Модель АКЛТ
Модель в топологической квантовой механике

В физике конденсированного состояния модель AKLT , также известная как модель Аффлека-Кеннеди-Либа-Тасаки, является расширением одномерной квантовой спиновой модели Гейзенберга . Предложение и точное решение этой модели Яном Аффлеком , Эллиоттом Х. Либом , Томом Кеннеди и Хэлом Тасаки  [ja] [1] предоставили решающее понимание физики цепи Гейзенберга со спином 1. [2] [3] [4] [5] Она также послужила полезным примером для таких концепций, как валентные связи в твердом упорядочении, топологический порядок с защитой симметрии [6] [7] [8] [9] и волновые функции состояния матричного произведения.

Фон

Главной мотивацией для модели AKLT была цепочка Маджумдара–Гоша . Поскольку два из каждого набора из трех соседних спинов в основном состоянии Маджумдара–Гоша спарены в синглет или валентную связь, три спина вместе никогда не могут оказаться в состоянии спина 3/2. Фактически, гамильтониан Маджумдара–Гоша есть не что иное, как сумма всех проекторов трех соседних спинов на состояние 3/2.

Основная идея статьи AKLT заключалась в том, что эта конструкция может быть обобщена для получения точно решаемых моделей для спинов, отличных от 1/2. Так же, как один конец валентной связи имеет спин 1/2, концы двух валентных связей могут быть объединены в спин 1, три — в спин 3/2 и т. д.

Определение

Аффлек и др. интересовались построением одномерного состояния с валентной связью между каждой парой сайтов. Поскольку это приводит к двум спинам 1/2 для каждого сайта, результатом должна быть волновая функция системы со спином 1.

Для каждой смежной пары спинов 1 два из четырех составляющих спинов 1/2 застревают в общем состоянии спина ноль. Поэтому каждой паре спинов 1 запрещено находиться в комбинированном состоянии спина 2. Записав это условие как сумму проекторов, которые благоприятствуют состоянию спина 2 пар спинов 1, AKLT пришел к следующему гамильтониану

ЧАС ^ = ∑ ⟨ я дж ⟩ П ⟨ я дж ⟩ ( 2 ) ∼ ∑ дж С → дж ⋅ С → дж + 1 + 1 3 ( С → дж ⋅ С → дж + 1 ) 2 {\displaystyle {\hat {H}}=\sum _ {\langle ij\rangle }{\textit {P}} _ {\langle ij\rangle }^{(2)}\sim \sum _{j} {\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1}+{\frac {1}{3}}({\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1})^{2}}

с точностью до константы, где — операторы спина 1, и локальный 2-точечный проектор, который благоприятствует состоянию спина 2 соседней пары спинов. С я → {\textstyle {\vec {S_{i}}}} П ⟨ я дж ⟩ ( 2 ) {\textstyle {\textit {P}} _ {\langle ij\rangle }^{(2)}}

Этот гамильтониан похож на спин 1, одномерную квантовую спиновую модель Гейзенберга, но имеет дополнительный «биквадратичный» член спинового взаимодействия.

Основное состояние

По построению, основное состояние гамильтониана AKLT — это валентная связь с одной валентной связью, соединяющей каждую соседнюю пару узлов. Графически это можно представить как

Здесь сплошные точки представляют спины 1/2, которые помещаются в синглетные состояния. Линии, соединяющие спины 1/2, являются валентными связями, указывающими на структуру синглетов. Овалы являются проекционными операторами, которые «связывают» вместе два спина 1/2 в один спин 1, проецируя спин 0 или синглетное подпространство и сохраняя только спин 1 или триплетное подпространство. Символы «+», «0» и «−» обозначают стандартные базисные состояния спина 1 (собственные состояния оператора ). [10] С з {\displaystyle S^{z}}

Краевые состояния со спином 1/2

Для случая спинов, расположенных в кольце (периодические граничные условия), конструкция AKLT дает уникальное основное состояние. Но для случая открытой цепи первый и последний спин 1 имеют только одного соседа, оставляя один из их составляющих спинов 1/2s неспаренным. В результате концы цепи ведут себя как свободные моменты спина 1/2, хотя система состоит только из спинов 1s.

Краевые состояния спина 1/2 цепочки AKLT можно наблюдать несколькими различными способами. Для коротких цепочек краевые состояния смешиваются в синглет или триплет, давая либо уникальное основное состояние, либо трехкратный мультиплет основных состояний. Для более длинных цепочек краевые состояния экспоненциально быстро расцепляются как функция длины цепочки, что приводит к многообразию основных состояний, которое является четырехкратно вырожденным. [11] Используя численный метод, такой как DMRG, для измерения локальной намагниченности вдоль цепочки, также можно напрямую увидеть краевые состояния и показать, что их можно удалить, поместив фактические спины 1/2 на концах. [12] Оказалось даже возможным обнаружить краевые состояния спина 1/2 в измерениях квазиодномерного магнитного соединения, содержащего небольшое количество примесей, роль которых заключается в разбиении цепочек на конечные сегменты. [13] В 2021 году была обнаружена прямая спектроскопическая сигнатура краевых состояний со спином 1/2 в изолированных квантовых спиновых цепочках, построенных из триангулена , полициклического ароматического углеводорода со спином 1. [14]

Представление состояния продукта матрицы

Простота основного состояния AKLT позволяет представить его в компактной форме как состояние матричного произведения . Это волновая функция вида

| Ψ ⟩ = ∑ { с } Тр ⁡ [ А с 1 А с 2 … А с Н ] | с 1 с 2 … с Н ⟩ . {\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\operatorname {Tr} [A^{s_{1}}A^{s_{2}}\ldots A^{s_{N}}]|s_{1}s_{2}\ldots s_{N}\rangle .}

Здесь A — это набор из трех матриц, помеченных как , а след получается в результате предположения периодических граничных условий. с дж {\displaystyle s_{j}}

Волновая функция основного состояния AKLT соответствует выбору: [10]

А + = + 2 3   σ + {\displaystyle A^{+}=+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\ \sigma ^{+}}
А 0 = − 1 3   σ з {\displaystyle A^{0}=-{\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\ \sigma ^{z}}
А − = − 2 3   σ − {\displaystyle A^{-}=-{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\ \sigma ^{-}}

где — матрица Паули . σ {\displaystyle \сигма}

Обобщения и расширения

Модель AKLT была решена на решетках более высокой размерности, [1] [15] даже в квазикристаллах . [ требуется ссылка ] Модель также была построена для высших алгебр Ли, включая SU( n ) , [16] [17] SO( n ) , [18] Sp(n) [19] и расширена до квантовых групп SUq( n ). [20]

Ссылки

  1. ^ ab Аффлек, Ян; Кеннеди, Том; Либ, Эллиотт Х.; Тасаки, Хэл (1987). «Строгие результаты по основным состояниям валентных связей в антиферромагнетиках». Physical Review Letters . 59 (7): 799– 802. Bibcode :1987PhRvL..59..799A. doi :10.1103/PhysRevLett.59.799. PMID  10035874.
  2. ^ Холдейн, ФДМ (1983). "Нелинейная полевая теория антиферромагнетиков Гейзенберга с большим спином: полуклассически квантованные солитоны одномерного состояния Нееля с легкой осью". Phys. Rev. Lett . 50 (15): 1153. Bibcode :1983PhRvL..50.1153H. doi : 10.1103/physrevlett.50.1153 .
  3. ^ Холдейн, ФДМ (1983). "Континуальная динамика одномерного антиферромагнетика Гейзенберга: идентификация с нелинейной сигма-моделью O(3)". Phys. Lett. A. 93 ( 9): 464. Bibcode :1983PhLA...93..464H. doi :10.1016/0375-9601(83)90631-x.
  4. ^ Аффлек, И.; Холдейн, ФДМ (1987). «Критическая теория квантовых спиновых цепей». Phys. Rev. B. 36 ( 10): 5291– 5300. Bibcode : 1987PhRvB..36.5291A. doi : 10.1103/physrevb.36.5291. PMID  9942166.
  5. ^ Аффлек, И. (1989). «Квантовые спиновые цепи и щель Холдейна». J. Phys.: Condens. Matter . 1 (19): 3047. Bibcode : 1989JPCM....1.3047A. doi : 10.1088/0953-8984/1/19/001. S2CID  250850599.
  6. ^ Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь, Сяо-Ган (2009). «Подход к перенормировке с использованием тензорной запутанности и фильтрации и топологический порядок с защитой симметрии». Phys. Rev. B. 80 ( 15): 155131. arXiv : 0903.1069 . Bibcode : 2009PhRvB..80o5131G. doi : 10.1103/physrevb.80.155131. S2CID  15114579.
  7. ^ Pollmann, F.; Berg, E.; Turner, Ari M.; Oshikawa, Masaki (2012). "Защита симметрии топологических фаз в одномерных квантовых спиновых системах" (PDF) . Phys. Rev. B . 85 (7): 075125. arXiv : 0909.4059 . Bibcode :2012PhRvB..85g5125P. doi :10.1103/PhysRevB.85.075125. S2CID  53135907.
  8. ^ Чэнь, Се; Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь, Сяо-Ган (2011). «Классификация симметричных фаз с щелью в одномерных спиновых системах». Phys. Rev. B. 83 ( 3): 035107. arXiv : 1008.3745 . Bibcode : 2011PhRvB..83c5107C. doi : 10.1103/physrevb.83.035107. S2CID  9139955.
  9. ^ Чэнь, Се; Лю, Чжэн-Синь; Вэнь, Сяо-Ган (2011). "2D-симметрически-защищенные топологические порядки и их защищенные бесщелевые краевые возбуждения". Phys. Rev. B. 84 ( 23): 235141. arXiv : 1106.4752 . Bibcode : 2011PhRvB..84w5141C. doi : 10.1103/physrevb.84.235141. S2CID  55330505.
  10. ^ ab Schollwöck, Ulrich (2011). «Группа перенормировки матрицы плотности в эпоху состояний матричного произведения». Annals of Physics . 326 (1): 96– 192. arXiv : 1008.3477 . Bibcode : 2011AnPhy.326...96S. doi : 10.1016/j.aop.2010.09.012. S2CID  118735367.
  11. ^ Кеннеди, Том (1990). «Точные диагонализации открытых цепей со спином 1». J. Phys. Condens. Matter . 2 (26): 5737– 5745. Bibcode : 1990JPCM....2.5737K. doi : 10.1088/0953-8984/2/26/010. S2CID  250748917.
  12. ^ Уайт, Стивен; Хьюз, Дэвид (1993). «Численное ренормгрупповое исследование низколежащих собственных состояний антиферромагнитной S=1 цепи Гейзенберга». Phys. Rev. B. 48 ( 6): 3844– 3852. Bibcode :1993PhRvB..48.3844W. doi :10.1103/PhysRevB.48.3844. PMID  10008834.
  13. ^ Хагивара, М.; Кацумата, К.; Аффлек, Ян; Гальперин, Б.И.; Ренард, Дж.П. (1990). «Наблюдение степеней свободы S=1/2 в линейно-цепочечном антиферромагнетике Гейзенберга S=1». Phys. Rev. Lett . 65 (25): 3181– 3184. Bibcode :1990PhRvL..65.3181H. doi :10.1103/PhysRevLett.65.3181. PMID  10042802.
  14. ^ Мишра, Шантану; Катарина, Гонсалу; Ву, Фупенг; Ортис, Рикардо; Джейкоб, Дэвид; Эймре, Кристьян; Ма, Джи; Пиньедоли, Карло А.; Фэн, Синьлян; Руффье, Паскаль; Фернандес-Россье, Хоакин; Фазель, Роман (13 октября 2021 г.). «Наблюдение дробных краевых возбуждений в спиновых цепочках нанографена». Природа . 598 (7880): 287–292 . arXiv : 2105.09102 . Бибкод : 2021Natur.598..287M. дои : 10.1038/s41586-021-03842-3. PMID  34645998. S2CID  234777902.
  15. ^ Wei, T.-C.; Affleck, I.; Raussendorf, R. (2012). «Состояние Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki на сотовой решетке — универсальный квантовый вычислительный ресурс». Phys. Rev. Lett . 106 (7): 070501. arXiv : 1009.2840 . Bibcode : 2011PhRvL.106g0501W. doi : 10.1103/PhysRevLett.106.070501. PMID  21405505. S2CID  15546839.
  16. ^ Грейтер, Мартин; Рэйчел, Стефан; Шурихт, Дирк (2007). "Точные результаты для спиновых цепей SU(3): состояния тримеров, твердые тела с валентными связями и их родительские гамильтонианы". Phys. Rev. B . 75 (6): 060401(R). arXiv : cond-mat/0701354 . Bibcode :2007PhRvB..75f0401G. doi :10.1103/PhysRevB.75.060401. S2CID  119373252.
  17. ^ Грейтер, Мартин; Рэйчел, Стефан (2007). "Твердые тела с валентными связями для спиновых цепей SU(n): точные модели, ограничение спинонов и щель Холдейна". Phys. Rev. B. 75 ( 18): 184441. arXiv : cond-mat/0702443 . Bibcode : 2007PhRvB..75r4441G. doi : 10.1103/PhysRevB.75.184441. S2CID  55917580.
  18. ^ Ту, Хун-Хао; Чжан, Гуан-Мин; Сян, Тао (2008). "Класс точно разрешимых симметричных спиновых цепей SO(n) с основными состояниями матричного произведения". Phys. Rev. B . 78 (9): 094404. arXiv : 0806.1839 . Bibcode :2008PhRvB..78i4404T. doi :10.1103/PhysRevB.78.094404. S2CID  119200687.
  19. ^ Шурихт, Дирк; Рэйчел, Стефан (2008). "Твердые состояния валентных связей с симплектической симметрией". Phys. Rev. B. 78 ( 1): 014430. arXiv : 0805.3918 . Bibcode : 2008PhRvB..78a4430S. doi : 10.1103/PhysRevB.78.014430. S2CID  118429445.
  20. ^ Сантос, РА; Параан, ФНК; Корепин, ВЕ; Клюмпер, А. (2012). "Спектры запутанности q-деформированной модели Аффлека–Кеннеди–Либа–Тасаки и состояния матричного продукта". EPL . 98 (3): 37005. arXiv : 1112.0517 . Bibcode :2012EL.....9837005S. doi :10.1209/0295-5075/98/37005. ISSN  0295-5075. S2CID  119733552.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=AKLT_model&oldid=1173836371"