резолюция Адамса

В математике , в частности алгебраической топологии , существует разрешение , аналогичное свободным разрешениям спектров , дающее инструмент для построения спектральной последовательности Адамса . По сути, идея состоит в том, чтобы взять связный спектр конечного типа и итеративно разрешить с другими спектрами, которые находятся в гомотопическом ядре отображения, разрешающего классы когомологий в использовании спектров Эйленберга–Маклейна . Х {\displaystyle X} ЧАС ∗ ( Х ; З / п ) {\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} /p)}

Эту конструкцию можно обобщить с помощью спектра , например, спектра Брауна–Петерсона или спектра комплексного кобордизма , и использовать при построении спектральной последовательности Адамса–Новикова [1] стр. 49 . Э {\displaystyle E} Б П {\displaystyle АД} М У {\displaystyle MU}

Строительство

Разрешение по моде Адамса для спектра — это определенный «цепной комплекс» спектров, индуцированный рекурсивным просмотром слоев отображений в обобщенные спектры Эйленберга–Маклена, дающие генераторы для когомологий разрешенных спектров [1] стр . 43. При этом мы начинаем с рассмотрения отображения п {\displaystyle p} ( Х с , г с ) {\displaystyle (X_{s},g_{s})} Х {\displaystyle X}

Х ↓ К {\displaystyle {\begin{matrix}X\\\downarrow \\K\end{matrix}}}

где — спектр Эйленберга–Маклена, представляющий генераторы , поэтому он имеет вид К {\displaystyle К} ЧАС ∗ ( Х ) {\displaystyle H^{*}(X)}

К = ⋀ к = 1 ∞ ⋀ я к Σ к ЧАС З / п {\displaystyle K=\bigwedge _{k=1}^{\infty }\bigwedge _{I_{k}}\Sigma ^{k}H\mathbb {Z} /p}

где индексы базиса , а отображение происходит из свойств спектров Эйленберга–Маклена . Затем мы можем взять гомотопический слой этого отображения (который действует как гомотопическое ядро), чтобы получить пространство . Обратите внимание, теперь мы устанавливаем и . Затем мы можем сформировать коммутативную диаграмму я к {\displaystyle I_{k}} ЧАС к ( Х ) {\displaystyle H^{k}(X)} Х 1 {\displaystyle X_{1}} Х 0 = Х {\displaystyle X_{0}=X} К 0 = К {\displaystyle K_{0}=K}

Х 0 ← Х 1 ↓ К 0 {\displaystyle {\begin{matrix}X_{0}&\leftarrow &X_{1}\\\downarrow &&\\K_{0}\end{matrix}}}

где горизонтальная карта — это карта волокон. Рекурсивная итерация по этой конструкции дает коммутативную диаграмму

Х 0 ← Х 1 ← Х 2 ← ⋯ ↓ ↓ ↓ К 0 К 1 К 2 {\displaystyle {\begin{matrix}X_{0}&\leftarrow &X_{1}&\leftarrow &X_{2}&\leftarrow \cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\K_{0}&&K_{1}&&K_{2}\end{matrix}}}

давая коллекцию . Это означает ( Х с , г с ) {\displaystyle (X_{s},g_{s})}

Х с = Хофибер ( ф с − 1 : Х с − 1 → К с − 1 ) {\displaystyle X_{s}={\text{Хофибер}}(f_{s-1}:X_{s-1}\to K_{s-1})}

является гомотопическим волокном и исходит из универсальных свойств гомотопического волокна. ф с − 1 {\displaystyle f_{s-1}} г с : Х с → Х с − 1 {\displaystyle g_{s}:X_{s}\to X_{s-1}}

Разрешение когомологий спектра

Теперь мы можем использовать резолюцию Адамса для построения свободной -резолюции когомологий спектра . Из резолюции Адамса существуют короткие точные последовательности А п {\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}} ЧАС ∗ ( Х ) {\displaystyle H^{*}(X)} Х {\displaystyle X}

0 ← ЧАС ∗ ( Х с ) ← ЧАС ∗ ( К с ) ← ЧАС ∗ ( Σ Х с + 1 ) ← 0 {\displaystyle 0\leftarrow H^{*}(X_{s})\leftarrow H^{*}(K_{s})\leftarrow H^{*}(\Sigma X_{s+1})\leftarrow 0}

которые можно соединить вместе, чтобы сформировать длинную точную последовательность

0 ← ЧАС ∗ ( Х ) ← ЧАС ∗ ( К 0 ) ← ЧАС ∗ ( Σ К 1 ) ← ЧАС ∗ ( Σ 2 К 2 ) ← ⋯ {\displaystyle 0\leftarrow H^{*}(X)\leftarrow H^{*}(K_{0})\leftarrow H^{*}(\Sigma K_{1})\leftarrow H^{*}(\Sigma ^{2}K_{2})\leftarrow \cdots }

дающий свободное разрешение как -модуль. ЧАС ∗ ( Х ) {\displaystyle H^{*}(X)} А п {\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}

Э*-Резолюция Адамса

Поскольку существуют технические трудности с изучением кольца когомологий в целом [2] стр. 280 , мы ограничиваемся случаем рассмотрения коалгебры гомологий (коопераций). Заметим, что для случая , является дуальной алгеброй Стинрода . Поскольку является -комодулем, мы можем образовать биградуированную группу Э ∗ ( Э ) {\displaystyle E^{*}(E)} Э ∗ ( Э ) {\displaystyle E_{*}(E)} Э = ЧАС Ф п {\displaystyle E=H\mathbb {F} _{p}} ЧАС Ф п ∗ ( ЧАС Ф п ) = А ∗ {\displaystyle H\mathbb {F} _{p*}(H\mathbb {F} _{p})={\mathcal {A}}_{*}} Э ∗ ( Х ) {\displaystyle E_{*}(X)} Э ∗ ( Э ) {\displaystyle E_{*}(E)}

Доп. Э ∗ ( Э ) ( Э ∗ ( С ) , Э ∗ ( Х ) ) {\displaystyle {\text{Ext}}_{E_{*}(E)}(E_{*}(\mathbb {S} ),E_{*}(X))}

которая содержит -страницу спектральной последовательности Адамса–Новикова для удовлетворения списка технических условий [1] стр. 50 . Чтобы получить эту страницу, мы должны построить -разрешение Адамса [1] стр. 49 , которое в некоторой степени аналогично когомологическому разрешению выше. Мы говорим, что диаграмма вида Э 2 {\displaystyle E_{2}} Х {\displaystyle X} Э ∗ {\displaystyle E_{*}}

Х 0 ← г 0 Х 1 ← г 1 Х 2 ← ⋯ ↓ ↓ ↓ К 0 К 1 К 2 {\displaystyle {\begin{matrix}X_{0}&\xleftarrow {g_{0}} &X_{1}&\xleftarrow {g_{1}} &X_{2}&\leftarrow \cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\K_{0}&&K_{1}&&K_{2}\end{matrix}}}

где вертикальные стрелки - это резолюция Адамса, если ф с : Х с → К с {\displaystyle f_{s}:X_{s}\to K_{s}} Э ∗ {\displaystyle E_{*}}

  1. Х с + 1 = Хофибер ( ф с ) {\displaystyle X_{s+1}={\text{Хофибер}}(f_{s})} является гомотопическим волокном ф с {\displaystyle f_{s}}
  2. Э ∧ Х с {\displaystyle E\wedge X_{s}} является ретрактом , следовательно, является мономорфизмом. Под ретрактом мы подразумеваем, что существует отображение, такое что Э ∧ К с {\displaystyle E\wedge K_{s}} Э ∗ ( ф с ) {\displaystyle E_{*}(f_{s})} час с : Э ∧ К с → Э ∧ Х с {\displaystyle h_{s}:E\wedge K_{s}\to E\wedge X_{s}} час с ( Э ∧ ф с ) = я г Э ∧ Х с {\displaystyle h_{s}(E\wedge f_{s})=id_{E\wedge X_{s}}}
  3. K s {\displaystyle K_{s}} является отводом E ∧ K s {\displaystyle E\wedge K_{s}}
  4. Ext t , u ( E ∗ ( S ) , E ∗ ( K s ) ) = π u ( K s ) {\displaystyle {\text{Ext}}^{t,u}(E_{*}(\mathbb {S} ),E_{*}(K_{s}))=\pi _{u}(K_{s})} если , в противном случае это t = 0 {\displaystyle t=0} 0 {\displaystyle 0}

Хотя это кажется длинным списком свойств, они очень важны в построении спектральной последовательности. Кроме того, свойства ретракта влияют на структуру построения разрешения -Адамса, поскольку нам больше не нужно брать клиновидную сумму спектров для каждого генератора . E ∗ {\displaystyle E_{*}}

Конструкция для кольцевых спектров

Конструкция -Адамсовой резолюции довольно проста в формулировке по сравнению с предыдущей резолюцией для любого ассоциативного, коммутативного, связного кольцевого спектра, удовлетворяющего некоторым дополнительным гипотезам. Они включают в себя плоскость над , изоморфизм и конечное порождение, для которого единственное кольцевое отображение E ∗ {\displaystyle E_{*}} E {\displaystyle E} E ∗ ( E ) {\displaystyle E_{*}(E)} π ∗ ( E ) {\displaystyle \pi _{*}(E)} μ ∗ {\displaystyle \mu _{*}} π 0 {\displaystyle \pi _{0}} H r ( E ; A ) {\displaystyle H_{r}(E;A)} Z ⊂ A ⊂ Q {\displaystyle \mathbb {Z} \subset A\subset \mathbb {Q} }

θ : Z → π 0 ( E ) {\displaystyle \theta :\mathbb {Z} \to \pi _{0}(E)}

максимально расширяется. Если мы установим

K s = E ∧ F s {\displaystyle K_{s}=E\wedge F_{s}}

и пусть

f s : X s → K s {\displaystyle f_{s}:X_{s}\to K_{s}}

быть канонической картой, мы можем установить

X s + 1 = Hofiber ( f s ) {\displaystyle X_{s+1}={\text{Hofiber}}(f_{s})}

Обратите внимание, что является ретрактом из его структуры кольцевого спектра, следовательно, является ретрактом , и аналогично, является ретрактом . Кроме того E {\displaystyle E} E ∧ E {\displaystyle E\wedge E} E ∧ X s {\displaystyle E\wedge X_{s}} E ∧ K s = E ∧ E ∧ X s {\displaystyle E\wedge K_{s}=E\wedge E\wedge X_{s}} K s {\displaystyle K_{s}} E ∧ K s {\displaystyle E\wedge K_{s}}

E ∗ ( K s ) = E ∗ ( E ) ⊗ π ∗ ( E ) E ∗ ( X s ) {\displaystyle E_{*}(K_{s})=E_{*}(E)\otimes _{\pi _{*}(E)}E_{*}(X_{s})}

что дает желаемые условия из плоскости. Ext {\displaystyle {\text{Ext}}}

Отношение к комплексу кобар

Оказывается, что -член соответствующей спектральной последовательности Адамса–Новикова тогда равен комплексу кобара . E 1 {\displaystyle E_{1}} C ∗ ( E ∗ ( X ) ) {\displaystyle C^{*}(E_{*}(X))}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abcd Равенель, Дуглас К. (1986). Комплексные кобордизмы и стабильные гомотопические группы сфер. Орландо: Academic Press. ISBN 978-0-08-087440-1. OCLC  316566772.
  2. ^ Адамс, Дж. Франк (Джон Франк) (1974). Стабильная гомотопия и обобщенная гомология. Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-00523-2. OCLC  1083550.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Adams_resolution&oldid=1137736839"