Соотношение Клаузиуса–Клапейрона
Соотношение между давлением пара и температурой

Соотношение Клаузиуса –Клапейрона в химической термодинамике определяет температурную зависимость давления, в первую очередь давления пара , при прерывистом фазовом переходе между двумя фазами вещества одного компонента. Оно названо в честь Рудольфа Клаузиуса [1] и Бенуа Поля Эмиля Клапейрона . [2] Однако это соотношение было первоначально выведено Сади Карно в его «Размышлениях о движущей силе огня» , которые были опубликованы в 1824 году, но в значительной степени игнорировались, пока их не переоткрыли Клаузиус, Клапейрон и лорд Кельвин десятилетия спустя. [3] Кельвин сказал об аргументе Карно, что «ничто во всем диапазоне натуральной философии не является более замечательным, чем установление общих законов с помощью такого процесса рассуждения». [4]

Кельвин и его брат Джеймс Томсон подтвердили эту связь экспериментально в 1849–1850 годах, и это имело историческое значение как очень раннее успешное применение теоретической термодинамики. [5] Ее значимость для метеорологии и климатологии заключается в увеличении водоудерживающей способности атмосферы примерно на 7% при каждом повышении температуры на 1 °C (1,8 °F).

Определение

Точное уравнение Клапейрона

На диаграмме давление – температура ( P – T ) для любого фазового перехода линия, разделяющая две фазы, известна как кривая сосуществования . Соотношение Клапейрона [6] [7] дает наклон касательных к этой кривой. Математически, где - наклон касательной к кривой сосуществования в любой точке, - молярное изменение энтальпии ( скрытая теплота , количество энергии, поглощенной при превращении), - температура , - молярное изменение объема фазового перехода, - молярное изменение энтропии фазового перехода. В качестве альтернативы вместо молярных значений могут использоваться конкретные значения. г П г Т = Л Т Δ в = Δ с Δ в , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} T}}={\frac {L}{T\,\Delta v}} = {\frac {\Delta s}{\ Дельта v}},} г П / г Т {\displaystyle \mathrm {d} P/\mathrm {d} T} Л {\displaystyle L} Т {\displaystyle Т} Δ в {\displaystyle \Дельта v} Δ с {\displaystyle \Дельта с}

Уравнение Клаузиуса–Клапейрона

Уравнение Клаузиуса–Клапейрона [8] : 509  применяется к испарению жидкостей, где пар следует закону идеального газа с использованием идеальной газовой постоянной , а объем жидкости пренебрегается, поскольку он намного меньше объема пара V. Его часто используют для расчета давления пара жидкости. [9] Р {\displaystyle R}

г П г Т = П Л Т 2 Р , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} T}}={\frac {PL}{T^{2}R}},}

в = В н = Р Т П . {\displaystyle v={\frac {V}{n}}={\frac {RT}{P}}.}

Уравнение выражает это в более удобной форме, используя только скрытую теплоту, для умеренных температур и давлений.

Производные

Типичная фазовая диаграмма . Зеленая пунктирная линия показывает аномальное поведение воды . Соотношение Клаузиуса–Клапейрона можно использовать для нахождения связи между давлением и температурой вдоль границ фаз .

Вывод из постулата состояния

Используя постулат состояния , примем молярную энтропию однородного вещества как функцию молярного объема и температуры . [8] :  508 с {\displaystyle с} в {\displaystyle v} Т {\displaystyle Т} г с = ( ∂ с ∂ в ) Т г в + ( ∂ с ∂ Т ) в г Т . {\displaystyle \mathrm {d} s=\left({\frac {\partial s}{\partial v}}\right)_{T}\,\mathrm {d} v+\left({\frac {\partial s}{\partial T}}\right)_{v}\,\mathrm {d} T.}

Соотношение Клаузиуса-Клапейрона описывает фазовый переход в замкнутой системе , состоящей из двух смежных фаз, конденсированного вещества и идеального газа, одного вещества, находящихся во взаимном термодинамическом равновесии при постоянной температуре и давлении . Следовательно, [8] : 508  г с = ( ∂ с ∂ в ) Т г в . {\displaystyle \mathrm {d} s=\left({\frac {\partial s}{\partial v}}\right)_{T}\,\mathrm {d} v.}

Используя соответствующее соотношение Максвелла, получаем [8] : 508  где — давление. Поскольку давление и температура постоянны, производная давления по температуре не меняется. [10] [11] : 57, 62, 671  Следовательно, частная производная молярной энтропии может быть преобразована в полную производную , а полная производная давления по температуре может быть вынесена за скобки при интегрировании от начальной фазы до конечной фазы , [8] : 508  чтобы получить где и — соответственно изменение молярной энтропии и молярного объема. Учитывая, что фазовый переход является внутренне обратимым процессом , и что наша система замкнута, выполняется первый закон термодинамики : где — внутренняя энергия системы. Учитывая постоянные давление и температуру (во время фазового перехода) и определение молярной энтальпии , получаем г с = ( ∂ П ∂ Т ) в г в , {\displaystyle \mathrm {d} s=\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{v}\,\mathrm {d} v,} П {\displaystyle P} г с = г П г Т г в , {\ displaystyle \ mathrm {d} s = {\ frac {\ mathrm {d} P {\ mathrm {d} T}} \, \ mathrm {d} v,} α {\displaystyle \альфа} β {\displaystyle \бета} г П г Т = Δ с Δ в , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} T}}={\frac {\Delta s}{\Delta v}},} Δ с ≡ с β − с α {\displaystyle \Delta s\equiv s_{\beta }-s_{\alpha }} Δ в ≡ в β − в α {\displaystyle \Delta v\equiv v_ {\beta }-v_ {\alpha }} г ты = δ д + δ ж = Т г с − П г в , {\ displaystyle \ mathrm {d} u = \ delta q+ \ delta w = T \, \ mathrm {d} sP \, \ mathrm {d} v,} ты {\displaystyle u} час {\displaystyle ч} г час = Т г с + в г П , {\ displaystyle \ mathrm {d} h = T \, \ mathrm {d} s + v \, \ mathrm {d} P,} г час = Т г с , {\displaystyle \mathrm {d} ч=Т\,\mathrm {d} с,} г с = г час Т . {\displaystyle \mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} h}{T}}.}

При постоянном давлении и температуре (при фазовом переходе) получаем [8] : 508  Δ с = Δ час Т . {\displaystyle \Delta s={\frac {\Delta h}{T}}.}

Подставляя определение молярной скрытой теплоты, получаем Л = Δ час {\displaystyle L=\Delta h} Δ с = Л Т . {\displaystyle \Delta s={\frac {L}{T}}.}

Подставляя этот результат в производную давления, приведенную выше ( ), получаем [8] : 508  [12] г П / г Т = Δ с / Δ в {\displaystyle \mathrm {d} P/\mathrm {d} T=\Delta s/\Delta v} г П г Т = Л Т Δ в . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} T}}={\frac {L}{T\,\Delta v}}.}

Этот результат (также известный как уравнение Клапейрона ) приравнивает наклон кривой сосуществования к функции молярной скрытой теплоты , температуры и изменения молярного объема . Вместо молярных значений могут также использоваться соответствующие удельные значения. г П / г Т {\displaystyle \mathrm {d} P/\mathrm {d} T} П ( Т ) {\displaystyle P(T)} Л / ( Т Δ в ) {\displaystyle L/(T\,\Delta v)} Л {\displaystyle L} Т {\displaystyle Т} Δ в {\displaystyle \Дельта v}

Вывод из соотношения Гиббса–Дюгема

Предположим, что две фазы, и , находятся в контакте и равновесии друг с другом. Их химические потенциалы связаны соотношением α {\displaystyle \альфа} β {\displaystyle \бета} μ α = μ β . {\displaystyle \mu _{\alpha } =\mu _{\beta }.}

Кроме того, вдоль кривой сосуществования , г μ α = г μ β . {\displaystyle \mathrm {d} \mu _ {\alpha } = \ mathrm {d} \mu _ {\beta }.}

Поэтому можно использовать соотношение Гиббса-Дюгема (где — удельная энтропия , — удельный объем , — молярная масса ), чтобы получить г μ = М ( − с г Т + в г П ) {\ displaystyle \ mathrm {d} \ mu = M (-s \, \ mathrm {d} T + v \, \ mathrm {d} P)} с {\displaystyle с} в {\displaystyle v} М {\displaystyle М} − ( с β − с α ) г Т + ( в β − в α ) г П = 0. {\displaystyle -(s_{\beta }-s_{\alpha })\,\mathrm {d} T+(v_{\beta }-v_{\alpha })\,\mathrm {d} P=0.}

Перестановка дает d P d T = s β − s α v β − v α = Δ s Δ v , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} T}}={\frac {s_{\beta }-s_{\alpha }}{v_{\beta }-v_{\alpha }}}={\frac {\Delta s}{\Delta v}},}

откуда вывод уравнения Клапейрона продолжается, как в предыдущем разделе.

Приближение идеального газа при низких температурах

Когда фазовый переход вещества происходит между газовой фазой и конденсированной фазой ( жидкостью или твердым телом ) и происходит при температурах, значительно ниже критической температуры этого вещества, удельный объем газовой фазы значительно превышает объем конденсированной фазы . Поэтому можно аппроксимировать при низких температурах . Если давление также низкое, газ можно аппроксимировать законом идеального газа , так что v g {\displaystyle v_{\text{g}}} v c {\displaystyle v_{\text{c}}} Δ v = v g ( 1 − v c v g ) ≈ v g {\displaystyle \Delta v=v_{\text{g}}\left(1-{\frac {v_{\text{c}}}{v_{\text{g}}}}\right)\approx v_{\text{g}}} v g = R T P , {\displaystyle v_{\text{g}}={\frac {RT}{P}},}

где - давление, - удельная газовая постоянная , - температура. Подставляя в уравнение Клапейрона, можно получить уравнение Клаузиуса–Клапейрона [8] : 509  для низких температур и давлений, [8] : 509  где - удельная скрытая теплота вещества. Вместо удельных можно использовать также соответствующие молярные значения (т. е. в кДж/моль и R = 8,31 Дж/(моль⋅К)). P {\displaystyle P} R {\displaystyle R} T {\displaystyle T} d P d T = L T Δ v , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} T}}={\frac {L}{T\,\Delta v}},} d P d T = P L T 2 R {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} T}}={\frac {PL}{T^{2}R}}} L {\displaystyle L} L {\displaystyle L}

Пусть и будут любыми двумя точками вдоль кривой сосуществования между двумя фазами и . В общем случае изменяется между любыми двумя такими точками как функция температуры. Но если аппроксимируется как константа, или [11] : 672  [13] ( P 1 , T 1 ) {\displaystyle (P_{1},T_{1})} ( P 2 , T 2 ) {\displaystyle (P_{2},T_{2})} α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } L {\displaystyle L} L {\displaystyle L} d P P ≅ L R d T T 2 , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{P}}\cong {\frac {L}{R}}{\frac {\mathrm {d} T}{T^{2}}},} ∫ P 1 P 2 d P P ≅ L R ∫ T 1 T 2 d T T 2 , {\displaystyle \int _{P_{1}}^{P_{2}}{\frac {\mathrm {d} P}{P}}\cong {\frac {L}{R}}\int _{T_{1}}^{T_{2}}{\frac {\mathrm {d} T}{T^{2}}},} ln ⁡ P | P = P 1 P 2 ≅ − L R ⋅ 1 T | T = T 1 T 2 , {\displaystyle \ln P{\Big |}_{P=P_{1}}^{P_{2}}\cong -{\frac {L}{R}}\cdot \left.{\frac {1}{T}}\right|_{T=T_{1}}^{T_{2}},} ln ⁡ P 2 P 1 ≅ − L R ( 1 T 2 − 1 T 1 ) . {\displaystyle \ln {\frac {P_{2}}{P_{1}}}\cong -{\frac {L}{R}}\left({\frac {1}{T_{2}}}-{\frac {1}{T_{1}}}\right).}

Эти последние уравнения полезны, поскольку они связывают равновесное или насыщенное давление и температуру пара со скрытой теплотой фазового перехода, не требуя данных об удельном объеме. Например, для воды вблизи ее нормальной точки кипения с молярной энтальпией испарения 40,7 кДж/моль и R = 8,31 Дж/(моль⋅K), P vap ( T ) ≅ 1   bar ⋅ exp ⁡ [ − 40 700   K 8.31 ( 1 T − 1 373   K ) ] . {\displaystyle P_{\text{vap}}(T)\cong 1~{\text{bar}}\cdot \exp \left[-{\frac {40\,700~{\text{K}}}{8.31}}\left({\frac {1}{T}}-{\frac {1}{373~{\text{K}}}}\right)\right].}

Вывод Клапейрона

В оригинальной работе Клапейрона выдвигается следующий аргумент. [14] Клапейрон рассмотрел процесс Карно насыщенного водяного пара с горизонтальными изобарами. Поскольку давление является функцией только температуры, изобары также являются изотермами. Если в процессе участвует бесконечно малое количество воды, и бесконечно малая разница температур , то поглощенное тепло равно и соответствующая работа равна где — разница между объемами в жидкой фазе и паровой фазе. Отношение — это эффективность двигателя Карно, . [a] Подстановка и перестановка дает , где строчные буквы обозначают изменение удельного объема во время перехода. d x {\displaystyle \mathrm {d} x} d T {\displaystyle \mathrm {d} T} Q = L d x , {\displaystyle Q=L\,\mathrm {d} x,} W = d p d T d T ( V ″ − V ′ ) , {\displaystyle W={\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} T}}\,\mathrm {d} T(V''-V'),} V ″ − V ′ {\displaystyle V''-V'} d x {\displaystyle \mathrm {d} x} W / Q {\displaystyle W/Q} d T / T {\displaystyle \mathrm {d} T/T} d p d T = L T ( v ″ − v ′ ) , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} T}}={\frac {L}{T(v''-v')}},} v ″ − v ′ {\displaystyle v''-v'}

Приложения

Химия и химическая инженерия

Для переходов между газом и конденсированной фазой с описанными выше приближениями выражение можно переписать как [7] где - давления при температурах соответственно, а - постоянная идеального газа . Для перехода жидкость-газ - молярная скрытая теплота (или молярная энтальпия ) испарения ; для перехода твердое тело-газ - молярная скрытая теплота сублимации . Если скрытая теплота известна, то знание одной точки на кривой сосуществования , например (1 бар, 373 К) для воды, определяет остальную часть кривой. Наоборот, связь между и является линейной, и поэтому для оценки скрытой теплоты используется линейная регрессия . ln ⁡ ( P 1 P 0 ) = L R ( 1 T 0 − 1 T 1 ) {\displaystyle \ln \left({\frac {P_{1}}{P_{0}}}\right)={\frac {L}{R}}\left({\frac {1}{T_{0}}}-{\frac {1}{T_{1}}}\right)} P 0 , P 1 {\displaystyle P_{0},P_{1}} T 0 , T 1 {\displaystyle T_{0},T_{1}} R {\displaystyle R} L {\displaystyle L} L {\displaystyle L} ln ⁡ P {\displaystyle \ln P} 1 / T {\displaystyle 1/T}

Метеорология и климатология

Атмосферный водяной пар управляет многими важными метеорологическими явлениями (в частности, осадками ), что вызывает интерес к его динамике . Уравнение Клаузиуса-Клапейрона для водяного пара в типичных атмосферных условиях (близких к стандартной температуре и давлению ) имеет вид

d e s d T = L v ( T ) e s R v T 2 , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} e_{s}}{\mathrm {d} T}}={\frac {L_{v}(T)e_{s}}{R_{v}T^{2}}},}

где

Температурной зависимостью скрытой теплоты в этом приложении можно пренебречь. L v ( T ) {\displaystyle L_{v}(T)} Формула Августа – Роша – Магнуса дает решение в этом приближении: [15] [16] где— в гектопаскалях , а— в градусах Цельсия (тогда как везде на этой странице— абсолютная температура, например, в кельвинах). e s ( T ) = 6.1094 exp ⁡ ( 17.625 T T + 243.04 ) , {\displaystyle e_{s}(T)=6.1094\exp \left({\frac {17.625T}{T+243.04}}\right),} e s {\displaystyle e_{s}} T {\displaystyle T} T {\displaystyle T}

Иногда это также называют приближением Магнуса или Магнуса–Тетенса , хотя эта атрибуция исторически неверна. [17] Но см. также обсуждение точности различных аппроксимирующих формул для давления насыщенного пара воды .

При типичных атмосферных условиях знаменатель показателя степени слабо зависит от (единицей измерения является градус Цельсия). Поэтому уравнение Августа–Роша–Магнуса подразумевает, что давление насыщенного водяного пара изменяется приблизительно экспоненциально с температурой при типичных атмосферных условиях, и, следовательно, водоудерживающая способность атмосферы увеличивается примерно на 7% при каждом повышении температуры на 1 °C. [18] T {\displaystyle T}

Пример

Одно из применений этого уравнения — определить, произойдет ли фазовый переход в данной ситуации. Рассмотрим вопрос о том, какое давление необходимо для таяния льда при температуре ниже 0 °C. Обратите внимание, что вода необычна тем, что ее изменение объема при таянии отрицательно. Мы можем предположить и подставив в Δ T {\displaystyle {\Delta T}} Δ P = L T Δ v Δ T , {\displaystyle \Delta P={\frac {L}{T\,\Delta v}}\,\Delta T,}

  • L = 3.34 × 10 5   J / k g {\displaystyle L=3.34\times 10^{5}~\mathrm {J/kg} } (скрытая теплота плавления воды),
  • T = 273 K {\displaystyle T=273\,\mathrm {K} } (абсолютная температура в кельвинах ),
  • Δ v = − 9.05 × 10 − 5   m 3 / k g {\displaystyle \Delta v=-9.05\times 10^{-5}~\mathrm {m^{3}/kg} } (изменение удельного объема от твердого к жидкому),

мы получаем Δ P Δ T = − 13.5   MPa / K . {\displaystyle {\frac {\Delta P}{\Delta T}}=-13.5~{\text{MPa}}/{\text{K}}.}

Чтобы дать грубый пример того, насколько велико это давление, для того, чтобы растопить лед при температуре −7 °C (температура, на которой установлены многие ледовые катки ), потребуется уравновесить небольшой автомобиль (массой ~ 1000 кг [19] ) на напёрстке (площадь ~ 1 см 2 ). Это показывает, что катание на коньках нельзя просто объяснить понижением температуры плавления, вызванным давлением, и на самом деле механизм довольно сложен. [20]

Вторая производная

Хотя соотношение Клаузиуса–Клапейрона дает наклон кривой сосуществования, оно не дает никакой информации о ее кривизне или второй производной . Вторая производная кривой сосуществования фаз 1 и 2 определяется как [21] , где индексы 1 и 2 обозначают различные фазы, — удельная теплоемкость при постоянном давлении, — коэффициент теплового расширения , — изотермическая сжимаемость . d 2 P d T 2 = 1 v 2 − v 1 [ c p 2 − c p 1 T − 2 ( v 2 α 2 − v 1 α 1 ) d P d T ] + 1 v 2 − v 1 [ ( v 2 κ T 2 − v 1 κ T 1 ) ( d P d T ) 2 ] , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} ^{2}P}{\mathrm {d} T^{2}}}&={\frac {1}{v_{2}-v_{1}}}\left[{\frac {c_{p2}-c_{p1}}{T}}-2(v_{2}\alpha _{2}-v_{1}\alpha _{1}){\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} T}}\right]\\{}&+{\frac {1}{v_{2}-v_{1}}}\left[(v_{2}\kappa _{T2}-v_{1}\kappa _{T1})\left({\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} T}}\right)^{2}\right],\end{aligned}}} c p {\displaystyle c_{p}} α = ( 1 / v ) ( d v / d T ) P {\displaystyle \alpha =(1/v)(\mathrm {d} v/\mathrm {d} T)_{P}} κ T = − ( 1 / v ) ( d v / d P ) T {\displaystyle \kappa _{T}=-(1/v)(\mathrm {d} v/\mathrm {d} P)_{T}}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Клаузиус, Р. (1850). «Ueber die bewegende Kraft der Wärme und die Gesetze, welche sich daraus für die Wärmelehre selbstableiten lassen» [О движущей силе тепла и выводимых из нее законах относительно теории тепла]. Аннален дер Физик (на немецком языке). 155 (4): 500–524 . Бибкод : 1850АнП...155..500С. дои : 10.1002/andp.18501550403. hdl : 2027/uc1.$b242250 .
  2. ^ Клапейрон, MC (1834). «Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur». Journal de l'École Polytechnique  [fr] (на французском языке). 23 : 153–190 . ark:/12148/bpt6k4336791/f157.
  3. ^ Фейнман, Ричард (1963). «Иллюстрации термодинамики». Лекции Фейнмана по физике . Калифорнийский технологический институт . Получено 13 декабря 2023 г. Это соотношение было выведено Карно, но оно называется уравнением Клаузиуса-Клапейрона.
  4. ^ Томсон, Уильям (1849). «Изложение теории Карно о движущей силе тепла; с числовыми результатами, выведенными из экспериментов Реньо с паром». Труды Эдинбургского королевского общества . 16 (5): 541– 574. doi :10.1017/S0080456800022481.
  5. ^ Пиппард, Альфред Б. (1981). Элементы классической термодинамики: для продвинутых студентов физики (Повторное издание). Кембридж: Univ. Pr. стр. 116. ISBN 978-0-521-09101-5.
  6. ^ Козиол, Андреа; Перкинс, Декстер. «Обучение фазовым равновесиям». serc.carleton.edu . Карлтонский университет . Получено 1 февраля 2023 г. .
  7. ^ ab "Уравнение Клаузиуса-Клапейрона". Chemistry LibreTexts . 2014-06-01 . Получено 2024-10-21 .
  8. ^ abcdefghi Wark, Kenneth (1988) [1966]. "Обобщенные термодинамические соотношения". Термодинамика (5-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill, Inc. ISBN 978-0-07-068286-3.
  9. ^ Клаузиус; Клапейрон. «Уравнение Клаузиуса-Клапейрона». Bodner Research Web . Purdue University . Получено 1 февраля 2023 г.
  10. ^ Карл Род Нав (2006). "PvT-поверхность для вещества, которое сжимается при замерзании". HyperPhysics . Университет штата Джорджия . Получено 16 октября 2007 г.
  11. ^ ab Çengel, Yunus A.; Boles, Michael A. (1998) [1989]. Термодинамика – инженерный подход . Серия McGraw-Hill по машиностроению (3-е изд.). Бостон, Массачусетс: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-011927-7.
  12. ^ Salzman, William R. (2001-08-21). "Уравнения Клапейрона и Клаузиуса–Клапейрона". Химическая термодинамика . Университет Аризоны. Архивировано из оригинала 2007-06-07 . Получено 2007-10-11 .
  13. ^ Мастертон, Уильям Л.; Херли, Сесиль Н. (2008). Химия: принципы и реакции (6-е изд.). Cengage Learning. стр. 230. ISBN 9780495126713. Получено 3 апреля 2020 г. .
  14. ^ Клапейрон, Э (1834). «Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur». Журнал Политехнической школы . XIV : 153–190 .
  15. ^ Алдухов, Олег; Эскридж, Роберт (1997-11-01), Улучшенная аппроксимация формы Магнуса давления насыщенного пара, NOAA , doi : 10.2172/548871Уравнение 21 дает эти коэффициенты.
  16. ^ Alduchov, Олег А.; Eskridge, Роберт Э. (1996). «Улучшенная аппроксимация формы Магнуса давления насыщенного пара». Журнал прикладной метеорологии . 35 (4): 601– 609. Bibcode :1996JApMe..35..601A. doi : 10.1175/1520-0450(1996)035<0601:IMFAOS>2.0.CO;2 .Уравнение 25 дает эти коэффициенты.
  17. ^ Лоуренс, MG (2005). "Соотношение между относительной влажностью и температурой точки росы во влажном воздухе: простое преобразование и приложения" (PDF) . Бюллетень Американского метеорологического общества . 86 (2): 225–233 . Bibcode : 2005BAMS...86..225L. doi : 10.1175/BAMS-86-2-225.
  18. ^ МГЭИК, Изменение климата 2007: Рабочая группа I: Физическая научная основа, «FAQ 3.2 Как меняются осадки?». Архивировано 2 ноября 2018 г. на Wayback Machine .
  19. ^ Зорина, Яна (2000). «Масса автомобиля». The Physics Factbook .
  20. ^ Liefferink, Rinse W.; Hsia, Feng-Chun; Weber, Bart; Bonn, Daniel (2021-02-08). «Трение на льду: как температура, давление и скорость контролируют скользкость льда». Physical Review X. 11 ( 1): 011025. doi : 10.1103/PhysRevX.11.011025 . hdl : 11245.1/a901a712-0a68-42ca-a80f-732e541288d2 .
  21. ^ Крафчик, Мэтью; Санчес Веласко, Эдуардо (2014). «За пределами Клаузиуса–Клапейрона: Определение второй производной линии фазового перехода первого рода». American Journal of Physics . 82 (4): 301– 305. Bibcode :2014AmJPh..82..301K. doi :10.1119/1.4858403.

Библиография

  • Яу, МК; Роджерс, РР (1989). Краткий курс физики облаков (3-е изд.). Баттерворт–Хайнеманн. ISBN 978-0-7506-3215-7.
  • Iribarne, JV; Godson, WL (2013). "4. Системы вода-воздух § 4.8 Уравнение Клаузиуса–Клапейрона". Atmospheric Thermodynamics . Springer. стр. 60–. ISBN 978-94-010-2642-0.
  • Каллен, Х. Б. (1985). Термодинамика и введение в термостатику . Wiley. ISBN 978-0-471-86256-7.

Примечания

  1. ^ В оригинальной работе просто называлась функцией Карно и не была известна в этой форме. Клаузиус определил форму 30 лет спустя и добавил свое имя к одноименному соотношению Клаузиуса–Клапейрона. 1 / T {\displaystyle 1/T}
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Clausius–Clapeyron_relation&oldid=1259438769#August–Roche–Magnus_approximation"