Комплексное умножение абелевых многообразий

В математике говорят , что абелево многообразие A, определенное над полем K, имеет CM-тип , если оно имеет достаточно большое коммутативное подкольцо в своем кольце эндоморфизмов End( A ). Терминология здесь взята из теории комплексного умножения , которая была разработана для эллиптических кривых в девятнадцатом веке. Одним из главных достижений в алгебраической теории чисел и алгебраической геометрии двадцатого века было нахождение правильных формулировок соответствующей теории для абелевых многообразий размерности d > 1. Проблема находится на более глубоком уровне абстракции, поскольку гораздо сложнее манипулировать аналитическими функциями нескольких комплексных переменных .

Формальное определение таково:

${\displaystyle \operatorname {Конец} _{\mathbb {Q} }(A)}$

тензорное произведение End( A ) с полем рациональных чисел Q должно содержать коммутативное подкольцо размерности 2 d над Q . Когда d = 1 это может быть только квадратичное поле , и можно восстановить случаи, когда End( A ) является порядком в мнимом квадратичном поле . Для d > 1 имеются сопоставимые случаи для CM-полей , комплексных квадратичных расширений полностью вещественных полей . Существуют и другие случаи, которые отражают, что A может не быть простым абелевым многообразием (например, это может быть декартово произведение эллиптических кривых). Другое название для абелевых многообразий CM-типа — абелевы многообразия с достаточным количеством комплексных умножений .

Известно, что если K — комплексные числа , то любое такое A имеет поле определения , которое на самом деле является числовым полем ^[1] . Возможные типы колец эндоморфизмов были классифицированы как кольца с инволюцией ( инволюция Розати ), что привело к классификации абелевых многообразий типа CM. Чтобы построить такие многообразия в том же стиле, что и для эллиптических кривых, начиная с решетки Λ в C ^d , нужно учитывать соотношения Римана теории абелевых многообразий.

Тип CM является описанием действия (максимального) коммутативного подкольца L кольца End _Q ( A ) на голоморфном касательном пространстве кольца A в единичном элементе . Спектральная теория простого вида применяется для того, чтобы показать, что L действует через базис собственных векторов ; другими словами, L имеет действие, которое осуществляется через диагональные матрицы на голоморфных векторных полях на A . В простом случае, когда L само по себе является числовым полем, а не произведением некоторого числа полей, тип CM является списком комплексных вложений L . Существует 2 d таких вложений, встречающихся в комплексно сопряженных парах; тип CM является выбором одного из каждой пары. Известно, что все такие возможные типы CM могут быть реализованы .

Основные результаты Горо Шимуры и Ютаки Таниямы вычисляют L-функцию Хассе–Вейля для A в терминах типа CM и L-функции Гекке с характером Гекке , имеющим тип бесконечности , полученный из него. Они обобщают результаты Макса Дойринга для случая эллиптической кривой.

• Ланг, Серж (1983), Комплексное умножение , Springer Verlag, ISBN 0-387-90786-6