Аналитически неразветвленное кольцо

В алгебре аналитически неразветвленное кольцо — это локальное кольцо , пополнение которого является редуцированным (не имеет ненулевых нильпотентных элементов ).

Следующие кольца аналитически неразветвлены:

псевдогеометрическое редуцированное кольцо.
отличное уменьшенное кольцо.

Шевалле (1945) показал, что каждое локальное кольцо алгебраического многообразия аналитически неразветвлено. Шмидт (1936) привел пример аналитически разветвленного приведенного локального кольца. Крулль показал, что каждое одномерное нормальное нётерово локальное кольцо аналитически неразветвлено; точнее, он показал, что одномерная нормальная нётерова локальная область аналитически неразветвлена тогда и только тогда, когда её целочисленное замыкание является конечным модулем. ^{[ необходима цитата ]} Это побудило Зарисского (1948) спросить, всегда ли локальная нётерова область, такая что её целочисленное замыкание является конечным модулем, является аналитически неразветвлённой. Однако Нагата (1955) привёл пример двумерного нормального аналитически разветвлённого нётерова локального кольца. Нагата также показал, что немного более сильная версия вопроса Зарисского верна: если нормализация каждого конечного расширения данного нётерова локального кольца R является конечным модулем, то R аналитически неразветвлён.

Существуют две классические теоремы Дэвида Риса (1961), характеризующие аналитически неразветвленные кольца. Первая гласит, что нётерово локальное кольцо ( R , m ) аналитически неразветвлено тогда и только тогда, когда существуют m -примарный идеал J и последовательность такая, что , где черта означает целочисленное замыкание идеала . Вторая гласит, что нётерова локальная область аналитически неразветвлена тогда и только тогда, когда для любой конечно порожденной R -алгебры S , лежащей между R и полем дробей K из R , целочисленное замыкание S в K является конечно порожденным модулем над S . Вторая следует из первой. $n_{j}\to \infty$ ${\overline {J^{j}}}\subset J^{n_{j}}$

Пример Нагаты

Пусть K ₀ — совершенное поле характеристики 2, такое как F ₂ . Пусть K — это K ₀ ({ u _n , v _n : n ≥ 0}), где u _n и v _n — неопределенные числа. Пусть T — подкольцо формального кольца степенных рядов K [[ x , y ]], порожденное K и K ² [[ x , y ]] и элементом Σ( u _n x ⁿ + v _n y ⁿ ). Нагата доказывает, что T — нормальная локальная нётерова область, пополнение которой имеет ненулевые нильпотентные элементы, поэтому T аналитически разветвлено.

Ссылки

Шевалли, Клод (1945), «Пересечения алгебраических и алгеброидных многообразий», Trans. Amer. Math. Soc. , 57 : 1– 85, doi : 10.1090/s0002-9947-1945-0012458-1 , JSTOR 1990167, MR 0012458
Хунеке, Крейг; Свонсон, Ирена (2006), Целостное замыкание идеалов, колец и модулей, Серия лекций Лондонского математического общества, том 336, Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-68860-4, MR 2266432, архивировано из оригинала 2019-11-15 , извлечено 2013-07-13
Нагата, Масаёси (1955), «Пример нормального локального кольца, которое аналитически разветвлено», Nagoya Math. J. , 9 : 111– 113, MR 0073572
Рис, Д. (1961), «Заметка об аналитически неразветвленных локальных кольцах», J. London Math. Soc. , 36 : 24–28 , MR 0126465
Шмидт, Фридрих Карл (1936), «Über die Erhaltung der Kettensätze der Idealtheorie bei beliebigen endlichen Körpererweiterungen», Mathematische Zeitschrift , 41 (1): 443–450 , doi : 10.1007/BF01180433
Зариски, Оскар (1948), «Аналитическая неприводимость нормальных многообразий», Ann. of Math. , 2, 49 : 352–361 , doi :10.2307/1969284, MR 0024158
Зариски, Оскар ; Сэмюэл, Пьер (1975) [1960], Коммутативная алгебра. Том II , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8, МР 0389876