Мера Бесова

Эта статья включает список ссылок , связанных чтений или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Ноябрь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике — в частности, в областях теории вероятностей и обратных задач — меры Бесова и связанные с ними распределенные по Бесову случайные величины являются обобщениями понятий гауссовских мер и случайных величин , распределений Лапласа и других классических распределений. Они особенно полезны при изучении обратных задач на функциональных пространствах, для которых гауссово- байесовское априорное распределение является неподходящей моделью. Построение меры Бесова похоже на построение пространства Бесова , отсюда и название.

Пусть — сепарабельное гильбертово пространство функций, определенных на области , и пусть — полный ортонормированный базис для . Пусть и . Для определим${\displaystyle H}$ ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \{e_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$${\displaystyle u=\sum _{n\in \mathbb {N} }u_{n}e_{n}\in H}$

${\displaystyle \|u\|_{X^{s,p}}=\left\|\sum _{n\in \mathbb {N} }u_{n}e_{n}\right\|_{X^{s,p}}:=\left(\sum _{n=1}^{\infty }n^{({\frac {ps}{d}}+{\frac {p}{2}}-1)}|u_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$

Это определяет норму на подпространстве , для которого она конечна, и мы обозначим через пополнение этого подпространства относительно этой новой нормы. Мотивация этих определений возникает из того факта, что эквивалентно норме в пространстве Бесова .${\displaystyle H}$${\displaystyle X^{с,п}}$${\displaystyle \|u\|_{X^{s,p}}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle B_{pp}^{s}(D)}$

Пусть будет параметром масштаба, аналогичным точности (обратной величине дисперсии ) гауссовой меры. Теперь мы определяем -значную случайную величину как${\displaystyle \каппа >0}$${\displaystyle X^{с,п}}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle u:=\sum _ {n\in \mathbb {N} }n^{- ({\frac {s}{d}}+{\frac {1}{2}} - {\frac { 1}{p}})}\kappa ^{-{\frac {1}{p}}}\xi _{n}e_{n},}$

где выбираются независимо и идентично из обобщенной гауссовой меры на с функцией плотности вероятности Лебега, пропорциональной . Неформально можно сказать, что имеет функцию плотности вероятности, пропорциональную относительно бесконечномерной меры Лебега ( что не имеет строгого смысла ), и поэтому является естественным кандидатом на «типичный» элемент (хотя это не совсем так — см. ниже).${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\точки }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \exp(-{\tfrac {1}{2}}|\xi _{n}|^{p})}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \exp(-{\tfrac {\kappa}{2}}\|u\|_{X^{s,p}}^{p})}$${\displaystyle X^{с,п}}$

Легко показать, что при t  ≤  s норма X ^{t , p} конечна всякий раз, когда норма X ^{s , p} конечна. Следовательно, пространства X ^{s , p} и X ^{t , p} являются вложенными:

${\displaystyle X^{s,p}\subseteq X^{t,p}{\mbox{ когда }}t\leq s.}$

Это согласуется с обычной вложенностью классов гладкости функций f :  D  →  R : например, пространство Соболева H ² ( D ) является подпространством H ¹ ( D ) и, в свою очередь, пространства Лебега L ² ( D ) = H ⁰ ( D ); пространство Гельдера C ¹ ( D ) непрерывно дифференцируемых функций является подпространством пространства C ⁰ ( D ) непрерывных функций.

Можно показать, что ряд, определяющий u, сходится в X ^{t , p} почти наверняка для любого t  <  s  −  d  /  p , и, следовательно, дает хорошо определенную случайную величину со значением X ^{t , p} . Обратите внимание, что X ^{t , p} является большим пространством, чем X ^{s , p} , и на самом деле случайная величина u почти наверняка не находится в меньшем пространстве X ^{s , p} . Пространство X ^{s , p} является скорее пространством Камерона-Мартина этой вероятностной меры в гауссовском случае p = 2. Говорят, что  случайная величина u распределена по Бесову с параметрами ( κ , s , p ), а индуцированная вероятностная мера называется мерой Бесова .

• Абстрактное пространство Винера  – математическая конструкция, относящаяся к бесконечномерным пространствам.
• Теорема Кэмерона–Мартина  – Теорема, определяющая перенос гауссовских мер (мер Винера) на гильбертовых пространствах.
• Теорема Фельдмана – Хайека  - Теория в теории вероятностей
• Структурная теорема для гауссовых мер  – Математическая теорема
• Не существует бесконечномерной меры Лебега  – Математический фольклорСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления

• Дашти, Масумех; Харрис, Стивен; Стюарт, Эндрю М. (2012). «Априорные распределения Бесова для байесовских обратных задач». Обратные задачи и визуализация . 6 (2): 183– 200. arXiv : 1105.0889 . doi :10.3934/ipi.2012.6.183. ISSN  1930-8337. MR  2942737. S2CID  88518742.
• Лассас, Матти; Саксман, Ээро; Силтанен, Самули (2009). «Дискретизационно-инвариантная байесовская инверсия и априоры пространства Бесова». Обратные задачи и визуализация . 3 (1): 87–122 . arXiv : 0901.4220 . дои : 10.3934/ipi.2009.3.87. ISSN  1930-8337. МР  2558305. S2CID  14122432.