Функция Бесселя–Клиффорда

В математическом анализе функция Бесселя –Клиффорда , названная в честь Фридриха Бесселя и Уильяма Кингдона Клиффорда , представляет собой целую функцию двух комплексных переменных , которая может быть использована для альтернативного развития теории функций Бесселя . Если

${\displaystyle \пи (x)={\frac {1}{\Пи (x)}}={\frac {1}{\Гамма (x+1)}}}$

— это целая функция, определяемая с помощью обратной гамма-функции , тогда функция Бесселя–Клиффорда определяется рядом

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\pi (k+n){\frac {z^{k}}{k !}}}$

Отношение последовательных членов равно z / k ( n  +  k ), которое для всех значений z и n стремится к нулю с ростом  k . По тесту отношения этот ряд сходится абсолютно для всех z и  n и равномерно для всех областей с ограниченными | z |, и, следовательно, функция Бесселя–Клиффорда является целой функцией двух комплексных переменных n и  z .

Из приведенного выше ряда при дифференцировании по x следует , что удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(x)}$

${\displaystyle xy''+(n+1)y'=y.\qquad }$

Это уравнение имеет обобщенный гипергеометрический тип, и фактически функция Бесселя–Клиффорда с точностью до масштабного коэффициента является гипергеометрической функцией Похгаммера–Барнса ; мы имеем

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(z)=\pi (n)\ _{0}F_{1}(;n+1;z).}$

Если n не является отрицательным целым числом, в этом случае правая часть не определена, то эти два определения по сути эквивалентны; гипергеометрическая функция нормализована таким образом, что ее значение при z = 0 равно единице.

Функцию Бесселя первого рода можно определить через функцию Бесселя–Клиффорда как

${\displaystyle J_{n}(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}{\mathcal {C}}_{n}\left(-{\frac {z^{2}}{4}}\right);}$

когда n не является целым числом. Из этого видно, что функция Бесселя не является полной. Аналогично, модифицированная функция Бесселя первого рода может быть определена как

${\displaystyle I_{n}(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}{\mathcal {C}}_{n}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right).}$

Конечно, процедуру можно провести в обратном порядке, так что мы можем определить функцию Бесселя–Клиффорда как

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(z)=z^{-n/2}I_{n}(2{\sqrt {z}});}$

но с этой отправной точки нам затем нужно будет показать, что она была целостной.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Из определяющего ряда сразу следует, что${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\mathcal {C}}_{n}(x)={\mathcal {C}}_{n+1}(x).}$

Используя это, мы можем переписать дифференциальное уравнение для как${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle x{\mathcal {C}}_{n+2}(x)+(n+1){\mathcal {C}}_{n+1}(x)={\mathcal {C}}_{n}(x),}$

что определяет рекуррентное соотношение для функции Бесселя–Клиффорда. Это эквивалентно аналогичному соотношению для ₀ F ₁ . Имеем, как частный случай цепной дроби Гаусса

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {C}}_{n+1}(x)}{{\mathcal {C}}_{n}(x)}}={\cfrac {1}{n+1+{\cfrac {x}{n+2+{\cfrac {x}{n+3+{\cfrac {x}{\ddots }}}}}}}}.}$

Можно показать, что эта цепная дробь сходится во всех случаях.

Дифференциальное уравнение Бесселя–Клиффорда

${\displaystyle xy''+(n+1)y'=y\qquad }$

имеет два линейно независимых решения. Поскольку начало координат является регулярной особой точкой дифференциального уравнения, а поскольку является целым, второе решение должно быть особым в начале координат.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Если мы установим

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}(x)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-t-{\frac {x}{t}}\right){\frac {dt}{t^{n+1}}}}$

которое сходится при , и аналитически продолжая его, получаем второе линейно независимое решение дифференциального уравнения.${\displaystyle \Re (x)>0}$

Множитель 1/2 вставлен для того, чтобы соответствовать функциям Бесселя второго рода. Имеем${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle K_{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}{\mathcal {K}}_{n}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right).}$

и

${\displaystyle Y_{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}{\mathcal {K}}_{n}\left(-{\frac {x^{2}}{4}}\right).}$

В терминах K имеем

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}(x)=x^{-n/2}K_{n}(2{\sqrt {x}}).}$

Следовательно, так же, как функция Бесселя и модифицированная функция Бесселя первого рода могут быть выражены через , функции Бесселя второго рода могут быть выражены через .${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

Если мы умножим абсолютно сходящийся ряд для exp( t ) и exp( z / t ) вместе, мы получим (когда t не равно нулю) абсолютно сходящийся ряд для exp( t  +  z / t ). Собирая члены по t , мы находим, сравнивая с определением степенного ряда для , что мы имеем${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$

${\displaystyle \exp \left(t+{\frac {z}{t}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}{\mathcal {C}}_{n}(z).}$

Эту производящую функцию можно затем использовать для получения дополнительных формул, в частности, мы можем использовать интегральную формулу Коши и получить для целого числа n следующее:${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {\exp(t+z/t)}{t^{n+1}}}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\exp(z\exp(-i\theta )+\exp(i\theta )-ni\theta )\,d\theta .}$

This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help improve this article by introducing more precise citations. (August 2009) (Learn how and when to remove this message)

• Клиффорд, Уильям Кингдон (1882), «О функциях Бесселя», Математические статьи , Лондон: 346–349.
• Гринхилл, А. Джордж ( 1919 ), «Функция Бесселя–Клиффорда и ее приложения», Philosophical Magazine , Шестая серия: 501–528.
• Лежандр, Адриен-Мари (1802), «Элементы геометрии» , Примечание IV, Париж.
• Шлефли, Людвиг (1868), «Sulla relazioni tra diversi Integrali definiti che giovano ad esprimere la soluzione Generale della Equazzione di Riccati», Annali di Matematica Pura ed Applicata , 2 (I): 232–242.
• Уотсон, Г. Н. (1944), Трактат по теории функций Бесселя (второе издание), Кембридж: Cambridge University Press.
• Валлиссер, Рольф (2000), «О доказательстве Ламберта иррациональности числа π», в книге Халтер-Кох, Франц; Тичи, Роберт Ф. (ред.), Алгебраическая теория чисел и диофантовый анализ , Берлин: Вальтер де Грюйер, ISBN 3-11-016304-7.