Альфа-бета-преобразование
Математические преобразования в инжиниринге

В электротехнике альфа -бета ( ) преобразование (также известное как преобразование Кларка ) — это математическое преобразование , используемое для упрощения анализа трехфазных цепей . Концептуально оно похоже на преобразование dq0 . Одним из очень полезных применений преобразования является генерация опорного сигнала, используемого для управления пространственной векторной модуляцией трехфазных инверторов . α β γ {\displaystyle \альфа \бета \гамма } α β γ {\displaystyle \альфа \бета \гамма }

История

В 1937 и 1938 годах Эдит Кларк опубликовала статьи с модифицированными методами расчетов по неуравновешенным трехфазным задачам, которые оказались особенно полезными. [1]

Определение

Преобразование , применяемое к трехфазным токам, использованное Эдит Кларк, выглядит следующим образом [2] α β γ {\displaystyle \альфа \бета \гамма }

я α β γ ( т ) = Т я а б с ( т ) = 2 3 [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 1 2 1 2 1 2 ] [ я а ( т ) я б ( т ) я с ( т ) ] {\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma}(t)=Ti_{abc}(t)={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}}

где — общая последовательность трехфазного тока, а — соответствующая последовательность тока, заданная преобразованием . Обратное преобразование: я а б с ( т ) {\displaystyle i_{abc}(t)} я α β γ ( т ) {\displaystyle i_{\альфа \бета \гамма }(t)} Т {\displaystyle Т}

я а б с ( т ) = Т − 1 я α β γ ( т ) = [ 1 0 1 − 1 2 3 2 1 − 1 2 − 3 2 1 ] [ я α ( т ) я β ( т ) я γ ( т ) ] . {\displaystyle i_{abc}(t)=T^{-1}i_{\alpha \beta \gamma }(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.}

Вышеуказанное преобразование Кларка сохраняет амплитуду электрических переменных, к которым оно применяется. Действительно, рассмотрим трехфазную симметричную, прямую, последовательность тока

я а ( т ) = 2 я потому что ⁡ θ ( т ) , я б ( т ) = 2 я потому что ⁡ ( θ ( т ) − 2 3 π ) , я с ( т ) = 2 я потому что ⁡ ( θ ( т ) + 2 3 π ) , {\displaystyle {\begin{aligned}i_{a}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{b}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)-{\frac {2}{3}}\pi \right),\\i_{c}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)+{\frac {2}{3}}\pi \right),\end{aligned}}}

где — среднеквадратичное значение , , а — общий угол, изменяющийся во времени, который также может быть установлен без потери общности. Затем, применяя к текущей последовательности, получаем я {\displaystyle Я} я а ( т ) {\displaystyle i_{a}(t)} я б ( т ) {\displaystyle i_{b}(t)} я с ( т ) {\displaystyle i_{c}(t)} θ ( т ) {\displaystyle \тета (т)} ω т {\displaystyle \омега т} Т {\displaystyle Т}

я α = 2 я потому что ⁡ θ ( т ) , я β = 2 я грех ⁡ θ ( т ) , я γ = 0 , {\displaystyle {\begin{align}i_{\alpha}=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta}=&{\sqrt {2}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma}=&0,\end{align}}}

где последнее уравнение справедливо, поскольку мы рассмотрели сбалансированные токи. Как показано выше, амплитуды токов в системе отсчета такие же, как и в естественной системе отсчета. α β γ {\displaystyle \альфа \бета \гамма }

Преобразование инвариантной мощности

Активная и реактивная мощности, вычисленные в области Кларка с помощью преобразования, показанного выше, не совпадают с вычисленными в стандартной системе отсчета. Это происходит, потому что не является унитарным . Чтобы сохранить активную и реактивную мощности, вместо этого следует рассмотреть Т {\displaystyle Т}

я α β γ ( т ) = Т я а б с ( т ) = 2 3 [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 1 2 1 2 1 2 ] [ я а ( т ) я б ( т ) я с ( т ) ] , {\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}},}

которая является унитарной матрицей, а обратная матрица совпадает с ее транспонированной. [3] В этом случае амплитуды преобразованных токов не совпадают с амплитудами в стандартной системе отсчета, то есть

i α = 3 I cos ⁡ θ ( t ) , i β = 3 I sin ⁡ θ ( t ) , i γ = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {3}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {3}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0.\end{aligned}}}

Наконец, обратное преобразование в этом случае имеет вид

i a b c ( t ) = 2 3 [ 1 0 1 2 − 1 2 3 2 1 2 − 1 2 − 3 2 1 2 ] [ i α ( t ) i β ( t ) i γ ( t ) ] . {\displaystyle i_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.}

Упрощенная трансформация

Так как в сбалансированной системе и, следовательно, можно также рассмотреть упрощенное преобразование [4] [5] i a ( t ) + i b ( t ) + i c ( t ) = 0 {\displaystyle i_{a}(t)+i_{b}(t)+i_{c}(t)=0} i γ ( t ) = 0 {\displaystyle i_{\gamma }(t)=0}

i α β ( t ) = 2 3 [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] [ i a ( t ) i b ( t ) i c ( t ) ] = [ 1 0 1 3 2 3 ] [ i a ( t ) i b ( t ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha \beta }(t)&={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\frac {2}{\sqrt {3}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\end{bmatrix}}\end{aligned}}}

что является просто исходным преобразованием Кларка с исключенным третьим уравнением, и

i a b c ( t ) = 3 2 [ 2 3 0 − 1 3 3 3 − 1 3 − 3 3 ] [ i α ( t ) i β ( t ) ] {\displaystyle i_{abc}(t)={\frac {3}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&0\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {\sqrt {3}}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\end{bmatrix}}}

что является соответствующим обратным преобразованием.

Геометрическая интерпретация

Преобразование можно рассматривать как проекцию трехфазных величин (напряжений или токов) на две неподвижные оси, ось альфа и ось бета. Однако информация не теряется, если система сбалансирована, так как уравнение эквивалентно уравнению для в преобразовании. Если система не сбалансирована, то член будет содержать компонент ошибки проекции. Таким образом, a, равный нулю, указывает на то, что система сбалансирована (и, таким образом, существует полностью в пространстве координат альфа-бета), и может игнорироваться для двухкоординатных вычислений, которые работают при этом предположении, что система сбалансирована. В этом заключается элегантность преобразования Кларка, поскольку оно сводит трехкомпонентную систему к двухкомпонентной благодаря этому предположению. α β γ {\displaystyle \alpha \beta \gamma } I a + I b + I c = 0 {\displaystyle I_{a}+I_{b}+I_{c}=0} I γ {\displaystyle I_{\gamma }} I γ {\displaystyle I_{\gamma }} I γ {\displaystyle I_{\gamma }}

Другой способ понять это заключается в том, что уравнение определяет плоскость в евклидовом трехкоординатном пространстве. Координатное пространство альфа-бета можно понимать как двухкоординатное пространство, определяемое этой плоскостью, т. е. оси альфа-бета лежат на плоскости, определяемой . I a + I b + I c = 0 {\displaystyle I_{a}+I_{b}+I_{c}=0} I a + I b + I c = 0 {\displaystyle I_{a}+I_{b}+I_{c}=0}

Это также означает, что для использования преобразования Кларка необходимо обеспечить сбалансированность системы, в противном случае последующие двухкоординатные вычисления будут ошибочными. Это практическое соображение в приложениях, где измеряются трехфазные величины и, возможно, могут иметь погрешность измерения.

Выше показано преобразование, примененное к трем симметричным токам, текущим через три обмотки, разделенные 120 физическими градусами. Три фазных тока отстают от соответствующих фазных напряжений на . Ось - показана с осью, совмещенной с фазой «A». Вектор тока вращается с угловой скоростью . Компонент отсутствует, поскольку токи сбалансированы. α β γ {\displaystyle \alpha \beta \gamma } δ {\displaystyle \delta } α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } α {\displaystyle \alpha } I α β γ {\displaystyle I_{\alpha \beta \gamma }} ω {\displaystyle \omega } γ {\displaystyle \gamma }

дк0 преобразование

Преобразование концептуально похоже на преобразование. В то время как преобразование является проекцией фазовых величин на вращающуюся двухосную систему отсчета, преобразование можно рассматривать как проекцию фазовых величин на неподвижную двухосную систему отсчета. d q 0 {\displaystyle dq0} α β γ {\displaystyle \alpha \beta \gamma } d q 0 {\displaystyle dq0} α β γ {\displaystyle \alpha \beta \gamma }

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ O'Rourke, Colm J. (декабрь 2019 г.). «Геометрическая интерпретация систем отсчета и преобразований: dq0, Clarke и Park». IEEE Transactions on Energy Conversion . 34, 4 (4): 2070– 2083. Bibcode : 2019ITEnC..34.2070O. doi : 10.1109/TEC.2019.2941175. hdl : 1721.1/123557 . S2CID  203113468 – через MIT Open Access Articles.
  2. ^ WC Duesterhoeft; Max W. Schulz; Edith Clarke (июль 1951 г.). «Определение мгновенных токов и напряжений с помощью альфа-, бета- и нулевых компонентов». Труды Американского института инженеров-электриков . 70 (2): 1248– 1255. doi :10.1109/T-AIEE.1951.5060554. ISSN  0096-3860. S2CID  51636360.
  3. ^ S. CHATTOPADHYAY; M. MITRA; S. SENGUPTA (2008). «Площадный подход к оценке качества трехфазной электроэнергии в плоскости Кларка». Журнал электрических систем . 04 (1): 62. Получено 26.11.2020 .
  4. ^ Ф. Тахри, А. Тахри, Эйд А. Аль-Радади и А. Драу Сеньор, «Анализ и управление усовершенствованным статическим компенсатором реактивной мощности на основе теории мгновенной реактивной мощности», представлено на ACEMP, Бодрум, Турция, 2007.
  5. ^ «Преобразование Кларка». www.mathworks.com .
Общие ссылки
  • CJ O'Rourke и др. «Геометрическая интерпретация систем отсчета и преобразований: dq0, Кларк и Парк», в IEEE Transactions on Energy Conversion, т. 34, № 4, стр. 2070-2083, декабрь 2019 г.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Alpha–beta_transformation&oldid=1219721875"