Алгебра и мозаика
Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry — учебник по математике, посвящённый использованию теории групп для ответа на вопросы о мозаиках и сотах более высокой размерности , разбиениях евклидовой плоскости или пространств более высокой размерности на конгруэнтные плитки. Он был написан Шерманом К. Стайном и Шандором Сабо и опубликован Математической ассоциацией Америки в качестве 25-го тома их серии Carus Mathematical Monographs в 1994 году. [1] [2] Он выиграл премию Беккенбаха 1998 года , [3] и был переиздан в мягкой обложке в 2008 году. [4]
Темы
Семь глав книги в значительной степени самостоятельны и рассматривают различные проблемы, сочетающие тесселяции и алгебру. [1] На протяжении всей книги обсуждается история предмета, а также современное состояние дел, и есть много иллюстраций. [4]
Первая глава посвящена гипотезе Германа Минковского о том, что в любой решетчатой мозаике евклидова пространства единичными гиперкубами (мозаике, в которой решетка трансляционных симметрий переводит любой гиперкуб в любой другой гиперкуб) некоторые два куба должны встретиться лицом к лицу. Этот результат был решен положительно теоремой Хайоша в теории групп [1] , но обобщение этого вопроса на нерешетчатые мозаики ( гипотеза Келлера ) было опровергнуто незадолго до публикации книги, отчасти с помощью использования похожих методов теории групп.
После этого три главы посвящены решетчатым мозаикам поликубами . Вопрос здесь заключается в том, чтобы определить, исходя из формы поликуба, все ли кубы в мозаике встречаются лицом к лицу или, что эквивалентно, должна ли решетка симметрий быть подгруппой целочисленной решетки . После главы об общей версии этой проблемы две главы рассматривают специальные классы поликубов в форме креста и «полукросса» [1] , как в отношении мозаики, так и затем, когда эти формы не мозаикой, в отношении того, насколько плотно они могут быть упакованы. В трех измерениях это печально известная задача упаковки трипода .
В пятой главе рассматривается теорема Монски о невозможности разбиения квадрата на нечетное число равновеликих треугольников и ее доказательство с использованием 2-адической оценки , а в шестой главе теория Галуа применяется к более общим проблемам разбиения многоугольников на равные треугольники, таким как невозможность разбиения квадрата на 30-60-90 прямоугольных треугольников . [1]
Последняя глава возвращается к теме первой, с материалом по обобщению Ласло Редеи теоремы Хайоша. Приложения охватывают справочный материал по теории решеток, точным последовательностям , свободным абелевым группам и теории циклотомических многочленов . [4]
Аудитория и прием
«Алгебра и мозаика» могут читать студенты бакалавриата и магистратуры по математике, имеющие определенный опыт в абстрактной алгебре, и она предоставляет источник приложений для этой темы. Ее можно использовать как учебник, с упражнениями, разбросанными по всем главам. [2]
Рецензент Уильям Дж. Уолтон пишет, что «студент или математик, чья область интересов — алгебра, должен насладиться этим текстом». [2] В 1998 году Математическая ассоциация Америки присудила ему свою премию Бекенбаха как одному из лучших своих книжных изданий. В наградном листе он назван «одновременно эрудированным и привлекательным изложением этой существенной и вневременной области математики». [3]
Ссылки
- ^ abcde Кеньон, Ричард (1995), «Обзор алгебры и мозаики », Mathematical Reviews , MR 1311249, перепечатано как Zbl 0930.52003
- ^ abc Уолтон, Уильям Л. (декабрь 1995 г.), «Обзор алгебры и мозаики », Учитель математики , 88 (9): 778, JSTOR 27969590
- ^ ab "Beckenbach Book Prize" (PDF) , Премии MAA, представленные в Балтиморе, Notices of the American Mathematical Society , 45 (5): 615, май 1998 г.
- ^ abc Майнарди, Фабио (май 2008 г.), «Обзор алгебры и мозаики», MAA Reviews , Математическая ассоциация Америки
Дальнейшее чтение
- Пост, К.А. (1998), «Обзор алгебры и мозаики », Mededelingen van het Wiskundig Genootschap , 41 : 255–256 .
