Тавтологическая одна форма

В математике тавтологическая 1-форма — это специальная 1-форма, определённая на кокасательном расслоении многообразия . В физике она используется для создания соответствия между скоростью точки в механической системе и её импульсом, тем самым обеспечивая мост между лагранжевой механикой и гамильтоновой механикой (на многообразии ). $Т^{*}Q$ $В.$ $Q$

Внешняя производная этой формы определяет симплектическую форму, задающую структуру симплектического многообразия . Тавтологическая один-форма играет важную роль в связывании формализма гамильтоновой механики и лагранжевой механики . Тавтологическая один-форма иногда также называется один-формой Лиувилля , один-формой Пуанкаре , канонической один-формой или симплектическим потенциалом . Подобным объектом является каноническое векторное поле на касательном расслоении . $Т^{*}Q$

Определение в координатах

Чтобы определить тавтологическую однократную форму, выберите координатную карту на и каноническую систему координат на Выберите произвольную точку По определению кокасательного расслоения, где и Тавтологическая однократная форма задается соотношением с и являющимся координатным представлением $U$ $Т^{*}Q$ $У.$ $m\in T^{*}Q.$ $m=(q,p),$ $q\in Q$ $p\in T_{q}^{*}Q.$ $\theta _{m}:T_{m}T^{*}Q\to \mathbb {R}$ $\theta _{m}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,dq^{i},$ $n=\mathop {\text{dim}} Q$ $(p_{1},\ldots ,p_{n})\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ $с.$

Любые координаты , сохраняющие это определение с точностью до полного дифференциала ( точной формы ), можно назвать каноническими координатами; преобразования между различными каноническими системами координат известны как канонические преобразования . $Т^{*}Q$

Каноническая симплектическая форма , также известная как двумерная форма Пуанкаре , задается формулой $\omega =-d\theta =\sum _{i}dq^{i}\wedge dp_{i}$

Расширение этой концепции на общие расслоения волокон известно как форма припоя . По соглашению, фраза «каноническая форма» используется всякий раз, когда форма имеет уникальное каноническое определение, и термин «форма припоя» используется всякий раз, когда необходимо сделать произвольный выбор. В алгебраической геометрии и комплексной геометрии термин «канонический» не приветствуется из-за путаницы с каноническим классом , и предпочтительнее термин «тавтологический», как в тавтологическом расслоении .

Определение без координат

Тавтологическую 1-форму можно также определить довольно абстрактно как форму на фазовом пространстве . Пусть будет многообразием и будет кокасательным расслоением или фазовым пространством . Пусть будет канонической проекцией расслоения волокон, и пусть будет индуцированным касательным отображением . Пусть будет точкой на Поскольку является кокасательным расслоением, мы можем понимать, что это отображение касательного пространства в : $Q$ $М=Т^{*}Q$ $\pi :M\to Q$ $\mathrm {d} \pi:TM\to TQ$ $м$ $М.$ $М$ $м$ $q=\пи (м)$ $m:T_{q}Q\to \mathbb {R} .$

То есть, мы имеем, что находится в слое Тавтологическая форма в точке тогда определяется как $м$ $д.$ $\theta _{м}$ $м$ $\theta _{m}=m\circ \mathrm {d} _{m}\pi .$

Это линейная карта и поэтому $\theta _{m}:T_{m}M\to \mathbb {R}$ $\theta :M\to T^{*}M.$

Симплектический потенциал

Симплектический потенциал обычно определяется немного более свободно и также определяется только локально: это любая одномерная форма , такая что ; по сути, симплектические потенциалы отличаются от канонической одномерной формы замкнутой формой . $\фи$ $\omega =-d\phi$

Характеристики

Тавтологическая одна-форма — это единственная одна-форма, которая «отменяет» обратный откат . То есть, пусть будет 1-формой на — это раздел Для произвольной 1-формы на обратном откате по есть , по определению, Здесь — прямой откат Как и есть 1-форма на Тавтологическая одна-форма — это единственная форма со свойством, что для каждой 1-формы на $\beta$ $Q.$ $\beta$ $\beta :Q\to T^{*}Q.$ $\sigma$ $T^{*}Q,$ $\sigma$ $\beta$ $\beta ^{*}\sigma :=\sigma \circ \beta _{*}.$ $\beta _{*}:TQ\to TT^{*}Q$ $\beta .$ $\beta ,$ $\beta ^{*}\sigma$ $Q.$ $\theta$ $\beta ^{*}\theta =\beta ,$ $\beta$ $Q.$

Доказательство.

Для диаграммы на (где пусть будут координатами на , где координаты волокон связаны с линейным базисом По предположению, для каждого или Из этого следует, что что подразумевает, что $(\{q^{i}\}_{i=1}^{n},U)$ $Q$ $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}),$ $\{p_{i},q^{i}\}_{i=1}^{n}$ $T^{*}Q,$ $\{p_{i}\}_{i=1}^{n}$ $\{dq^{i}\}_{i=1}^{n}.$ ${\mathbf {q} }=(q^{1},\ldots ,q^{n})\in U,$ $\beta ({\mathbf {q} })=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}(\mathbf {q} )\,dq^{i},$ $\mathbf {q} =(q^{1},\ldots ,q^{n})\ {\stackrel {\beta }{\to }}\ (\underbrace {q^{1},\ldots ,q^{n}} _{\mathbf {q} },\underbrace {\beta _{1}(\mathbf {q} ),\ldots ,\beta _{n}(\mathbf {q} } _{\mathbf {p} })).$ $\beta _{*}\left({\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\Biggl |}_{\mathbf {q} }\right)={\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\Biggl |}_{\beta (\mathbf {q} )}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \beta _{j}}{\partial q^{i}}}{\Biggl |}_{\mathbf {q} }\cdot {\frac {\partial }{\partial p_{j}}}{\Biggl |}_{\beta (\mathbf {q} )}$ $(\beta ^{*}\,dq^{i})\left({\partial /\partial q^{j}}\right)_{\mathbf {q} }=dq^{i}\left[\beta _{*}\left({\partial /\partial q^{j}}\right)_{\mathbf {q} }\right]=\delta _{ij}.$

Шаг 1. У нас есть ${\begin{aligned}(\beta ^{*}\theta )\left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }&=\theta \left(\beta _{*}\left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }\right)=\left(\sum _{j=1}^{n}p_{j}dq^{j}\right)\left(\beta _{*}\left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }\right)\\&=\beta _{i}(\mathbf {q} )=\beta \left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }.\end{aligned}}$

Шаг 1'. Для полноты мы теперь дадим бескоординатное доказательство того, что для любой 1-формы $\beta ^{*}\theta =\beta ,$ $\beta .$

Заметим, что, интуитивно говоря, для каждого и линейное отображение в определении проецирует касательное пространство на его подпространство Как следствие, для каждого и где есть экземпляр в точке, то есть, Применяя определение без координат для получения $q\in Q$ $p\in T_{q}^{*}Q,$ $d\pi _{(q,p)}$ $\theta$ $T_{(q,p)}T^{*}Q$ $T_{q}Q.$ $q\in Q$ $v\in T_{q}Q,$ $d\pi _{\beta (q)}(\beta _{*q}v)=v,$ $\beta _{*q}$ $\beta _{*}$ $q\in Q,$ $\beta _{*q}:T_{q}Q\to T_{\beta (q)}T^{*}Q.$ $\theta$ $\theta _{\beta (q)},$ $(\beta ^{*}\theta )_{q}v=\theta _{\beta (q)}(\beta _{*q}v)=\beta (q)(d\pi _{\beta (q)}(\beta _{*q}v))=\beta (q)v.$

Шаг 2. Достаточно показать, что если для каждой одномерной формы Пусть где $\alpha =0$ $\beta ^{*}\alpha =0,$ $\beta .$ $\alpha =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\,dq^{i}+\sum _{i=1}^{n}\alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\,dp_{i},$ $\alpha _{p^{i}},\alpha _{q^{i}}\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}\times U,\mathbb {R} ).$

Подставляя в тождество получаем или эквивалентно, для любого выбора функций Пусть где В этом случае Для каждого и Это показывает, что на и тождество должно выполняться для произвольного выбора функций Если (с указанием верхнего индекса), то и тождество становится для каждого и Поскольку мы видим, что до тех пор, пока для всех С другой стороны, функция непрерывна, и, следовательно, на $v=\left(\partial /\partial q_{i}\right)_{\mathbf {q} }$ $\alpha (\beta _{*}v)=0$ $\alpha (\partial /\partial q^{i})_{\beta (\mathbf {q} )}+\sum _{j=1}^{n}(\partial \beta _{j}/\partial q^{i})_{\mathbf {q} }\cdot \alpha (\partial /\partial p_{j})_{\beta (\mathbf {q} )}=0,$ $n$ $p_{i}=\beta _{i}(\mathbf {q} ),$ $\alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )+\sum _{j=1}^{n}\partial p_{j}/\partial q^{i}\cdot \alpha _{p_{j}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0.$ $\beta =\sum _{j=1}^{n}c_{j}dq^{j},$ $c_{j}={\text{const}}.$ $\beta _{j}=c_{j}.$ $\mathbf {q} \in U$ $c_{j}\in \mathbb {R} ,$ $\alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ){\bigl |}_{j=1\ldots n}^{p_{j}=c_{j}}=0.$ $\alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0$ $\mathbb {R} ^{n}\times U,$ $\sum _{j=1}^{n}\partial p_{j}/\partial q^{i}\cdot \alpha _{p_{j}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0$ $p_{i}=\beta _{i}(\mathbf {q} ).$ $\beta =\sum _{j=1}^{n}c_{j}q^{j}dq^{j}$ ${}^{j}$ $\beta _{j}=c_{j}q^{j},$ $\alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ){\bigl |}_{j=1\ldots n}^{p_{j}=c_{j}q^{j}}=0,$ $\mathbf {q} \in U$ $c_{j}\in \mathbb {R} .$ $c_{j}=p^{j}/q^{j},$ $\alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0,$ $q^{j}\neq 0$ $j.$ $\alpha _{p_{i}}$ $\alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0$ $\mathbb {R} ^{n}\times U.$

Итак, коммутируя между обратным ходом и внешней производной, $\beta ^{*}\omega =-\beta ^{*}\,d\theta =-d(\beta ^{*}\theta )=-d\beta .$

Действие

Если — гамильтониан на кокасательном расслоении и — его гамильтоново векторное поле , то соответствующее действие задается выражением $H$ $X_{H}$ $S$ $S=\theta (X_{H}).$

В более прозаических терминах гамильтонов поток представляет собой классическую траекторию механической системы, подчиняющейся уравнениям движения Гамильтона-Якоби . Гамильтонов поток является интегралом гамильтонова векторного поля, и поэтому можно записать, используя традиционные обозначения для переменных действие-угол : с интегралом, понимаемым как взятый по многообразию, определяемому сохранением постоянной энергии: $S(E)=\sum _{i}\oint p_{i}\,dq^{i}$ $E$ $H=E={\text{const}}.$

О римановых и псевдоримановых многообразиях

Если многообразие имеет риманову или псевдориманову метрику , то соответствующие определения могут быть сделаны в терминах обобщенных координат . В частности, если мы принимаем метрику за отображение, то определяем и $Q$ $g,$ $g:TQ\to T^{*}Q,$ $\Theta =g^{*}\theta$ $\Omega =-d\Theta =g^{*}\omega$

В обобщенных координатах на одном есть и $(q^{1},\ldots ,q^{n},{\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})$ $TQ,$ $\Theta =\sum _{ij}g_{ij}{\dot {q}}^{i}dq^{j}$ $\Omega =\sum _{ij}g_{ij}\;dq^{i}\wedge d{\dot {q}}^{j}+\sum _{ijk}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{k}}}\;{\dot {q}}^{i}\,dq^{j}\wedge dq^{k}$

Метрика позволяет определить сферу единичного радиуса в Каноническая единичная форма, ограниченная этой сферой, образует контактную структуру ; контактная структура может быть использована для генерации геодезического потока для этой метрики. $T^{*}Q.$

Ссылки

Ральф Абрахам и Джеррольд Э. Марсден , Основы механики , (1978) Benjamin-Cummings, Лондон ISBN 0-8053-0102-X См. раздел 3.2 .