Волчки Лагранжа, Эйлера и Ковалевской

В классической механике вращение твердого тела , такого как волчок, под действием силы тяжести , в общем случае не является интегрируемой задачей . Однако существуют три известных случая, которые являются интегрируемыми: волчок Эйлера , волчок Лагранжа и волчок Ковалевской , которые на самом деле являются единственными интегрируемыми случаями, когда система подчиняется голономным связям . ^{[1] [2] [3]} Помимо энергии, каждый из этих волчков включает в себя две дополнительные константы движения , которые приводят к интегрируемости .

Волчок Эйлера описывает свободный волчок без какой-либо особой симметрии, движущийся в отсутствие какого-либо внешнего момента силы , и для которого неподвижной точкой является центр тяжести . Волчок Лагранжа является симметричным волчком, в котором два момента инерции одинаковы, а центр тяжести лежит на оси симметрии . Волчок Ковалевской ^{[4] [5]} является особым симметричным волчком с уникальным соотношением моментов инерции , которые удовлетворяют соотношению

${\displaystyle I_{1}=I_{2}=2I_{3},}$

То есть два момента инерции равны, третий вдвое меньше, а центр тяжести расположен в плоскости, перпендикулярной оси симметрии (параллельной плоскости двух вырожденных главных осей).

Конфигурация классического волчка ^[6] описывается во времени тремя главными осями , зависящими от времени , определяемыми тремя ортогональными векторами , и соответствующими моментами инерции , и и угловой скоростью относительно этих осей. В гамильтоновой формулировке классических волчков сопряженные динамические переменные являются компонентами вектора углового момента вдоль главных осей${\displaystyle т}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{1}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{2}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{3}}$${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle I_{3}}$${\displaystyle {\bf {L}}}$

${\displaystyle (\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3})=(\mathbf {L} \cdot {\hat {\bf {e}}}^{1}, {\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},{\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})}}}}}$

и z -компоненты трех главных осей,

${\displaystyle (n_{1},n_{2},n_{3})=(\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{1},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})}$

Соотношения скобок Пуассона этих переменных определяются как

${\displaystyle \{\ell _{a},\ell _{b}\}=\varepsilon _{abc}\ell _{c},\ \{\ell _{a},n_{b}\}=\varepsilon _{abc}n_{c},\ \{n_{a},n_{b}\}=0}$

Если положение центра масс задается как , то гамильтониан волчка задается как${\displaystyle {\vec {R}}_{cm}=(a\mathbf {\hat {e}} ^{1}+b\mathbf {\hat {e}} ^{2}+c\mathbf { \hat {e}} ^{3})}$

${\displaystyle H={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{ 2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mg(an_{1}+bn_{2}+cn_{3})={\frac {(\ell _{1})^{ 2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mg{\vec {R}}_{cm}\cdot \mathbf {\hat {z}} ,}$

Уравнения движения тогда определяются как

${\displaystyle {\dot {\ell }}_{a}=\{H,\ell _{a}\},{\dot {n}}_{a}=\{H,n_{a}\}.}$

Явно это и есть циклические перестановки индексов.$${\displaystyle {\dot {\ell }}_{1}=\left({\frac {1}{I_{3}}}-{\frac {1}{I_{2}}}\right)\ell _{2}\ell _{3}+mg(cn_{2}-bn_{3})}$$$${\displaystyle {\dot {n}}_{1}={\frac {\ell _{3}}{I_{3}}}n_{2}-{\frac {\ell _{2}}{I_{2}}}n_{3}}$$

В математических терминах пространственная конфигурация тела описывается точкой на группе Ли , трехмерной группе вращения , которая является матрицей вращения из лабораторной системы отсчета в систему отсчета тела. Полное конфигурационное пространство или фазовое пространство — это кокасательное расслоение , с волокнами, параметризующими угловой момент в пространственной конфигурации . Гамильтониан — это функция на этом фазовом пространстве.${\displaystyle SO(3)}$ ${\displaystyle T^{*}SO(3)}$${\displaystyle T_{R}^{*}SO(3)}$${\displaystyle R}$

Волчок Эйлера, названный в честь Леонарда Эйлера , представляет собой волчок без момента силы (например, волчок в свободном падении) с гамильтонианом

${\displaystyle H_{\rm {E}}={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^ {2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}},}$

Четыре константы движения — это энергия и три компонента момента импульса в лабораторной системе отсчета,${\displaystyle H_{\rm {E}}}$

${\displaystyle (L_{1},L_{2},L_{3})=\ell _{1}\mathbf {\hat {e}} ^{1}+\ell _{2}\mathbf {\ шляпа {e}} ^{2}+\ell _{3}\mathbf {\hat {e}} ^{3}.}$

Волчок Лагранжа, ^[7] названный в честь Жозефа-Луи Лагранжа , представляет собой симметричный волчок с центром масс вдоль оси симметрии в точке, , с гамильтонианом${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {см}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{3}}$

${\displaystyle H_{\rm {L}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}}{2I}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mghn_{3}.}$

Четыре константы движения - это энергия , составляющая момента импульса вдоль оси симметрии, момент импульса в направлении z .${\displaystyle H_{\rm {L}}}$${\displaystyle \ell _{3}}$

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

и величина n -вектора

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}$

Волчок Ковалевской ^{[4] [5]} — симметричный волчок, в котором , а центр масс лежит в плоскости, перпендикулярной оси симметрии . Он был открыт Софьей Ковалевской в ​​1888 году и представлен в ее статье "Sur le problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixede", которая получила премию Бордена Французской академии наук в 1888 году. Гамильтониан равен${\displaystyle I_{1}=I_{2}=2I}$${\displaystyle I_{3}=I}$${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {cm}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{1}}$

${\displaystyle H_{\rm {K}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}+2(\ell _{3})^{2}}{2I}}+mghn_{1}.}$

Четыре константы движения - энергия , инвариант Ковалевской${\displaystyle H_{\rm {K}}}$

${\displaystyle K=\xi _{+}\xi _{-}}$

где переменные определяются как${\displaystyle \xi _{\pm }}$

${\displaystyle \xi _{\pm }=(\ell _{1}\pm i\ell _{2})^{2}-2mghI(n_{1}\pm in_{2}),}$

компонент углового момента в направлении z ,

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

и величина n -вектора

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}.}$

Если ослабить ограничения, чтобы разрешить неголономные ограничения, то существуют и другие возможные интегрируемые волчки, помимо трех хорошо известных случаев. Неголономный волчок Горячева–Чаплыгина (введенный Д. Горячевым в 1900 г. ^[8] и проинтегрированный Сергеем Чаплыгиным в 1948 г. ^{[9] [10]} ) также интегрируем ( ). Его центр тяжести лежит в экваториальной плоскости . ^[11]${\displaystyle I_{1}=I_{2}=4I_{3}}$

• Карданная подвеска

• Ковалевская Топ – из Мира Физики Эрика Вайсштейна
• Ковалевская Топ