Функция Бесселя

Функции Бесселя , впервые определенные математиком Даниилом Бернулли и затем обобщенные Фридрихом Бесселем , являются каноническими решениями y ( x ) дифференциального уравнения Бесселя для произвольного комплексного числа , которое представляет порядок функции Бесселя. Хотя и производят одно и то же дифференциальное уравнение, принято определять различные функции Бесселя для этих двух значений таким образом, что функции Бесселя являются в основном гладкими функциями .$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)y=0}$$ ${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle -\альфа}$${\displaystyle \альфа}$

Наиболее важными являются случаи, когда является целым или полуцелым числом . Функции Бесселя для целых чисел также известны как цилиндрические функции или цилиндрические гармоники , поскольку они появляются в решении уравнения Лапласа в цилиндрических координатах . Сферические функции Бесселя с полуцелым числом получаются при решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах .${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle \альфа}$

Уравнение Бесселя возникает при нахождении разделяемых решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических или сферических координатах . Поэтому функции Бесселя особенно важны для многих задач распространения волн и статических потенциалов. При решении задач в цилиндрических системах координат получают функции Бесселя целого порядка ( α = n ); в сферических задачах получают полуцелые порядки ( α = n + ⁠1/2⁠ ). Например:

• Электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе
• Амплитуды давления невязких вихревых течений
• Теплопроводность в цилиндрическом объекте
• Режимы колебаний тонкой круглой или кольцевой акустической мембраны (например, барабанной перепонки или другого мембранофона ) или более толстых пластин, таких как листовой металл (см. теорию пластин Кирхгофа–Лява , теорию пластин Миндлина–Рейсснера )
• Задачи диффузии на решетке
• Решения радиального уравнения Шредингера (в сферических и цилиндрических координатах) для свободной частицы
• Представление позиционного пространства пропагатора Фейнмана в квантовой теории поля
• Решение задач акустического излучения
• Частотно-зависимое трение в кольцевых трубопроводах
• Динамика плавающих тел
• Угловое разрешение
• Дифракция от спиральных объектов, включая ДНК
• Функция плотности вероятности произведения двух нормально распределенных случайных величин ^[1]
• Анализ поверхностных волн, генерируемых микротолчками, в геофизике и сейсмологии .

Функции Бесселя также появляются в других задачах, таких как обработка сигналов (например, см. синтез звука FM , окно Кайзера или фильтр Бесселя ).

Поскольку это линейное дифференциальное уравнение, решения могут быть масштабированы до любой амплитуды. Амплитуды, выбранные для функций, берут начало в ранней работе, в которой функции появлялись как решения определенных интегралов, а не решения дифференциальных уравнений. Поскольку дифференциальное уравнение является уравнением второго порядка, должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств удобны различные формулировки этих решений. Различные вариации обобщены в таблице ниже и описаны в следующих разделах.

Функции Бесселя второго рода и сферические функции Бесселя второго рода иногда обозначаются как N _n и n _n , соответственно, а не как Y _n и y _n . ^{[2] [3]}

Функции Бесселя первого рода, обозначаемые как J _α ( x ) , являются решениями дифференциального уравнения Бесселя. Для целых или положительных  α функции Бесселя первого рода конечны в начале координат ( x = 0 ); в то время как для отрицательных нецелых  α функции Бесселя первого рода расходятся при приближении x к нулю. Можно определить функцию по временам ряда Маклорена (обратите внимание, что α не обязательно должно быть целым числом, а нецелые степени не допускаются в ряде Тейлора), который можно найти, применив метод Фробениуса к уравнению Бесселя: ^[4] где Γ( z ) — гамма-функция , смещенное обобщение факториальной функции на нецелые значения. Некоторые более ранние авторы определяли функцию Бесселя первого рода по-другому, по сути, без деления на в ; ^[5] это определение не используется в этой статье. Функция Бесселя первого рода является целой функцией , если α — целое число, в противном случае это многозначная функция с сингулярностью в нуле. Графики функций Бесселя выглядят примерно как осциллирующие функции синуса или косинуса , которые затухают пропорционально (см. также их асимптотические формы ниже), хотя их корни, как правило, не являются периодическими, за исключением асимптотических для больших x . (Ряд показывает, что − J ₁ ( x ) является производной J ₀ ( x ) , так же как −sin x является производной cos x ; в более общем случае производная J _n ( x ) может быть выражена через J _{n ± 1} ( x ) с помощью тождеств ниже.)${\displaystyle x^{\альфа}}$$${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha },}$$${\displaystyle 2}$${\displaystyle x/2}$${\displaystyle х^{-{1}/{2}}}$

Для нецелых α функции J _α ( x ) и J _{− α} ( x ) линейно независимы и, следовательно, являются двумя решениями дифференциального уравнения. С другой стороны, для целых порядков n справедливо следующее соотношение (гамма-функция имеет простые полюса в каждом из неположительных целых чисел): ^[6]$${\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).}$$

Это означает, что два решения больше не являются линейно независимыми. В этом случае второе линейно независимое решение оказывается функцией Бесселя второго рода, как обсуждается ниже.

Другое определение функции Бесселя для целых значений n возможно с использованием интегрального представления: ^[7] которое также называется формулой Хансена-Бесселя. ^[8]$${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau)\,d\ tau = {\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\pi }e^{i(n\tau -x\sin \tau )}\,d\tau \right),}$$

Это был подход, который использовал Бессель, ^[9] и из этого определения он вывел несколько свойств функции. Определение может быть расширено до нецелых порядков одним из интегралов Шлефли, для Re( x ) > 0 : ^{[7] [10] [11] [12] [13]}$${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau)\, d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh т-\альфа т}\,дт.}$$

Функции Бесселя можно выразить через обобщенный гипергеометрический ряд как ^[14]$${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}\left(\alpha +1;-{\frac {x^{2}}{4}}\right).}$$

Это выражение связано с разложением функций Бесселя через функцию Бесселя–Клиффорда .

В терминах полиномов Лагерра L _k и произвольно выбранного параметра t функция Бесселя может быть выражена как ^[15]$${\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{\binom {k+\alpha }{k}}}{\frac {t^{k}}{k!}}.}$$

Функции Бесселя второго рода, обозначаемые Y _α ( x ) , иногда обозначаемые вместо этого N _α ( x ) , являются решениями дифференциального уравнения Бесселя, которые имеют особенность в начале координат ( x = 0 ) и являются многозначными . Иногда их называют функциями Вебера , поскольку они были введены HM Weber  (1873), а также функциями Неймана в честь Карла Неймана . ^[16]

Для нецелых α Y _α ( x ) связан с J _α ( x ) соотношением$${\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi)-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \ пи )}}.}$$

В случае целого порядка n функция определяется путем взятия предела, когда нецелое число α стремится к n :$${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\alpha \to n}Y_{\alpha }(x).}$$

Если n — неотрицательное целое число, то имеем ряд ^[17]$${\displaystyle Y_{n}(z)=-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{-n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(nk-1)!}{k!}}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}+{\frac {2}{\pi }}J_{n}(z)\ln {\frac {z}{2}}-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }(\psi (k+1)+\psi (n+k+1)){\frac {\left(-{\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}}{k!(n+k)!}}}$$

где - дигамма-функция , логарифмическая производная гамма -функции . ^[3]${\displaystyle \psi (z)}$

Существует также соответствующая интегральная формула (для Re( x ) > 0 ): ^[18]$${\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )\,d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right)e^{-x\sinh t}\,dt.}$$

В случае, когда n = 0 : (где — постоянная Эйлера )${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle Y_{0}\left(x\right)={\frac {4}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos \left(x\cos \theta \right)\left(\gamma +\ln \left(2x\sin ^{2}\theta \right)\right)\,d\theta .}$$

Y _α ( x ) необходимо как второе линейно независимое решение уравнения Бесселя, когда α является целым числом. Но Y _α ( x ) имеет больше смысла, чем это. Его можно рассматривать как «естественного» партнера J _α ( x ) . См. также подраздел о функциях Ганкеля ниже.

Более того , когда α является целым числом, как это было аналогично в случае функций первого рода, справедливо следующее соотношение:$${\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x).}$$

И J _α ( x ), и Y _α ( x ) являются голоморфными функциями x на комплексной плоскости, разрезанной вдоль отрицательной вещественной оси. Когда α является целым числом, функции Бесселя J являются целыми функциями x . Если x удерживается фиксированным в ненулевом значении, то функции Бесселя являются целыми функциями α .

Функции Бесселя второго рода, когда α — целое число, являются примером второго рода решений в теореме Фукса .

Другой важной формулировкой двух линейно независимых решений уравнения Бесселя являются функции Ганкеля первого и второго рода , H⁽¹⁾
_α( х ) и Н⁽²⁾
_α( x ) , определяемый как ^[19]$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x),\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x),\end{aligned}}}$$

где i — мнимая единица . Эти линейные комбинации также известны как функции Бесселя третьего рода ; они являются двумя линейно независимыми решениями дифференциального уравнения Бесселя. Они названы в честь Германа Ганкеля .

Эти формы линейной комбинации удовлетворяют многочисленным простым на вид свойствам, таким как асимптотические формулы или интегральные представления. Здесь «простой» означает появление множителя вида e ^{i f (x)} . Для действительных чисел , где , являются действительными, функции Бесселя первого и второго рода являются действительной и мнимой частями, соответственно, первой функции Ганкеля и действительной и отрицательной мнимой частями второй функции Ганкеля. Таким образом, приведенные выше формулы являются аналогами формулы Эйлера , подставляя H${\displaystyle x>0}$${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$⁽¹⁾
_α( х ) , Н⁽²⁾
_α( x ) для и , для , , как явно показано в асимптотическом разложении.${\displaystyle e^{\pm ix}}$${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$${\displaystyle \cos(x)}$${\displaystyle \sin(x)}$

Функции Ганкеля используются для выражения решений уравнения цилиндрической волны в виде распространяющихся наружу и внутрь цилиндрических волн соответственно (или наоборот, в зависимости от соглашения о знаках для частоты ).

Используя предыдущие соотношения, их можно выразить как$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin \alpha \pi }},\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin \alpha \pi }}.\end{aligned}}}$$

Если α — целое число, предел должен быть вычислен. Следующие соотношения действительны, независимо от того, является ли α целым числом или нет: ^[20]$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{-\alpha }^{(1)}(x)&=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x),\\[6mu]H_{-\alpha }^{(2)}(x)&=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).\end{aligned}}}$$

В частности, если α = m + ⁠1/2⁠ при m — неотрицательном целом числе, из приведенных выше соотношений непосредственно следует, что$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m+1}Y_{m+{\frac {1}{2}}}(x),\\[5pt]Y_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m}J_{m+{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$$

Они полезны при разработке сферических функций Бесселя (см. ниже).

Функции Ганкеля допускают следующие интегральные представления для Re( x ) > 0 : ^[21] где пределы интегрирования указывают на интегрирование по контуру , который может быть выбран следующим образом: от −∞ до 0 по отрицательной действительной оси, от 0 до ± π i по мнимой оси и от ± π i до +∞ ± π i по контуру, параллельному действительной оси. ^[18]$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty +\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty -\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\end{aligned}}}$$

Функции Бесселя справедливы даже для комплексных аргументов x , и важным особым случаем является случай чисто мнимого аргумента. В этом случае решения уравнения Бесселя называются модифицированными функциями Бесселя (или иногда гиперболическими функциями Бесселя ) первого и второго рода и определяются как ^[22] когда α не является целым числом; когда α является целым числом, то используется предел. Они выбираются действительными для действительных и положительных аргументов x . Таким образом, разложение в ряд для I _α ( x ) похоже на разложение для J _α ( x ) , но без переменного (−1) ^m -множителя.$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha },\\[5pt]K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned}}}$$

${\displaystyle K_{\alpha }}$можно выразить через функции Ганкеля:$${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)&-\pi <\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}\\{\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)&-{\frac {\pi }{2}}<\arg x\leq \pi \end{cases}}}$$

Используя эти две формулы, можно получить результат + , обычно известный как интеграл Николсона или формула Николсона, который дает следующее:${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(z)}$${\displaystyle Y_{\alpha }^{2}(z)}$$${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\cosh(2\alpha t)K_{0}(2x\sinh t)\,dt,}$$

при условии, что выполняется условие Re( x ) > 0. Можно также показать, что$${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8\cos(\alpha \pi )}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }K_{2\alpha }(2x\sinh t)\,dt,}$$

только когда | Re(α) | < ⁠1/2⁠ и Re(x) ≥ 0 , но не тогда, когда x = 0. [ ^23]

Мы можем выразить первую и вторую функции Бесселя через модифицированные функции Бесселя (они справедливы, если − π < arg z ≤ ⁠π/2⁠ ): ^[24]$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\[1ex]Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{\tfrac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}$$

I _α ( x ) и K _α ( x ) — два линейно независимых решения модифицированного уравнения Бесселя : ^[25]$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y=0.}$$

В отличие от обычных функций Бесселя, которые колеблются как функции действительного аргумента, I _α и K _α являются экспоненциально растущими и убывающими функциями соответственно. Как и обычная функция Бесселя J _α , функция I _α стремится к нулю при x = 0 для α > 0 и конечна при x = 0 для α = 0 . Аналогично, K _α расходится при x = 0 с особенностью логарифмического типа для K ₀ , и ⁠1/2⁠ Γ(| α |)(2/ x ) ^{| α |} в противном случае. ^[26]

Две интегральные формулы для модифицированных функций Бесселя (для Re( x ) > 0 ): ^[27]$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos \theta }\cos \alpha \theta \,d\theta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}$$

Функции Бесселя можно описать как преобразования Фурье степеней квадратичных функций. Например (для Re(ω) > 0 ):$${\displaystyle 2\,K_{0}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt.}$$

Это можно доказать, показав равенство приведенному выше интегральному определению для K ₀ . Это делается путем интегрирования замкнутой кривой в первом квадранте комплексной плоскости.

Модифицированные функции Бесселя второго рода могут быть представлены интегралом Бассетта ^[28]

$${\displaystyle K_{n}(xz)={\frac {\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)(2z)^{n}}{{\sqrt {\pi }}x^{n}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(xt)\,dt}{(t^{2}+z^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}}}.}$$

Модифицированные функции Бесселя K _1/3 и K _2/3 могут быть представлены в терминах быстро сходящихся интегралов ^[29]$${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx,\\[5pt]K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$$

Модифицированная функция Бесселя полезна для представления распределения Лапласа в виде экспоненциальной смеси нормальных распределений.${\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(\xi )=(2\xi /\pi )^{-1/2}\exp(-\xi )}$

Модифицированная функция Бесселя второго рода также имела следующие названия (сейчас встречаются редко):

• Функция Бассет по имени Альфреда Барнарда Бассет
• Модифицированная функция Бесселя третьего рода
• Модифицированная функция Ганкеля ^[30]
• Функция Макдональда после Гектора Манро Макдональда

При решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах методом разделения переменных радиальное уравнение имеет вид$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$$

Два линейно независимых решения этого уравнения называются сферическими функциями Бесселя j _n и y _n и связаны с обычными функциями Бесселя J _n и Y _n соотношением ^[31]$${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$$

y _n также обозначается n _n или η _n ; некоторые авторы называют эти функции сферическими функциями Неймана .

Из соотношений к обычным функциям Бесселя непосредственно видно, что:$${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-1)^{n}y_{-n-1}(x)\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)\end{aligned}}}$$

Сферические функции Бесселя можно также записать в виде (Формулы Рэлея )^[32]$${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}}$$

Нулевая сферическая функция Бесселя j ₀ ( x ) также известна как (ненормализованная) функция sinc . Первые несколько сферических функций Бесселя: ^[33] и ^[34]$${\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}}.\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}}$$

Первые несколько ненулевых корней первых нескольких сферических функций Бесселя:

Ненулевые корни сферической функции Бесселя (первого рода)

Заказ	Корень 1	Корень 2	Корень 3	Корень 4	Корень 5
${\displaystyle j_{0}}$	3.141593	6.283185	9.424778	12.566371	15.707963
${\displaystyle j_{1}}$	4.493409	7.725252	10.904122	14.066194	17.220755
${\displaystyle j_{2}}$	5.763459	9.095011	12.322941	15.514603	18.689036
${\displaystyle j_{3}}$	6.987932	10.417119	13.698023	16.923621	20.121806
${\displaystyle j_{4}}$	8.182561	11.704907	15.039665	18.301256	21.525418

Ненулевые корни сферической функции Бесселя (второго рода)

Заказ	Корень 1	Корень 2	Корень 3	Корень 4	Корень 5
${\displaystyle y_{0}}$	1.570796	4.712389	7.853982	10.995574	14.137167
${\displaystyle y_{1}}$	2.798386	6.121250	9.317866	12.486454	15.644128
${\displaystyle y_{2}}$	3.959528	7.451610	10.715647	13.921686	17.103359
${\displaystyle y_{3}}$	5.088498	8.733710	12.067544	15.315390	18.525210
${\displaystyle y_{4}}$	6.197831	9.982466	13.385287	16.676625	19.916796

Сферические функции Бесселя имеют производящие функции ^[35]$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned}}}$$

В отличие от целых целочисленных функций Бесселя J _n ( x ), Y _n ( x ) сферические функции Бесселя j _n ( x ), y _n ( x ) имеют конечное выражение в виде ряда: ^[36]$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=\\&={\frac {1}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac {1}{x}}\left[\sin \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\cos \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n-1}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)=(-1)^{n+1}{\frac {\pi }{2x}}J_{-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(x)=\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]=\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{x}}\left[\cos \left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}-\sin \left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n-1}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\end{alignedat}}}$$

В дальнейшем f _n — это любое из j _n , y _n , h⁽¹⁾
_н, ч⁽²⁾
_ндля n = 0, ±1, ±2, ... ^[37]$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned}}}$$

Существуют также сферические аналоги функций Ганкеля:$${\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}^{(1)}(x)&=j_{n}(x)+iy_{n}(x),\\h_{n}^{(2)}(x)&=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\end{aligned}}}$$

На самом деле, существуют простые выражения в замкнутой форме для функций Бесселя полуцелого порядка в терминах стандартных тригонометрических функций , а следовательно, и для сферических функций Бесселя. В частности, для неотрицательных целых чисел n :$${\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!\,(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}},}$$

и ч⁽²⁾
_нявляется комплексно-сопряженным этого (для действительного x ). Из этого следует, например, что j ₀ ( x ) = ⁠грех х/х⁠ и y ₀ ( x ) = − ⁠соз х/х⁠ и так далее.

Сферические функции Ганкеля появляются в задачах, связанных с распространением сферических волн , например, в мультипольном разложении электромагнитного поля .

Функции Риккати –Бесселя лишь незначительно отличаются от сферических функций Бесселя:$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\\xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)\\\zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)\end{aligned}}}$$

Они удовлетворяют дифференциальному уравнению$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$$

Например, этот тип дифференциального уравнения появляется в квантовой механике при решении радиальной составляющей уравнения Шредингера с гипотетическим цилиндрическим бесконечным потенциальным барьером. ^[38] Это дифференциальное уравнение и решения Риккати–Бесселя также возникают в задаче рассеяния электромагнитных волн сферой, известной как рассеяние Ми по первому опубликованному решению Ми (1908). См., например, Du (2004) ^[39] для последних разработок и ссылок.

Следуя Дебаю (1909), вместо S _n , C _n иногда используют обозначения ψ _n , χ _n .

Функции Бесселя имеют следующие асимптотические формы. Для малых аргументов получаем, когда не является отрицательным целым числом: ^[4]${\displaystyle 0<z\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }.}$$

Когда α — отрицательное целое число, мы имеем$${\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {(-1)^{\alpha }}{(-\alpha )!}}\left({\frac {2}{z}}\right)^{\alpha }.}$$

Для функции Бесселя второго рода имеем три случая: где γ — постоянная Эйлера–Маскерони (0,5772...).$${\displaystyle Y_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]-{\dfrac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }+{\dfrac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }\cot(\alpha \pi )&{\text{if }}\alpha {\text{ is a positive integer (one term dominates unless }}\alpha {\text{ is imaginary)}},\\[1ex]-{\dfrac {(-1)^{\alpha }\Gamma (-\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha {\text{ is a negative integer,}}\end{cases}}}$$

Для больших действительных аргументов z ≫ | α ² − ⁠1/4⁠ |, нельзя написать истинную асимптотику для функций Бесселя первого и второго рода (если толькоαявляетсяполуцелым числом), поскольку они имеютнуливплоть до бесконечности, что должно было бы точно соответствовать любому асимптотическому разложению. Однако для заданного значенияarg z можно написать уравнение, содержащее член порядка| z | ⁻¹ :^[40]$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\cos \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi ,\\Y_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\sin \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi .\end{aligned}}}$$

(Для α = ⁠1/2⁠ последние члены в этих формулах полностью отпадают; см. сферические функции Бесселя выше.)

Асимптотические формы для функций Ганкеля следующие:$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<2\pi ,\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-2\pi <\arg z<\pi .\end{aligned}}}$$

Их можно распространить на другие значения arg z, используя уравнения, связывающие H⁽¹⁾
_α( зе ^{им π} ) и H⁽²⁾
_α( ze ^{im π} ) в H⁽¹⁾
_α( г ) и Н⁽²⁾
_α( г ) . ^[41]

Интересно, что хотя функция Бесселя первого рода является средним значением двух функций Ганкеля, J _α ( z ) не является асимптотическим к среднему значению этих двух асимптотических форм, когда z отрицательно (потому что одна или другая не будет там правильной, в зависимости от используемого arg z ). Но асимптотические формы для функций Ганкеля позволяют нам записать асимптотические формы для функций Бесселя первого и второго рода для комплексного (недействительного) z , пока | z | стремится к бесконечности при постоянном фазовом угле arg z (используя квадратный корень, имеющий положительную действительную часть):$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi ,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi .\end{aligned}}}$$

Для модифицированных функций Бесселя Ганкель также разработал асимптотические разложения : ^{[42] [43]}$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}-{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}},\\K_{\alpha }(z)&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\left(1+{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {3\pi }{2}}.\end{aligned}}}$$

Существует также асимптотическая форма (для больших действительных чисел ) ^[44]${\displaystyle z}$$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi z}}{\sqrt[{4}]{1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\exp \left(-\alpha \operatorname {arsinh} \left({\frac {\alpha }{z}}\right)+z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}\right)\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

Когда α = ⁠1/2⁠ , все члены, кроме первого, исчезают, и мы имеем$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh(z)}{\sqrt {z}}}\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\tfrac {\pi }{2}},\\[1ex]K_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}.\end{aligned}}}$$

Для малых аргументов мы имеем${\displaystyle 0<|z|\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha },\\[1ex]K_{\alpha }(z)&\sim {\begin{cases}-\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)-\gamma &{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha >0\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Для целого порядка α = n J _n часто определяется через ряд Лорана для производящей функции: подход, использованный П. А. Хансеном в 1843 году. (Это можно обобщить на нецелый порядок с помощью контурного интегрирования или других методов.)$${\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}}\right)\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}}$$

Бесконечные ряды функций Бесселя в форме , где возникают во многих физических системах и определяются в замкнутом виде рядом Сунга. ^[45] Например, при N = 3: . В более общем виде ряд Сунга и знакопеременный ряд Сунга записываются как:${\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)}$$\nu ,p\in \mathbb {Z} ,\ N\in \mathbb {Z} ^{+}$${\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu +p}(x)={\frac {1}{3}}\left[1+2\cos {(x{\sqrt {3}}/2-2\pi p/3)}\right]}$$${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {2\pi q/N}}e^{-i2\pi pq/N}}$$$${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }(-1)^{\nu }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {(2q+1)\pi /N}}e^{-i(2q+1)\pi p/N}}$$

Разложение ряда с использованием функций Бесселя ( ряд Каптейна ) имеет вид

${\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{n}(nz).}$

Другим важным соотношением для целых порядков является разложение Якоби–Энгера : и которое используется для разложения плоской волны в сумму цилиндрических волн или для нахождения ряда Фурье тонально-модулированного ЧМ- сигнала.$${\displaystyle e^{iz\cos \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(z)e^{in\phi }}$$$${\displaystyle e^{\pm iz\sin \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )\pm 2i\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\sin((2n+1)\phi )}$$

В более общем смысле ряд называется разложением Неймана функции f . Коэффициенты при ν = 0 имеют явный вид , где O _k — полином Неймана . ^[46]$${\displaystyle f(z)=a_{0}^{\nu }J_{\nu }(z)+2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +k}(z)}$$$${\displaystyle a_{k}^{0}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=c}f(z)O_{k}(z)\,dz}$$

Выбранные функции допускают специальное представление с учетом соотношения ортогональности$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +2k}(z)}$$$${\displaystyle a_{k}^{\nu }=2(\nu +2k)\int _{0}^{\infty }f(z){\frac {J_{\nu +2k}(z)}{z}}\,dz}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\alpha }(z)J_{\beta }(z){\frac {dz}{z}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}$$