рекурсия Панджера

Рекурсия Панджера — это алгоритм вычисления аппроксимации распределения вероятностей составной случайной величины , где и являются случайными величинами и имеют специальные типы. В более общих случаях распределение S является составным распределением . Рекурсия для рассматриваемых специальных случаев была введена в статье ^[1] Гарри Панджера (выдающийся почетный профессор Университета Ватерлоо ^[2] ). Она широко используется в актуарной науке (см. также системный риск ).${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\,}$${\displaystyle N\,}$${\displaystyle X_{i}\,}$

Нас интересует сложная случайная величина , где и удовлетворяют следующим предварительным условиям.${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\,}$${\displaystyle N\,}$${\displaystyle X_{i}\,}$

Мы предполагаем, что является независимым и независимым от . Кроме того, должны быть распределены на решетке с шириной решетки .${\displaystyle X_{i}\,}$${\displaystyle N\,}$${\displaystyle X_{i}\,}$${\displaystyle h\mathbb {N} _{0}\,}$${\displaystyle h>0\,}$

${\displaystyle f_{k}=P[X_{i}=hk].\,}$

В актуарной практике получается путем дискретизации функции плотности выплат (верхняя, нижняя...).${\displaystyle X_{i}\,}$

Число претензий N является случайной величиной , которая, как говорят, имеет «распределение числа претензий» и может принимать значения 0, 1, 2, .... и т.д. Для «рекурсии Панджера» распределение вероятностей N должно быть членом класса Панджера , также известного как класс распределений (a,b,0) . Этот класс состоит из всех подсчитывающих случайных величин, которые удовлетворяют следующему соотношению:

${\displaystyle P[N=k]=p_{k}=\left(a+{\frac {b}{k}}\right)\cdot p_{k-1},~~k\geq 1.\, }$

для некоторых и которые удовлетворяют . Начальное значение определяется таким образом, что${\displaystyle а}$${\displaystyle б}$${\displaystyle a+b\geq 0\,}$${\displaystyle p_{0}\,}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1.\,}$

Рекурсия Панджера использует это итеративное отношение для указания рекурсивного способа построения распределения вероятностей S. В дальнейшем обозначает функцию генерации вероятностей N : для этого см . таблицу в классе распределений (a,b,0) .${\displaystyle W_{N}(x)\,}$

В случае, если номер иска известен, обратите внимание на алгоритм Де Прила . ^[3] Этот алгоритм подходит для вычисления распределения суммы дискретных случайных величин . ^[4]${\displaystyle n}$

Теперь алгоритм обеспечивает рекурсию для вычисления .${\displaystyle g_{k}=P[S=hk]\,}$

Начальное значение указано в особых случаях${\displaystyle g_{0}=W_{N}(f_{0})\,}$

${\displaystyle g_{0}=p_{0}\cdot \exp(f_{0}b)\quad {\text{ если }}\quad a=0,\,}$

и

${\displaystyle g_{0}={\frac {p_{0}}{(1-f_{0}a)^{1+b/a}}}\quad {\text{ для }}\quad a\neq 0,\,}$

и продолжайте с

${\displaystyle g_{k}={\frac {1}{1-f_{0}a}}\sum _{j=1}^{k}\left(a+{\frac {b\cdot j}{k}}\right)\cdot f_{j}\cdot g_{kj}.\,}$

Следующий пример показывает приближенную плотность, где и с шириной решетки h = 0,04. (См. распределение Фреше .)${\displaystyle \scriptstyle S\,=\,\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$${\displaystyle \scriptstyle N\,\sim \,{\text{NegBin}}(3.5,0.3)\,}$${\displaystyle \scriptstyle X\,\sim \,{\text{Фреше}}(1.7,1)}$

Как было отмечено, проблема может возникнуть при инициализации рекурсии. Геган и Хассани (2009) предложили решение для решения этой проблемы. ^[5]

• Рекурсия Панджера и распределения, с которыми ее можно использовать