Диффеоморфизм Аносова
Диффеоморфизм, имеющий гиперболическую структуру на касательном расслоении

В математике , в частности в областях динамических систем и геометрической топологии , отображение Аносова на многообразии M — это определенный тип отображения из M в себя с довольно четко обозначенными локальными направлениями «расширения» и «сжатия». Системы Аносова являются частным случаем систем Аксиомы А.

Диффеоморфизмы Аносова были введены Дмитрием Викторовичем Аносовым , который доказал, что их поведение является в соответствующем смысле универсальным (когда они вообще существуют). [1]

Обзор

Следует различать три тесно связанных определения:

Классическим примером диффеоморфизма Аносова является отображение кота Арнольда .

Аносов доказал , что диффеоморфизмы Аносова структурно устойчивы и образуют открытое подмножество отображений (потоков) с топологией C1 .

Не каждое многообразие допускает диффеоморфизм Аносова; например, на сфере таких диффеоморфизмов нет . Простейшими примерами компактных многообразий, допускающих их, являются торы: они допускают так называемые линейные диффеоморфизмы Аносова , которые являются изоморфизмами, не имеющими собственного значения по модулю 1. Было доказано, что любой другой диффеоморфизм Аносова на торе топологически сопряжен с диффеоморфизмом этого вида.

Проблема классификации многообразий, допускающих диффеоморфизмы Аносова, оказалась очень сложной и по состоянию на 2023 год [обновлять]не имеет решения для размерности более 3. Единственными известными примерами являются инфранилмногообразия, и предполагается, что они единственные.

Достаточным условием транзитивности является то, что все точки являются неблуждающими: . Это, в свою очередь, справедливо для диффеоморфизмов Аносова коразмерности один (т. е. тех, для которых сжимающееся или расширяющееся подрасслоение является одномерным) [2] и для потоков Аносова коразмерности один на многообразиях размерности больше трех [3], а также для потоков Аносова, спектр Мезера которых содержится в двух достаточно тонких кольцах. [4] Неизвестно, являются ли диффеоморфизмы Аносова транзитивными (за исключением инфранилмногообразий), но потоки Аносова не обязаны быть топологически транзитивными. [5] Ω ( ф ) = М {\displaystyle \Омега (ф)=М}

Также неизвестно, является ли эргодическим всякий сохраняющий объем диффеоморфизм Аносова. Аносов доказал это при некотором предположении. Это также верно для сохраняющих объем диффеоморфизмов Аносова. С 1 {\displaystyle С^{1}} С 2 {\displaystyle С^{2}} С 1 + α {\displaystyle C^{1+\альфа}}

Для транзитивного диффеоморфизма Аносова существует единственная мера SRB (аббревиатура расшифровывается как Синай, Рюэль и Боуэн), поддерживаемая на , такая, что ее бассейн имеет полный объем, где С 2 {\displaystyle С^{2}} ф : М → М {\displaystyle f\двоеточие M\to M} μ ф {\displaystyle \mu _{f}} М {\displaystyle М} Б ( μ ф ) {\displaystyle B(\mu _{f})}

Б ( μ ф ) = { х ∈ М : 1 н ∑ к = 0 н − 1 δ ф к х → μ ф } . {\displaystyle B(\mu _{f})=\left\{x\in M:{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\delta _{f^{k}x}\to \mu _{f}\right\}.}

Поток Аносова на (касательных расслоениях) римановых поверхностей

В качестве примера в этом разделе рассматривается случай потока Аносова на касательном расслоении римановой поверхности отрицательной кривизны . Этот поток можно понимать в терминах потока на касательном расслоении модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической геометрии. Римановы поверхности отрицательной кривизны могут быть определены как фуксовы модели , то есть как факторы верхней полуплоскости и фуксовой группы . Для дальнейшего пусть H будет верхней полуплоскостью; пусть Γ будет фуксовой группой; пусть M  =  H /Γ будет римановой поверхностью отрицательной кривизны как фактором "M" по действию группы Γ, и пусть будет касательным расслоением векторов единичной длины на многообразии M , и пусть будет касательным расслоением векторов единичной длины на H. Обратите внимание, что расслоение векторов единичной длины на поверхности является главным расслоением комплексного линейного расслоения . Т 1 М {\displaystyle Т^{1}М} Т 1 ЧАС {\displaystyle Т^{1}Н}

Векторные поля Ли

Начнем с того, что отметим, что изоморфна группе Ли PSL(2, R ) . Эта группа является группой сохраняющих ориентацию изометрий верхней полуплоскости. Алгебра Ли PSL(2, R ) есть sl(2, R ) и представлена ​​матрицами Т 1 ЧАС {\displaystyle Т^{1}Н}

Дж. = ( 1 / 2 0 0 − 1 / 2 ) Х = ( 0 1 0 0 ) И = ( 0 0 1 0 ) {\displaystyle J={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/2\\\end{pmatrix}}\qquad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}

которые имеют алгебру

[ Дж. , Х ] = Х [ Дж. , И ] = − И [ Х , И ] = 2 Дж. {\displaystyle [J,X]=X\qquad [J,Y]=-Y\qquad [X,Y]=2J}

Экспоненциальные карты

г т = эксп ⁡ ( т Дж. ) = ( е т / 2 0 0 е − т / 2 ) час т ∗ = эксп ⁡ ( т Х ) = ( 1 т 0 1 ) час т = эксп ⁡ ( т И ) = ( 1 0 т 1 ) {\displaystyle g_{t}=\exp(tJ)={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}^{*}=\exp(tX)={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}=\exp(tY)={\begin{pmatrix}1&0\\t&1\\\end{pmatrix}}}

определяют правоинвариантные потоки на многообразии , а также на . Определяя и , эти потоки определяют векторные поля на P и Q , векторы которых лежат в TP и TQ . Это просто стандартные, обычные векторные поля Ли на многообразии группы Ли, и представленное выше представление является стандартным изложением векторного поля Ли. Т 1 ЧАС = ПСЛ ⁡ ( 2 , Р ) {\displaystyle T^{1}H=\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )} Т 1 М {\displaystyle Т^{1}М} П = Т 1 ЧАС {\displaystyle P=T^{1}H} В = Т 1 М {\displaystyle Q=T^{1}M}

Аносов поток

Связь с потоком Аносова происходит из осознания того, что есть геодезический поток на P и Q. Поскольку векторные поля Ли (по определению) остаются инвариантными под действием группового элемента, то эти поля остаются инвариантными под действием определенных элементов геодезического потока. Другими словами, пространства TP и TQ разделены на три одномерных пространства, или подрасслоения , каждое из которых инвариантно под действием геодезического потока. Последний шаг — заметить, что векторные поля в одном подрасслоении расширяются (и расширяются экспоненциально), в другом остаются неизменными, а в третьем сжимаются (и делают это экспоненциально). г т {\displaystyle g_{t}} г т {\displaystyle g_{t}}

Точнее, касательное расслоение TQ можно записать как прямую сумму

Т В = Э + ⊕ Э 0 ⊕ Э − {\displaystyle TQ=E^{+}\oplus E^{0}\oplus E^{-}}

или, в точке , прямая сумма г ⋅ е = д ∈ В {\displaystyle g\cdot e=q\in Q}

Т д В = Э д + ⊕ Э д 0 ⊕ Э д − {\displaystyle T_{q}Q=E_{q}^{+}\oplus E_{q}^{0}\oplus E_{q}^{-}}

соответствующие генераторам алгебры Ли Y , J и X , соответственно, переносимые левым действием группового элемента g из начала координат e в точку q . То есть, имеем и . Каждое из этих пространств является подрасслоением , и сохраняется (инвариантно) под действием геодезического потока ; то есть под действием групповых элементов . Э е + = И , Э е 0 = Дж. {\displaystyle E_{e}^{+}=Y,E_{e}^{0}=J} Э е − = Х {\displaystyle E_{e}^{-}=X} г = г т {\displaystyle g=g_{t}}

Чтобы сравнить длины векторов в в разных точках q , нужна метрика. Любое скалярное произведение в продолжается до левоинвариантной римановой метрики на P , и, таким образом, до римановой метрики на Q . Длина вектора расширяется экспоненциально как exp(t) под действием . Длина вектора сокращается экспоненциально как exp(-t) под действием . Векторы в не изменяются. Это можно увидеть, рассмотрев, как коммутируют элементы группы. Геодезический поток инвариантен, Т д В {\displaystyle T_{q}Q} Т е П = с л ( 2 , Р ) {\displaystyle T_{e}P=sl(2,\mathbb {R} )} в ∈ Э д + {\displaystyle v\in E_{q}^{+}} г т {\displaystyle g_{t}} в ∈ Э д − {\displaystyle v\in E_{q}^{-}} г т {\displaystyle g_{t}} Э д 0 {\displaystyle E_{q}^{0}}

г с г т = г т г с = г с + т {\displaystyle g_{s}g_{t}=g_{t}g_{s}=g_{s+t}}

но два других сжимаются и расширяются:

г с час т ∗ = час т эксп ⁡ ( − с ) ∗ г с {\displaystyle g_{s}h_{t}^{*}=h_{t\exp(-s)}^{*}g_{s}}

и

г с час т = час т эксп ⁡ ( с ) г с {\displaystyle g_{s}h_{t}=h_{t\exp(s)}g_{s}}

где мы помним , что касательный вектор в задается производной по t кривой , заданной . Э д + {\displaystyle E_{q}^{+}} час т {\displaystyle h_{t}} т = 0 {\displaystyle т=0}

Геометрическая интерпретация течения Аносова

При действии на точку верхней полуплоскости соответствует геодезической на верхней полуплоскости, проходящей через точку . Действие представляет собой стандартное действие преобразования Мёбиуса SL(2, R ) на верхней полуплоскости, так что з = я {\displaystyle z=i} г т {\displaystyle g_{t}} з = я {\displaystyle z=i}

г т ⋅ я = ( эксп ⁡ ( т / 2 ) 0 0 эксп ⁡ ( − т / 2 ) ) ⋅ я = я эксп ⁡ ( т ) {\displaystyle g_{t}\cdot i={\begin{pmatrix}\exp(t/2)&0\\0&\exp(-t/2)\end{pmatrix}}\cdot i=i\exp(t)}

Общая геодезическая задается формулой

( а б с г ) ⋅ я эксп ⁡ ( т ) = а я эксп ⁡ ( т ) + б с я эксп ⁡ ( т ) + г {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp(t)={\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d}}}

где a , b , c и d действительны, причем . Кривые и называются орициклами . Орициклы соответствуют движению нормальных векторов орисферы на верхней полуплоскости. а г − б с = 1 {\displaystyle ad-bc=1} час т ∗ {\displaystyle h_{t}^{*}} час т {\displaystyle h_{t}}

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Дмитрий В. Аносов , Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях с отрицательной кривизной , (1967) Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 90 .
  2. ^ Ньюхаус, Шелдон Э. (1970). «О диффеоморфизмах Аносова коразмерности один». American Journal of Mathematics . 92 : 761–770 . doi :10.2307/2373372.
  3. ^ Верёвский, Альберто (1974). «Коразмерность одиночных потоков Аносова». Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana. Сегунда Серия . 19 (2): 49–77 .
  4. ^ Брин, Мичиган (1977). «Неблуждающие точки диффеоморфизмов Аносова». Астериск . 49 : 11–18 .
  5. ^ Беген, Франсуа; Бонатти, Кристиан; Ю, Бин (2017). «Построение потоков Аносова на 3-многообразиях». Геометрия и топология . 21 (3): 1837– 1930. doi :10.2140/gt.2017.21.1837.

Ссылки

  • «Y-система, U-система, C-система», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • Энтони Мэннинг, Динамика геодезических и орициклических потоков на поверхностях постоянной отрицательной кривизны , (1991), появляющаяся как Глава 3 в Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces , Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Оксфорд (1991). ISBN 0-19-853390-X (Предоставляет пояснительное введение в поток Аносова на SL(2, R ).) 
  • В данной статье использованы материалы из книги «Диффеоморфизм Аносова» на сайте PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
  • Тошикадзу Сунады , Магнитные потоки на римановой поверхности , Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Аносов_диффеоморфизм&oldid=1197555263"