Функции пола и потолка

В математике функция floor — это функция , которая принимает на вход действительное число x и возвращает наибольшее целое число, меньшее или равное x , обозначаемое ⌊ x ⌋ или floor( x ) . Аналогично, функция ceiling отображает x в наименьшее целое число, большее или равное x , обозначаемое ⌈ x ⌉ или ceil( x ) . ^[1]

Например, для пола: ⌊2,4⌋ = 2 , ⌊−2,4⌋ = −3 , а для потолка: ⌈2,4⌉ = 3 , и ⌈−2,4⌉ = −2 .

Пол числа x также называется целой частью , целой частью , наибольшим целым числом или целым числом x и исторически обозначался как [ x ] (среди других обозначений). ^[2] Однако тот же термин, целая часть , также используется для усечения к нулю, что отличается от функции пола для отрицательных чисел.

Для целого числа n ⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = n .

Хотя floor( x+1 ) и ceil( x ) создают графики, которые выглядят совершенно одинаково, они не одинаковы, когда значение x является точным целым числом. Например, когда x =2,0001; ⌊2,0001+1⌋ = ⌈2,0001⌉ = 3 . Однако, если x =2, то ⌊2+1⌋ = 3 , в то время как ⌈2⌉ = 2 .

Целая часть числа ( в оригинале partie entière) была впервые определена в 1798 году Адриеном - Мари Лежандром в его доказательстве формулы Лежандра .

Карл Фридрих Гаусс ввел обозначение квадратных скобок [ x ] в своем третьем доказательстве квадратичного закона взаимности (1808). ^[3] Это оставалось стандартом ^[4] в математике до тех пор , пока Кеннет Э. Айверсон в своей книге 1962 года «Язык программирования » не ввел названия «пол» и «потолок» и соответствующие обозначения ⌊ x ⌋ и ⌈ x ⌉ . ^{[5] [6]} (Айверсон использовал квадратные скобки для другой цели, обозначения скобок Айверсона .) Обе нотации сейчас используются в математике, хотя в этой статье будет использоваться обозначение Айверсона.

В некоторых источниках жирные или двойные скобки ⟦ x ⟧ используются для обозначения пола, а обратные скобки ⟧ x ⟦ или ] x [ ​​— для обозначения потолка. ^{[7] [8]}

Дробная часть — это пилообразная функция , обозначаемая { x } для действительного x и определяемая формулой

{ х } = х − ⌊ х ⌋ ^[9]

Для всех х ,

0 ≤ { х } < 1 .

Эти символы представлены в Unicode:

• U+2308 ⌈ ЛЕВЫЙ ПОТОЛОК ( ⌈, ⌈ )
• U + 2309 ⌉ ПРАВЫЙ ПОТОЛОК ( ⌉, ⌉ )
• U+230A ⌊ ЛЕВЫЙ ЭТАЖ ( ⌊, ⌊ )
• U+230B ⌋ ПРАВЫЙ ЭТАЖ ( ⌋, ⌋ )

В системе набора LaTeX эти символы можно указать с помощью команд и в математическом режиме. LaTeX поддерживает UTF-8 с 2018 года, поэтому символы Unicode теперь можно использовать напрямую. ^[10] Более крупные версии — и .\lceil, \rceil, \lfloor, \rfloor\left\lceil, \right\rceil, \left\lfloor,\right\rfloor

Даны действительные числа x и y , целые числа m и n и множество целых чисел , пол и потолок могут быть определены уравнениями${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{m\in \mathbb {Z} \mid m\leq x\},}$

${\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.}$

Поскольку в полуоткрытом интервале длины один содержится ровно одно целое число , для любого действительного числа x существуют уникальные целые числа m и n, удовлетворяющие уравнению

${\displaystyle x-1<m\leq x\leq n<x+1.}$

где  и  также можно рассматривать как определение пола и потолка.${\displaystyle \lfloor x\rfloor =m}$${\displaystyle \lceil x\rceil =n}$

Эти формулы можно использовать для упрощения выражений, включающих полы и потолки. ^[11]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\lfloor x\rfloor &=m\ \ &&{\mbox{ если и только если }}&m&\leq x<m+1,\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ если и только если }}&\ \ n-1&<x\leq n,\\\lfloor x\rfloor &=m&&{\mbox{ если и только если }}&x-1&<m\leq x,\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ если и только если }}&x&\leq n<x+1.\end{alignedat}}}$

На языке теории порядка функция пола представляет собой остаточное отображение , то есть часть соединения Галуа : это верхний сопряженный элемент функции, которая встраивает целые числа в действительные.

${\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\;\;{\mbox{ если и только если }}&\lfloor x\rfloor &<n,\\n<x&\;\;{\mbox{ если и только если }}&n&<\lceil x\rceil ,\\x\leq n&\;\;{\mbox{ если и только если }}&\lceil x\rceil &\leq n,\\n\leq x&\;\;{\mbox{ если и только если }}&n&\leq \lfloor x\rfloor .\end{aligned}}}$

Эти формулы показывают, как добавление целого числа n к аргументам влияет на функции:

${\displaystyle {\begin{align}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{align}}}$

Вышеуказанное никогда не будет верным, если n не является целым числом; однако для любых x и y справедливы следующие неравенства:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\[3mu ]\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \lceil x+y\rceil \leq \lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{aligned}}}$

Обе функции, и нижняя, и верхняя, являются монотонно неубывающими функциями :

${\displaystyle {\begin{align}x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lfloor x_{1}\rfloor \leq \lfloor x_{2}\rfloor ,\\x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lceil x_{1}\rceil \leq \lceil x_{2}\rceil .\end{align}}}$

Из определений ясно, что

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,}$   с равенством тогда и только тогда, когда x — целое число, т.е.

${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}}$

На самом деле для целых чисел n обе функции — и нижняя, и верхняя — являются тождественными :

${\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.}$

Отрицание аргумента меняет местами пол и потолок и меняет знак:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &=0\\-\lfloor x\rfloor &=\lceil -x\rceil \\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor \end{aligned}}}$

и:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}}$

${\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Отрицание аргумента дополняет дробную часть:

${\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Функции пола, потолка и дробной части являются идемпотентными :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\big \lceil }\lceil x\rceil {\big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \{}\{x\}{\big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

Результатом вложенных функций пола или потолка является самая внутренняя функция:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big \lfloor }\lceil x\rceil {\big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \lceil }\lfloor x\rfloor {\big \rceil }&=\lfloor x\rfloor \end{aligned}}}$

из-за свойства идентичности целых чисел.

Если m и n — целые числа и n ≠ 0,

${\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.}$

Если n — положительное целое число ^[12]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,}$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .}$

Если m положительно ^[13]

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .}$

Для m = 2 это означает

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{2}}\right\rceil .}$

В более общем смысле, ^[14] для положительных m (см. тождество Эрмита )

${\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .}$

Для преобразования полов в потолки и наоборот можно использовать следующее ( m положительное) ^[15]

${\displaystyle \left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1,}$

Для всех m и n строго положительных целых чисел: ^[16]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\gcd(m,n)-1}{2}},}$

что для положительных и взаимно простых m и n сводится к

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\tfrac {1}{2}}(m-1)(n-1),}$

и аналогично для функций потолка и дробной части (все еще для положительных и взаимно простых m и n ),

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lceil {\frac {km}{n}}\right\rceil ={\tfrac {1}{2}}(m+1)(n-1),}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\{{\frac {km}{n}}\right\}={\tfrac {1}{2}}(n-1).}$

Поскольку правая часть общего случая симметрична по m и n , это означает, что

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {m{\vphantom {1}}}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .}$

В более общем случае, если m и n положительны,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x{\vphantom {1}}}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\[5mu]=&\left\lfloor {\frac {x{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

Иногда это называют законом взаимности. ^[17]

Деление на положительные целые числа приводит к интересному и иногда полезному свойству. Предполагая , что ,${\displaystyle m,n>0}$

${\displaystyle m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \iff n\leq \left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor \iff n\leq {\frac {\lfloor x\rfloor }{m}}.}$

Сходным образом,

${\displaystyle m\geq \left\lceil {\frac {x}{n}}\right\rceil \iff n\geq \left\lceil {\frac {x}{m}}\right\rceil \iff n\geq {\frac {\lceil x\rceil }{m}}.}$

Действительно,

${\displaystyle m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \implies m\leq {\frac {x}{n}}\implies n\leq {\frac {x}{m}}\implies n\leq \left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor \implies \ldots \implies m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor ,}$

имея в виду, что вторая эквивалентность, включающая функцию потолка, может быть доказана аналогично.${\textstyle \lfloor x/n\rfloor ={\bigl \lfloor }\lfloor x\rfloor /n{\bigr \rfloor }.}$

Для положительных целых чисел n и произвольных действительных чисел m , x : ^[18]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor }$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil .}$

Ни одна из функций, обсуждаемых в этой статье, не является непрерывной , но все они являются кусочно-линейными : функции , и имеют разрывы в целых числах.${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \lceil x\rceil }$${\displaystyle \{x\}}$

${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$  является полунепрерывным сверху , а     и   являются полунепрерывными снизу.${\displaystyle \lceil x\rceil }$${\displaystyle \{x\}}$

Поскольку ни одна из функций, обсуждаемых в этой статье, не является непрерывной, ни одна из них не имеет разложения в степенной ряд . Поскольку пол и потолок не являются периодическими, они не имеют равномерно сходящихся разложений в ряд Фурье . Функция дробной части имеет разложение в ряд Фурье ^[19] для x, не являющегося целым числом.$${\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$$

В точках разрыва ряд Фурье сходится к значению, которое является средним значением его пределов слева и справа, в отличие от функций пола, потолка и дробной части: при фиксированном y и x, кратном y, заданный ряд Фурье сходится к y /2, а не к x  mod  y  = 0. В точках непрерывности ряд сходится к истинному значению.

Использование формулы дает для x не целое число.${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-\{x\}}$$${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$$

Для целого числа x и положительного целого числа y операция по модулю , обозначаемая как x mod y , дает значение остатка от деления x на y . Это определение можно распространить на действительные числа x и y , y ≠ 0, по формуле

${\displaystyle x{\bmod {y}}=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .}$

Тогда из определения функции пола следует, что эта расширенная операция удовлетворяет многим естественным свойствам. В частности, x mod y всегда находится между 0 и y , т.е.

если y положительный,

${\displaystyle 0\leq x{\bmod {y}}<y,}$

и если y отрицательный,

${\displaystyle 0\geq x{\bmod {y}}>y.}$

Третье доказательство квадратичной взаимности Гаусса , модифицированное Эйзенштейном, состоит из двух основных шагов. ^{[20] [21]}

Пусть p и q — различные положительные нечетные простые числа, и пусть${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}(p-1),}$ ${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}(q-1).}$

Во-первых, лемма Гаусса используется для того, чтобы показать, что символы Лежандра задаются формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {q}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor },\\[5mu]\left({\frac {p}{q}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.\end{aligned}}}$

Вторым шагом является использование геометрического аргумента, чтобы показать, что

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.}$

Объединение этих формул дает квадратичную взаимность в виде

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

Существуют формулы, которые используют пол для выражения квадратичного характера малых чисел по модулю нечетных простых чисел p : ^[22]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {2}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },\\[5mu]\left({\frac {3}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.\end{aligned}}}$

Для произвольного действительного числа округление до ближайшего целого числа с удалением в сторону положительной бесконечности задается как ; округление в сторону отрицательной бесконечности задается как .${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle {\text{rpi}}(x)=\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lceil {\tfrac {1}{2}}\lfloor 2x\rfloor \right\rceil }$${\displaystyle {\text{rni}}(x)=\left\lceil x-{\tfrac {1}{2}}\right\rceil =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}\lceil 2x\rceil \right\rfloor }$

Если значение критерия разделения не равно 0, то функция округления равна (см. функцию знака ), а округление в сторону четности можно выразить с помощью более громоздкого выражения , которое представляет собой приведенное выше выражение для округления в сторону положительной бесконечности за вычетом показателя целочисленности для .${\displaystyle {\text{ri}}(x)=\operatorname {sgn}(x)\left\lfloor |x|+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor }$${\displaystyle \lfloor x\rceil =\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor +{\bigl \lceil }{\tfrac {1}{4}}(2x-1){\bigr \rceil }-{\bigl \lfloor }{\tfrac {1}{4}}(2x-1){\bigr \rfloor }-1}$${\displaystyle {\text{rpi}}(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(2x-1)}$

Округление действительного числа до ближайшего целого значения образует очень простой тип квантователя – равномерный . Типичный ( средне-ступенчатый ) равномерный квантователь с размером шага квантования, равным некоторому значению, может быть выражен как${\displaystyle x}$${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle Q(x)=\Delta \cdot \left\lfloor {\frac {x}{\Delta }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$,

Количество цифр в системе счисления с основанием b положительного целого числа k равно

${\displaystyle \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1=\lceil \log _{b}{(k+1)}\rceil .}$

Число возможных строк произвольной длины, в которых ни один символ не встречается дважды, определяется по формуле ^{[23] [ нужен лучший источник ]}

${\displaystyle (n)_{0}+\cdots +(n)_{n}=\lfloor en!\rfloor }$

где:

• n > 0 — количество букв в алфавите (например, 26 в английском языке )
• убывающий факториал обозначает количество строк длины k , в которых ни один символ не используется дважды.${\displaystyle (n)_{k}=n(n-1)\cdots (n-k+1)}$
• n ! обозначает факториал числа n
• e = 2,718... — число Эйлера

Для n = 26 это составляет 1096259850353149530222034277.

Пусть n — положительное целое число, а p — положительное простое число. Показатель наивысшей степени p , которая делит n !, задается версией формулы Лежандра ^[24]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots ={\frac {n-\sum _{k}a_{k}}{p-1}}}$

где — способ записи n в системе счисления с основанием p . Это конечная сумма, поскольку этажи равны нулю, когда p ^k > n .${\textstyle n=\sum _{k}a_{k}p^{k}}$

Последовательность Битти показывает, как каждое положительное иррациональное число приводит к разбиению натуральных чисел на две последовательности с помощью функции пола. ^[25]

Существуют формулы для постоянной Эйлера γ = 0,57721 56649 ..., которые включают пол и потолок, например ^[26]

${\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,}$

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),}$

и

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots }$

Функция дробной части также появляется в интегральных представлениях дзета-функции Римана . Несложно доказать (используя интегрирование по частям) ^[27] , что если — любая функция с непрерывной производной в замкнутом интервале [ a , b ],${\displaystyle \varphi (x)}$

${\displaystyle \sum _{a<n\leq b}\varphi (n)=\int _{a}^{b}\varphi (x)\,dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi '(x)\,dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (b).}$

Положим , что действительная часть s больше 1, а a и b — целые числа, и позволим b стремиться к бесконечности, получим${\displaystyle \varphi (n)=n^{-s}}$

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\,dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}.}$

Эта формула верна для всех s с действительной частью больше −1 (за исключением s = 1, где есть полюс) и в сочетании с разложением Фурье для { x } может быть использована для расширения дзета-функции на всю комплексную плоскость и для доказательства ее функционального уравнения. ^[28]

При s = σ + it в критической полосе 0 < σ < 1,

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega .}$

В 1947 году ван дер Поль использовал это представление для построения аналогового компьютера для нахождения корней дзета-функции. ^[29]

Функция пола появляется в нескольких формулах, характеризующих простые числа. Например, поскольку равно 1, если m делит n , и 0 в противном случае, то положительное целое число n является простым тогда и только тогда, когда ^[30]${\textstyle {\bigl \lfloor }{\frac {n}{m}}{\bigr \rfloor }-{\bigl \lfloor }{\frac {n-1}{m}}{\bigr \rfloor }}$

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left({\biggl \lfloor }{\frac {n}{m}}{\biggr \rfloor }-{\biggl \lfloor }{\frac {n-1}{m}}{\biggr \rfloor }\right)=2.}$

Можно также дать формулы для получения простых чисел. Например, пусть p _n будет n -м простым числом, и для любого целого числа r  > 1, определим действительное число α суммой

${\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}$

Тогда ^[31]

${\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .}$

Аналогичный результат заключается в том, что существует число θ = 1,3064... ( константа Миллса ) со свойством

${\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots }$

все являются простыми. ^[32]

Существует также число ω = 1,9287800... со свойством

${\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots }$

все являются простыми. ^[32]

Пусть π ( x ) будет числом простых чисел, меньших или равных x . Из теоремы Уилсона легко вывести , что ^[33]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}{\Biggl \lfloor }{\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor {\Biggr \rfloor }.}$

Также, если n ≥ 2, ^[34]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}{\Biggl \lfloor }1\,{\bigg /}\ {\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }{\Biggr \rfloor }.}$

Ни одна из формул в этом разделе не имеет практического применения. ^{[35] [36]}

Рамануджан представил эти задачи в журнал Индийского математического общества . ^[37]

Если n — положительное целое число, докажите, что

1. ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,}$
2. ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,}$
3. ${\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .}$

Были доказаны некоторые обобщения вышеприведенных тождеств функций пола. ^[38]

Изучение проблемы Варинга привело к нерешенной проблеме:

Существуют ли положительные целые числа k ≥ 6 такие, что ^[39]

${\displaystyle 3^{k}-2^{k}{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }>2^{k}-{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }-2\ ?}$

Малер доказал, что может быть только конечное число таких k ; ни одно из них не известно. ^[40]

В большинстве языков программирования простейший метод преобразования числа с плавающей точкой в ​​целое число не делает пол или потолок, а усечение. Причина этого историческая, так как первые машины использовали дополнение до единицы , а усечение было проще реализовать (пол проще в дополнении до двух ). FORTRAN был определен как требующий такого поведения, и поэтому почти все процессоры реализуют преобразование таким образом. Некоторые считают это неудачным историческим решением по проектированию, которое привело к ошибкам при обработке отрицательных смещений и графики на отрицательной стороне начала отсчета. ^{[ необходима цитата ]}

Арифметический сдвиг вправо целого числа со знаком на равен . Деление на степень 2 часто записывается как сдвиг вправо, не для оптимизации, как можно было бы предположить, а потому, что требуется пол отрицательных результатов. Предполагая, что такие сдвиги являются «преждевременной оптимизацией», и заменяя их делением, можно сломать программное обеспечение. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \left\lfloor x/2^{n}\right\rfloor }$

Многие языки программирования (включая C , C++ , ^{[41] [42]} C# , ^{[43] [44]} Java , ^{[45] [46]} Julia , ^[47] PHP , ^{[48] [49]} R , ^[50] и Python ^[51] ) предоставляют стандартные функции для пола и потолка, обычно называемые floorи ceil, или реже ceiling. ^[52] Язык APL использует ⌊xдля пола. Язык программирования J , продолжение APL, разработанное для использования стандартных символов клавиатуры, использует <.для пола и >.для потолка. ^[53] ALGOL использует entierдля пола.

В Microsoft Excel функция INTокругляет вниз, а не к нулю, ^[54] в то время как FLOORокругляет к нулю, что противоположно тому, что делают "int" и "floor" в других языках. С 2010 года FLOORбыло изменено на error, если число отрицательное. ^[55] Формат файла OpenDocument , используемый OpenOffice.org , Libreoffice и другими, INT^[56] и FLOORоба делают floor, и FLOORимеют третий аргумент для воспроизведения более раннего поведения Excel. ^[57]

• Скобка (математика)
• Целочисленная функция
• Ступенчатая функция
• Операция по модулю

• JWS Cassels (1957), Введение в диофантовы приближения , Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, т. 45, Cambridge University Press
• Крэндалл, Ричард; Померанс, Карл (2001), Простые числа: вычислительная перспектива, Нью-Йорк: Springer , ISBN 0-387-94777-9
• Грэм, Рональд Л.; Кнут, Дональд Э.; Паташник, Орен (1994), Конкретная математика , Reading Ma.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5
• Харди, Г. Х.; Райт, Э. М. (1980), Введение в теорию чисел (пятое издание) , Оксфорд: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853171-5
• Николас Дж. Хайэм, Справочник по написанию математических наук , SIAM. ISBN 0-89871-420-6 , стр. 25 
• ISO / IEC . ISO/IEC 9899::1999(E): Языки программирования — C (2-е изд.), 1999; Раздел 6.3.1.4, стр. 43.
• Айверсон, Кеннет Э. (1962), Язык программирования , Wiley
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Берлин: Springer , ISBN 3-540-66957-4
• Рамануджан, Шриниваса (2000), Сборник статей , Провиденс, Род-Айленд: AMS / Челси, ISBN 978-0-8218-2076-6
• Рибенбойм, Пауло (1996), Новая книга рекордов простых чисел , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-94457-5
• Майкл Салливан. Precalculus , 8-е издание, стр. 86
• Титчмарш, Эдвард Чарльз; Хит-Браун, Дэвид Родни («Роджер») (1986), Теория дзета-функции Римана (2-е изд.), Оксфорд: Oxford UP, ISBN 0-19-853369-1

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Функции пола и потолка» .

• «Функция пола», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Штефан Порубский, "Функции округления целых чисел", Интерактивный информационный портал по алгоритмической математике , Институт компьютерных наук Чешской академии наук, Прага, Чешская Республика, получено 24 октября 2008 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция пола». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция потолка». MathWorld .