиболее простое взаимодействие моделируется посредством обмена только одной из этих частиц-носителей силы с известным пропагатором.

Поскольку уравнение Бете-Солпитера суммирует взаимодействие бесконечное число раз с точки зрения возмущений, результирующий график Фейнмана напоминает форму лестницы (или радуги), отсюда и название этого приближения.

В то время как в КЭД приближение лестницы вызывало проблемы с перекрестной симметрией и калибровочной инвариантностью, что указывает на включение членов перекрестной лестницы. В квантовой хромодинамике (КХД) это приближение часто используется феноменологически для вычисления массы адрона и его структуры в терминах амплитуд Бете-Солпитера и амплитуд Фаддеева, известный анзац которого предложен Марисом и Тэнди. [4] Такой анзац для одетой вершины кварк-глюона в усечении радужной лестницы учитывает киральную симметрию и ее динамическое нарушение , что, следовательно, является важным моделированием сильного ядерного взаимодействия . В качестве примера структура пионов может быть решена с применением анзаца Мариса-Тэнди из уравнения Бете-Солпитера в евклидовом пространстве. [5]

Нормализация

Как и для решений любого однородного уравнения, для уравнения Бете–Солпитера решение определяется с точностью до числового множителя. Этот множитель должен быть задан определенным условием нормировки. Для амплитуд Бете–Солпитера это обычно делается путем требования сохранения вероятности (аналогично нормировке квантово-механической волновой функции ), что соответствует уравнению [6]

2 P μ = Γ ¯ ( ∂ ∂ P μ ( S 1 ⊗ S 2 ) − S 1 S 2 ( ∂ ∂ P μ K ) S 1 S 2 ) Γ {\displaystyle 2P_{\mu }={\bar {\Gamma }}\left({\frac {\partial }{\partial P_{\mu }}}\left(S_{1}\otimes S_{2}\right)-S_{1}\,S_{2}\,\left({\frac {\partial }{\partial P_{\mu }}}\,K\right)\,S_{1}\,S_{2}\right)\Gamma }

Нормировки к заряду и тензору энергии-импульса связанного состояния приводят к одному и тому же уравнению. В приближении радужной лестницы это ядро ​​взаимодействия не зависит от полного импульса амплитуды Бете-Солпитера, в этом случае второй член условия нормировки исчезает. Альтернативная нормировка, основанная на собственном значении соответствующего линейного оператора, была получена Наканиши. [6]

Решение в пространстве Минковского

Уравнение Бете-Солпитера применимо ко всей кинематической области амплитуды Бете-Солпитера. Следовательно, оно определяет амплитуды, где функции не являются непрерывными. Такие сингулярности обычно располагаются, когда составляющий импульс является времениподобным, что напрямую недоступно из решений этого уравнения в евклидовом пространстве. Вместо этого разрабатываются методы решения этих типов интегральных уравнений непосредственно во времениподобной области. [7] В случае скалярных связанных состояний посредством обмена скалярными частицами в усечении радужной лестницы уравнение Бете-Солпитера в пространстве Минковского может быть решено с помощью интегрального представления Наканиши. [8]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ H. Bethe, E. Salpeter (1951). "Релятивистское уравнение для задач связанных состояний". Physical Review . 84 (6): 1232. Bibcode : 1951PhRv...84.1232S. doi : 10.1103/PhysRev.84.1232.
  2. ^ Y. Nambu (1950). "Потенциалы силы в квантовой теории поля". Progress of Theoretical Physics . 5 (4): 614. doi : 10.1143/PTP.5.614 .
  3. ^ MS Dresselhaus; et al. (2007). "Экситонная фотофизика углеродных нанотрубок". Annual Review of Physical Chemistry . 58 : 719–747. Bibcode :2007ARPC...58..719D. doi :10.1146/annurev.physchem.58.032806.104628. PMID  17201684.
  4. ^ ab P. Maris и P. Tandy (2006). "Моделирование КХД адронной физики". Nuclear Physics B . 161 : 136. arXiv : nucl-th/0511017 . Bibcode :2006NuPhS.161..136M. doi :10.1016/j.nuclphysbps.2006.08.012. S2CID  18911873.
  5. ^ Цзя, Шаоян; Клоэ, Ян (2024-02-23). ​​«Электромагнитный форм-фактор пиона из амплитуд Бете-Солпитера с соответствующей кинематикой». arXiv : 2402.00285 [hep-ph].
  6. ^ ab N. Nakanishi (1969). "Общий обзор теории уравнения Бете–Солпитера". Progress of Theoretical Physics Supplement . 43 : 1–81. Bibcode :1969PThPS..43....1N. doi : 10.1143/PTPS.43.1 .
  7. ^ Цзя, Шаоян (2017-03-01). "Формулировка уравнений Швингера-Дайсона для пропагаторов КЭД в пространстве Минковского". Диссертация, диссертация и магистерские проекты . doi :10.21220/S2CD44.
  8. ^ Цзя, Шаоян (2024-02-20). "Прямое решение уравнения Бете-Солпитера в пространстве Минковского в массивной модели Вика-Каткоски". Physical Review D. 109 ( 3): 036020. arXiv : 2312.08698 . doi : 10.1103/PhysRevD.109.036020.

Библиография

Многие современные учебники по квантовой теории поля и несколько статей предоставляют педагогические объяснения контекста и использования уравнения Бете-Солпитера. Смотрите:

  • W. Greiner, J. Reinhardt (2003). Квантовая электродинамика (3-е изд.). Springer . ISBN 978-3-540-44029-1.
  • ЗК Силагадзе (1998). "Модель Вика–Кутковского: Введение". arXiv : hep-ph/9803307 .

Тем не менее, хорошим введением является обзорная статья Наканиши.

Для исторических аспектов см.

  • Э. Солпитер (2008). «Уравнение Бете – Солпитера (происхождение)». Схоларпедия . 3 (11): 7483. arXiv : 0811.1050 . Бибкод : 2008SchpJ...3.7483S. doi : 10.4249/scholarpedia.7483 . S2CID  32913032.
  • Ямбо - плосковолновой псевдопотенциал
  • BerkeleyGW – плосковолновой псевдопотенциал
  • ExC - псевдопотенциал плоской волны
  • Fiesta - Гауссова всеэлектронная
  • Abinit - плосковолновой псевдопотенциал
  • VASP - плосковолновой псевдопотенциал

Более полный список кодов первых принципов см. здесь: Список программного обеспечения по квантовой химии и физике твердого тела.

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bethe–Salpeter_equation&oldid=1248495980"