Алгебраическое пространство

В математике алгебраические пространства образуют обобщение схем алгебраической геометрии , введенных Майклом Артином ^[1] для использования в теории деформаций . Интуитивно, схемы задаются склеиванием аффинных схем с использованием топологии Зариского , в то время как алгебраические пространства задаются склеиванием аффинных схем с использованием более тонкой этальной топологии . В качестве альтернативы можно думать о схемах как о локально изоморфных аффинным схемам в топологии Зариского, в то время как алгебраические пространства локально изоморфны аффинным схемам в этальной топологии.

Полученная категория алгебраических пространств расширяет категорию схем и позволяет осуществить несколько естественных построений, которые используются при построении пространств модулей , но не всегда возможны в меньшей категории схем, например, взятие фактора свободного действия по конечной группе (ср. теорему Киля–Мори ).

Существует два распространенных способа определения алгебраических пространств: они могут быть определены либо как факторы схем по этальным отношениям эквивалентности, либо как пучки на большом этальном сайте, которые локально изоморфны схемам. Эти два определения по сути эквивалентны.

Алгебраическое пространство X состоит из схемы U и замкнутой подсхемы R ⊆ U × U , удовлетворяющей следующим двум условиям:

1. R — отношение эквивалентности как подмножество U × U

2. Проекции p _i : R → U на каждый сомножитель являются этальными отображениями .

Некоторые авторы, такие как Кнутсон, добавляют дополнительное условие, что алгебраическое пространство должно быть квазиразделенным , то есть диагональное отображение должно быть квазикомпактным.

Всегда можно предположить, что R и U являются аффинными схемами . Это означает, что теория алгебраических пространств не зависит от полной теории схем и действительно может использоваться в качестве (более общей) замены этой теории.

Если R — тривиальное отношение эквивалентности над каждым связным компонентом U (т. е. для всех x , y , принадлежащих одному и тому же связному компоненту U , мы имеем xRy тогда и только тогда, когда x = y ), то алгебраическое пространство будет схемой в обычном смысле. Поскольку общее алгебраическое пространство X не удовлетворяет этому требованию, оно позволяет одному связному компоненту U покрывать X многими «листами». Множество точек, лежащее в основе алгебраического пространства X , тогда задается как | U | / | R | как набор классов эквивалентности .

Пусть Y — алгебраическое пространство, определяемое отношением эквивалентности S ⊂ V × V. Тогда множество Hom( Y , X ) морфизмов алгебраических пространств определяется условием, что оно делает последовательность спуска

${\displaystyle \mathrm {Hom} (Y,X)\rightarrow \mathrm {Hom} (V,X){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\mathrm {Hom} (S,X)}$

точно (это определение мотивировано теоремой Гротендика о спуске для сюръективных этальных отображений аффинных схем). С этими определениями алгебраические пространства образуют категорию .

Пусть U — аффинная схема над полем k, определяемая системой многочленов g ( x ), x = ( x ₁ , ..., x _n ), пусть

${\displaystyle k\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\ }$

Обозначим кольцо алгебраических функций от x над k , и пусть X = { R ⊂ U × U } — алгебраическое пространство.

Соответствующие слои Õ _{X , x} на X затем определяются как локальные кольца алгебраических функций, определяемые как Õ _{U , u} , где u ∈ U — точка, лежащая над x , а Õ _{U , u} — локальное кольцо, соответствующее u кольца

к { х ₁ , ...,  х _n } / ( г )

алгебраических функций на U .

Говорят, что точка на алгебраическом пространстве является гладкой , если Õ _{X , x} ≅ k { z ₁ , ..., z _d } для некоторых неизвестных z ₁ , ..., z _d . Тогда размерность X в точке x определяется как d .

Морфизм f : Y → X алгебраических пространств называется этальнм в точке y ∈ Y (где x = f ( y )), если индуцированное отображение на стеблях

Х _{X , x} → Х _{Y , y}

является изоморфизмом.

Структурный пучок O _X на алгебраическом пространстве X определяется путем сопоставления кольца функций O ( V ) на V (определяемого этальными отображениями из V в аффинную прямую A ¹ в только что определенном смысле) любому алгебраическому пространству V , которое является этальным над X .

Алгебраическое пространство можно определить как пучок множеств${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {X}}:({\text{Sch}}/S)_{\text{et}}^{op}\to {\text{Sets}}}$

такой что

1. Существует сюръективный этальный морфизм${\displaystyle h_{X}\to {\mathfrak {X}}}$
2. диагональный морфизм представим.${\displaystyle \Дельта _{{\mathfrak {X}}/S}:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}}$

Второе условие эквивалентно свойству, что для любых схем и морфизмов , их расслоенное произведение пучков${\displaystyle Y,Z}$${\displaystyle h_{Y},h_{Z}\to {\mathfrak {X}}}$

${\displaystyle h_{Y}\times _{\mathfrak {X}}h_{Z}}$

представимо схемой над . Обратите внимание, что некоторые авторы, такие как Кнутсон, добавляют дополнительное условие, что алгебраическое пространство должно быть квазиразделенным , что означает, что диагональное отображение является квазикомпактным.${\displaystyle S}$

Алгебраические пространства подобны схемам, и большая часть теории схем распространяется на алгебраические пространства. Например, большинство свойств морфизмов схем также применимы к алгебраическим пространствам, можно определить когомологии квазикогерентных пучков, это имеет обычные свойства конечности для собственных морфизмов и т. д.

• Собственные алгебраические пространства над полем размерности один (кривые) являются схемами.
• Неособые собственные алгебраические пространства размерности два над полем (гладкие поверхности) являются схемами.
• Квазиразделенные групповые объекты в категории алгебраических пространств над полем являются схемами, хотя существуют неквазиразделенные групповые объекты, которые не являются схемами.
• Объекты коммутативной группы в категории алгебраических пространств над произвольной схемой, которые являются собственными, локально конечными по представлению, плоскими и когомологически плоскими в размерности 0, являются схемами.
• Не каждая сингулярная алгебраическая поверхность является схемой.
• Пример Хиронаки можно использовать для того, чтобы дать невырожденное 3-мерное собственное алгебраическое пространство, которое не является схемой, заданное фактором схемы по группе порядка 2, действующей свободно. Это иллюстрирует одно различие между схемами и алгебраическими пространствами: фактор алгебраического пространства по дискретной группе, действующей свободно, является алгебраическим пространством, но фактор схемы по дискретной группе, действующей свободно, не обязательно должен быть схемой (даже если группа конечна).
• Каждое квазиотделимое алгебраическое пространство содержит плотную открытую аффинную подсхему, и дополнение такой подсхемы всегда имеет коразмерность ≥ 1. Таким образом, алгебраические пространства в некотором смысле «близки» к аффинным схемам.
• Фактор комплексных чисел по решетке является алгебраическим пространством, но не является эллиптической кривой, хотя соответствующее аналитическое пространство является эллиптической кривой (или, точнее, является образом эллиптической кривой под действием функтора из комплексных алгебраических пространств в аналитические пространства). Фактически, этот фактор алгебраического пространства не является схемой, не является полным и даже не является квазиразделенным. Это показывает, что хотя фактор алгебраического пространства по бесконечной дискретной группе является алгебраическим пространством, он может иметь странные свойства и может не быть тем алгебраическим пространством, которое «ожидалось». Похожие примеры дает фактор комплексной аффинной прямой по целым числам или фактор комплексной аффинной прямой за вычетом начала координат по степеням некоторого числа: снова соответствующее аналитическое пространство является многообразием, но алгебраическое пространство — нет.

Алгебраические пространства над комплексными числами тесно связаны с аналитическими пространствами и многообразиями Мойшезона .

Грубо говоря, разница между комплексными алгебраическими пространствами и аналитическими пространствами заключается в том, что комплексные алгебраические пространства образуются путем склеивания аффинных частей с использованием этальной топологии, в то время как аналитические пространства образуются путем склеивания с использованием классической топологии. В частности, существует функтор из комплексных алгебраических пространств конечного типа в аналитические пространства. Многообразия Хопфа дают примеры аналитических поверхностей, которые не происходят из собственного алгебраического пространства (хотя можно построить несобственные и неразделенные алгебраические пространства, аналитическое пространство которых является поверхностью Хопфа). Также возможно, что различные алгебраические пространства соответствуют одному и тому же аналитическому пространству: например, эллиптическая кривая и фактор C по соответствующей решетке не изоморфны как алгебраические пространства, но соответствующие аналитические пространства изоморфны.

Артин показал, что собственные алгебраические пространства над комплексными числами более или менее совпадают с пространствами Мойшезона.

Далеко идущее обобщение алгебраических пространств дают алгебраические стеки . В категории стеков мы можем образовать еще больше факторов по групповым действиям, чем в категории алгебраических пространств (полученный фактор называется факторстеком ) .

• Артин, Майкл (1969), «Теорема о неявной функции в алгебраической геометрии», в Abhyankar, Shreeram Shankar (ред.), Алгебраическая геометрия: доклады, представленные на Бомбейском коллоквиуме, 1968, Института фундаментальных исследований Тата по математике, т. 4, Oxford University Press , стр.  13–34 , ISBN 978-0-19-617607-9, МР  0262237
• Артин, Майкл (1971), Алгебраические пространства, Yale Mathematical Monographs, т. 3, Yale University Press, ISBN 978-0-300-01396-2, МР  0407012
• Кнутсон, Дональд (1971), Алгебраические пространства , Lecture Notes in Mathematics, т. 203, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0059750, ISBN 978-3-540-05496-2, МР  0302647

• Данилов, В.И. (2001) [1994], «Алгебраическое пространство», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Алгебраическое пространство в проекте «Стеки»