Теорема вложения Хана

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Ноябрь 2020 ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

В математике , особенно в области абстрактной алгебры, занимающейся упорядоченными структурами на абелевых группах , теорема вложения Хана дает простое описание всех линейно упорядоченных абелевых групп . Она названа в честь Ганса Хана . ^[1]

Теорема утверждает, что каждая линейно упорядоченная абелева группа G может быть вложена как упорядоченная подгруппа аддитивной группы, наделенной лексикографическим порядком , где — аддитивная группа действительных чисел (со своим стандартным порядком), Ω — множество архимедовых классов эквивалентности группы G , а — множество всех функций из Ω в , которые обращаются в нуль вне вполне упорядоченного множества .${\displaystyle \mathbb {R} ^{\Омега }}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\Омега }}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Пусть 0 обозначает единичный элемент группы G . Для любого ненулевого элемента g группы G ровно один из элементов g или − g больше 0; обозначим этот элемент через | g |. Два ненулевых элемента g и h группы G архимедовы эквивалентны , если существуют натуральные числа N и M, такие что N | g | > | h | и M | h | > | g |. Интуитивно это означает, что ни g, ни h не являются «бесконечно малыми» относительно друг друга. Группа G архимедова , если все ненулевые элементы архимедово эквивалентны. В этом случае Ω является синглетоном , поэтому является просто группой действительных чисел. Тогда теорема вложения Хана сводится к теореме Гёльдера (которая утверждает, что линейно упорядоченная абелева группа является архимедовой тогда и только тогда, когда она является подгруппой упорядоченной аддитивной группы действительных чисел).${\displaystyle \mathbb {R} ^{\Омега }}$

Gravett (1956) дает четкое утверждение и доказательство теоремы. Статьи Clifford (1954) и Hausner & Wendel (1952) вместе дают другое доказательство. См. также Fuchs & Salce (2001, стр. 62).

• Архимедова группа

• Фукс, Ласло; Сальче, Луиджи (2001), Модули над не-нётеровыми областями , Математические обзоры и монографии, т. 84, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1963-0, г-н  1794715
• Эрлих, Филип (1995), «"Über die nichtarchimedischen Grössensysteme" Хана и истоки современной теории величин и чисел для их измерения», в Хинтикка, Яакко (ред.), От Дедекинда до Гёделя: очерки о развитии оснований математики ( PDF) , Kluwer Academic Publishers, стр.  165–213
• Хан, Х. (1907), «Über die nichtarchimedischen Größensysteme.», Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien, Mathematisch - Naturwissenschaftliche Klasse (Wien. Ber.) (на немецком языке), 116 : 601–655
• Gravett, KAH (1956), «Упорядоченные абелевы группы», The Quarterly Journal of Mathematics , вторая серия, 7 : 57–63 , doi :10.1093/qmath/7.1.57
• Клиффорд, А. Х. (1954), «Заметка о теореме Хана об упорядоченных абелевых группах», Труды Американского математического общества , 5 (6): 860– 863, doi :10.2307/2032549, JSTOR  2032549
• Хауснер, М.; Вендель, Дж. Г. (1952), «Упорядоченные векторные пространства», Труды Американского математического общества , 3 (6): 977– 982, doi : 10.1090/S0002-9939-1952-0052045-1