(a,b,0) класс распределений
Термин в теории вероятностей

В теории вероятностей членом класса распределений ( a , b , 0) является любое распределение дискретной случайной величины N , значения которой являются неотрицательными целыми числами, функция массы вероятности которых удовлетворяет рекуррентной формуле

п к п к − 1 = а + б к , к = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle {\frac {p_{k}}{p_{k-1}}}=a+{\frac {b}{k}},\qquad k=1,2,3,\dots }

для некоторых действительных чисел a и b , где . п к = П ( Н = к ) {\displaystyle p_{k}=P(N=k)}

Класс распределений (a,b,0) также известен как распределение Панджера [1] [2], семейство распределений Пуассона или Каца [ 3] [4] и может быть получен с помощью распределения Конвея–Максвелла–Пуассона .

Только распределение Пуассона , биномиальное и отрицательное биномиальное удовлетворяют полной форме этого соотношения. Это также три дискретных распределения среди шести членов естественного экспоненциального семейства с квадратичными функциями дисперсии (NEF–QVF).

Более общие распределения могут быть определены путем фиксации некоторых начальных значений p j и применения рекурсии для определения последующих значений. Это может быть полезно при подгонке распределений к эмпирическим данным. Однако некоторые другие известные распределения доступны, если рекурсия выше должна выполняться только для ограниченного диапазона значений k : [5] например, логарифмическое распределение и дискретное равномерное распределение .

Класс распределений ( a , b , 0) имеет важные приложения в актуарной науке в контексте моделей потерь. [6]

Характеристики

Сундт [7] доказал, что только биномиальное распределение , распределение Пуассона и отрицательное биномиальное распределение принадлежат к этому классу распределений, причем каждое распределение представлено различным знаком  a . Кроме того, Факлер [2] показал , что существует универсальная формула для всех трех распределений, называемая (объединенным) распределением Панджера .

Более обычные параметры этих распределений определяются как a, так и  b . Свойства этих распределений по отношению к текущему классу распределений суммированы в следующей таблице. Обратите внимание, что обозначает функцию генерации вероятности . Вт Н ( х ) {\displaystyle W_{N}(x)\,}

Распределение П [ Н = к ] {\displaystyle P[N=k]\,} а {\displaystyle а\,} б {\displaystyle б\,} п 0 {\displaystyle p_{0}\,} Вт Н ( х ) {\displaystyle W_{N}(x)\,} Э ⁡ [ Н ] {\displaystyle \operatorname {E} [N]\,} Вар ⁡ ( Н ) {\displaystyle \operatorname {Var} (N)\,}
Биномиальный ( н к ) п к ( 1 − п ) н − к {\displaystyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{nk}} − п 1 − п {\displaystyle {\frac {-p}{1-p}}} п ( н + 1 ) 1 − п {\displaystyle {\frac {p(n+1)}{1-p}}} ( 1 − п ) н {\displaystyle (1-p)^{n}\,} ( п х + ( 1 − п ) ) н {\displaystyle (px+(1-p))^{n}\,} н п {\displaystyle np\,} н п ( 1 − п ) {\displaystyle np(1-p)\,}
Пуассон е − λ λ к к ! {\displaystyle e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,} 0 {\displaystyle 0\,} λ {\displaystyle \лямбда \,} е − λ {\displaystyle е^{-\lambda }\,} е λ ( х − 1 ) {\displaystyle e^{\лямбда (x-1)}\,} λ {\displaystyle \лямбда \,} λ {\displaystyle \лямбда \,}
Отрицательный бином Г ( г + к ) к ! Г ( г ) п г ( 1 − п ) к {\displaystyle {\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}\,} 1 − п {\displaystyle 1-p\,} ( 1 − п ) ( г − 1 ) {\displaystyle (1-p)(r-1)\,} п г {\displaystyle p^{r}\,} ( п 1 − х ( 1 − п ) ) г {\displaystyle \left({\frac {p}{1-x(1-p)}}\right)^{r}\,} г ( 1 − п ) п {\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p}}\,} г ( 1 − п ) п 2 {\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p^{2}}}\,}
Распределение Панджера ( 1 + λ α ) − α λ к к ! ∏ я = 0 к − 1 α + я α + λ {\displaystyle \left(1+{\frac {\lambda }{\alpha }}\right)^{-\alpha }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\prod _{i=0}^{k-1}{\frac {\alpha +i}{\alpha +\lambda }}\,} λ α + λ {\displaystyle {\frac {\lambda }{\alpha +\lambda }}\,} ( α − 1 ) λ α + λ {\displaystyle {\frac {(\alpha -1)\lambda }{\alpha +\lambda }}\,} ( 1 + λ α ) − α {\displaystyle \left(1+{\frac {\lambda }{\alpha }}\right)^{-\alpha }\,} ( 1 − λ α ( x − 1 ) ) − α {\displaystyle \left(1-{\frac {\lambda }{\alpha }}(x-1)\right)^{-\alpha }\,} λ {\displaystyle \lambda \,} λ ( 1 + λ α ) {\displaystyle \lambda \left(1+{\frac {\lambda }{\alpha }}\right)\,}

Обратите внимание, что распределение Панджера сводится к распределению Пуассона в предельном случае ; оно совпадает с отрицательным биномиальным распределением для положительных конечных действительных чисел и равно биномиальному распределению для отрицательных целых чисел . α → ± ∞ {\displaystyle \alpha \rightarrow \pm \infty } α ∈ R > 0 {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} _{>0}} − α ∈ Z {\displaystyle -\alpha \in \mathbb {Z} }

Построение

Простой способ быстро определить, был ли данный образец взят из распределения класса ( a , b , 0), — это построить график отношения двух последовательных наблюдаемых данных (умноженных на константу) по оси x .

Умножив обе части рекурсивной формулы на , получаем k {\displaystyle k}

k p k p k − 1 = a k + b , {\displaystyle k\,{\frac {p_{k}}{p_{k-1}}}=ak+b,}

что показывает, что левая часть, очевидно, является линейной функцией . При использовании выборки данных необходимо выполнить аппроксимацию ' s. Если представляет собой число наблюдений, имеющих значение , то является несмещенной оценкой истинного . k {\displaystyle k} n {\displaystyle n} p k {\displaystyle p_{k}} n k {\displaystyle n_{k}} k {\displaystyle k} p ^ k = n k n {\displaystyle {\hat {p}}_{k}={\frac {n_{k}}{n}}} p k {\displaystyle p_{k}}

Поэтому, если наблюдается линейный тренд, то можно предположить, что данные взяты из распределения ( a , b , 0). Более того, наклон функции будет параметром , а ордината в начале координат будет . a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}

Смотрите также


Ссылки

  1. ^ Панджер, Гарри Х. (1981). «Рекурсивная оценка семейства составных распределений» (PDF) . Бюллетень ASTIN . 12 (1): 22–26 .
  2. ^ ab Fackler, Michael (2009). "Объединенный класс Панджера - одна формула для распределения Пуассона, биномиального и отрицательного биномиального распределения" (PDF) . Коллоквиум ASTIN . Международная актуарная ассоциация .
  3. ^ Кац, Лео (1965). Ганапати Патил (ред.). Унифицированная обработка широкого класса дискретных распределений вероятностей . Классические и контагиозные дискретные распределения. Pergamon Press, Оксфорд. С.  175–182 .
  4. ^ Gathy, Maude; Lefèvre, Claude (2010). «О семействе распределений Лагранжа Каца как модели частоты претензийРаспределения». Страхование: Математика и Экономика . 47 (1): 78– 83. doi :10.1016/j.insmatheco.2010.03.010.
  5. ^ Hess, Klaus Th.; Liewald, Anett; Schmidt, Klaus D. (2002). "Расширение рекурсии Панджера" (PDF) . ASTIN Bulletin . 32 (2): 283– 297. doi : 10.2143/AST.32.2.1030 . Архивировано (PDF) из оригинала 2009-07-11 . Получено 2009-06-18 .
  6. ^ Клугман, Стюарт; Панджер, Гарри ; Гордон, Уиллмот (2004). Модели потерь: от данных к решениям . Серия по вероятности и статистике (2-е изд.). Нью-Джерси: Wiley. ISBN 978-0-471-21577-6.
  7. ^ Сундт, Бьёрн; Джуэлл, Уильям С. (1981). «Дальнейшие результаты рекурсивной оценки составных распределений» (PDF) . Бюллетень ASTIN . 12 (1): 27– 39. doi : 10.1017/S0515036100006802 .


Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=(a,b,0)_class_of_distributions&oldid=1193668117"