Этальный морфизм

В алгебраической геометрии этальный морфизм ( фр. [etal] ) — это морфизм схем , который формально является этальнм и локально имеет конечное представление. Это алгебраический аналог понятия локального изоморфизма в комплексной аналитической топологии. Они удовлетворяют гипотезам теоремы о неявной функции , но поскольку открытые множества в топологии Зарисского настолько велики, они не обязательно являются локальными изоморфизмами. Несмотря на это, этальные отображения сохраняют многие свойства локальных аналитических изоморфизмов и полезны при определении алгебраической фундаментальной группы и этальной топологии .

Слово étale — французское прилагательное , означающее «слабый», как в «слабом приливе», или, образно говоря, спокойный, неподвижный, что-то, что должно успокоиться. ^[1]

Пусть будет кольцевым гомоморфизмом . Это создает -алгебру . Выберем монический многочлен в и многочлен в , так что производная от является единицей в . Мы говорим, что является стандартным эталом, если и может быть выбрано так, что является изоморфным как -алгебра и является каноническим отображением.${\displaystyle \phi :R\to S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle R[x]}$${\displaystyle г}$${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle f'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (R[x]/fR[x])_{г}}$${\displaystyle \фи}$${\displaystyle f}$${\displaystyle г}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (R[x]/fR[x])_{г}}$${\displaystyle \фи}$

Пусть будет морфизмом схем . Мы говорим, что это этальный морфизм , если он обладает любым из следующих эквивалентных свойств:${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$

1. ${\displaystyle f}$плоский и неразветвленный . ^[2 ]
2. ${\displaystyle f}$является гладким морфизмом и неразветвленным. ^[2]
3. ${\displaystyle f}$является плоским, локально конечного представления , и для каждого в , слой является несвязным объединением точек, каждая из которых является спектром конечного сепарабельного расширения поля вычетов . ^[2]${\displaystyle у}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle \каппа (y)}$
4. ${\displaystyle f}$является плоским, локально конечно представимым, и для каждого в и каждого алгебраического замыкания поля вычетов геометрическое волокно является несвязным объединением точек, каждая из которых изоморфна . ^[2]${\displaystyle у}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle к'}$${\displaystyle \каппа (y)}$${\displaystyle f^{-1}(y)\otimes _ {\kappa (y)}k'}$${\displaystyle {\mbox{Spec}}k'}$
5. ${\displaystyle f}$является гладким морфизмом относительной размерности ноль. ^[3]
6. ${\displaystyle f}$является гладким морфизмом и локально квазиконечным морфизмом . ^[4]
7. ${\displaystyle f}$локально имеет конечное представление и локально является стандартным этальным морфизмом, то есть

   Для каждого из , пусть . Тогда существует открытая аффинная окрестность и открытая аффинная окрестность такие , что содержится в и такие, что кольцевой гомоморфизм, индуцированный , является стандартным этальны. ^[5]${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle \operatorname {Спецификация} R}$${\displaystyle у}$${\displaystyle \operatorname {Спецификация} S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(\operatorname {Spec} S)}$${\displaystyle \operatorname {Спецификация} R}$${\displaystyle R\rightarrow S}$${\displaystyle f}$

8. ${\displaystyle f}$локально имеет конечное представление и формально является эталью . ^[2]
9. ${\displaystyle f}$локально имеет конечное представление и формально является этальна для отображений из локальных колец, то есть:

   Пусть будет локальным кольцом и будет идеалом из , таким что . Положим и , и пусть будет каноническим замкнутым погружением. Пусть обозначим замкнутую точку из . Пусть и будут морфизмами такими, что . Тогда существует единственный -морфизм такой, что . ^[6]${\displaystyle А}$${\displaystyle J}$${\displaystyle А}$${\displaystyle J^{2}=0}$${\displaystyle Z=\operatorname {Spec} A}$${\displaystyle Z_{0}=\operatorname {Spec} A/J}$${\displaystyle я\двоеточие Z_{0}\rightarrow Z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle Z_{0}}$${\displaystyle h\двоеточие Z\rightarrow Y}$${\displaystyle g_{0}\colon Z_{0}\rightarrow X}$${\ displaystyle f (g_ {0} (z)) = h (i (z))}$${\displaystyle Y}$${\ displaystyle g \ двоеточие Z \ rightarrow X}$${\displaystyle gi=g_{0}}$

Предположим, что локально нётерово и f локально конечного типа. Для в пусть и пусть будет индуцированным отображением на завершенных локальных кольцах. Тогда следующие условия эквивалентны:${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}\to {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$

1. ${\displaystyle f}$это эталь.
2. Для каждого из индуцированное отображение на завершенных локальных кольцах формально является этальны для адической топологии. ^[7]${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$
3. Для каждого из , является свободным -модулем, а волокно является полем, которое является конечным сепарабельным расширением поля вычетов . ^[7] (Здесь представлен максимальный идеал .)${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}}$${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}/m_{y}{\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$${\displaystyle \каппа (y)}$${\displaystyle m_{y}}$${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}}$
4. ${\displaystyle f}$формально является эталью для отображений локальных колец со следующими дополнительными свойствами. Локальное кольцо можно считать артиновым. Если — максимальный идеал , то можно считать, что удовлетворяет . Наконец, морфизм на полях вычетов можно считать изоморфизмом. ^[8]${\displaystyle А}$${\displaystyle м}$${\displaystyle А}$${\displaystyle J}$${\displaystyle мДж=0}$${\displaystyle \каппа (y)\rightarrow А/м}$

Если, кроме того, все отображения на полях вычетов являются изоморфизмами, или если является сепарабельно замкнутым, то является этальн тогда и только тогда, когда для каждого из индуцированное отображение на заполненных локальных кольцах является изоморфизмом. ^[7]${\displaystyle \каппа (y)\to \каппа (x)}$${\displaystyle \каппа (y)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

Любое открытое погружение является этальным, поскольку оно локально является изоморфизмом.

Покрывающие пространства образуют примеры этальных морфизмов. Например, если — целое число, обратимое в кольце , то${\displaystyle d\geq 1}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\text{Spec}}(R[t,t^{-1},y]/(y^{d}-t))\to {\text{Spec}}(R[t,t^{-1}])}$

является степенным этальны морфизмом.${\displaystyle д}$

Любое разветвленное покрытие имеет неразветвленное место${\displaystyle \pi :X\to Y}$

${\displaystyle \pi :X_{un}\to Y_{un}}$

что является эталем.

Морфизмы

${\displaystyle {\text{Spec}}(L)\to {\text{Spec}}(K)}$

индуцированные конечными сепарабельными расширениями поля являются этальными — они образуют арифметические накрывающие пространства с группой преобразований палубы, заданной соотношением .${\displaystyle {\text{Гал}}(Л/К)}$

Любой кольцевой гомоморфизм вида , где все являются многочленами, а определитель Якоби является единицей в , является этальным. Например, морфизм является этальным и соответствует степени покрытия пространства с группой преобразований палубы.${\displaystyle R\to S=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{g}/(f_{1},\ldots ,f_{n})}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle \det(\partial f_{i}/\partial x_{j})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {C} [t,t^{-1}]\to \mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{n}-t)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}\in Sch/\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

Расширяя предыдущий пример, предположим, что у нас есть морфизм гладких комплексных алгебраических многообразий. Поскольку задается уравнениями, мы можем интерпретировать его как отображение комплексных многообразий. Всякий раз, когда якобиан отличен от нуля, является локальным изоморфизмом комплексных многообразий по теореме о неявной функции . Согласно предыдущему примеру, иметь ненулевой якобиан то же самое, что быть эталью.${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Пусть будет доминантным морфизмом конечного типа с X , Y локально нётеровым, неприводимым и Y нормальным. Если f неразветвлен , то он этален. ^[9]${\displaystyle f:X\to Y}$

Для поля K любая K -алгебра A обязательно плоская. Поэтому A является этальной алгеброй тогда и только тогда, когда она неразветвлена, что также эквивалентно

${\displaystyle A\otimes _{K}{\bar {K}}\cong {\bar {K}}\oplus ...\oplus {\bar {K}},}$

где — сепарабельное замыкание поля K , а правая часть — конечная прямая сумма, все слагаемые которой равны . Эта характеристика этальных K -алгебр является ступенькой в ​​переосмыслении классической теории Галуа (см. Теория Галуа Гротендика ).${\displaystyle {\bar {К}}}$${\displaystyle {\bar {К}}}$

• Этальные морфизмы сохраняются при изменении состава и базы.
• Этальные морфизмы локальны на источнике и на базе. Другими словами, является этальным тогда и только тогда, когда для каждого покрытия открытыми подсхемами ограничение на каждую из открытых подсхем покрытия является этальным, а также тогда и только тогда, когда для каждого покрытия открытыми подсхемами индуцированный морфизм является этальным для каждой подсхемы покрытия. В частности, можно проверить свойство быть этальным на открытых аффинах .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f_{(U)}:X\times _{Y}U\to U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V=\operatorname {Spec} (B)\to U=\operatorname {Spec} (A)}$
• Произведение конечного семейства этальных морфизмов является этальным.
• Для данного конечного семейства морфизмов дизъюнктное объединение является этальным тогда и только тогда, когда каждый из них является этальным.${\displaystyle \{f_{\alpha }:X_{\alpha }\to Y\}}$${\displaystyle \coprod f_{\alpha }:\coprod X_{\alpha }\to Y}$${\displaystyle f_{\альфа}}$
• Пусть и , и предположим, что неразветвлено и является этальным. Тогда является этальным. В частности, если и являются этальными над , то любой -морфизм между и является этальным.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle г}$${\displaystyle gf}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$
• Квазикомпактные этальные морфизмы квазиконечны .
• Морфизм является открытым погружением тогда и только тогда, когда он является этальным и радикальным . ^[10]${\displaystyle f:X\to Y}$
• Если является эталью и сюръективным, то (конечно или нет).${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \dim X=\dim Y}$

Этальные морфизмы

ф : X  →  Y

являются алгебраическим аналогом локальных диффеоморфизмов . Точнее, морфизм между гладкими многообразиями является этальнм в точке тогда и только тогда, когда дифференциал между соответствующими касательными пространствами является изоморфизмом. Это, в свою очередь, является как раз тем условием, которое необходимо для того, чтобы отображение между многообразиями было локальным диффеоморфизмом, т.е. для любой точки y ∈ Y существует открытая окрестность U точки x такая, что ограничение f на U является диффеоморфизмом . Этот вывод не выполняется в алгебраической геометрии, поскольку топология слишком груба. Например, рассмотрим проекцию f параболы

у  =  х ²

к оси Y. Этот морфизм является эталью в каждой точке, кроме начала координат (0, 0), поскольку дифференциал задается как 2 x , который не обращается в нуль в этих точках.

Однако не существует ( Зарисского ) локального обратного отображения f , просто потому, что квадратный корень не является алгебраическим отображением , не задаваемым многочленами. Однако есть средство для этой ситуации, использующее этальную топологию. Точное утверждение таково: если является этальным и конечным, то для любой точки y , лежащей в Y , существует этальный морфизм V → Y , содержащий y в своем образе ( V можно рассматривать как этальную открытую окрестность y ), такой, что когда мы меняем базу f на V , то (первый член был бы прообразом V с помощью f , если бы V было открытой окрестностью Зарисского) является конечным дизъюнктным объединением открытых подмножеств, изоморфных V . Другими словами, этально-локально в Y морфизм f является топологическим конечным покрытием.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X\times _{Y}V\to V}$

Для гладкого морфизма относительной размерности n , этальнo-локально в X и в Y , f является открытым погружением в аффинное пространство . Это этальный аналог структурной теоремы о погружениях .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{n}}$

• Чистота (алгебраическая геометрия)

• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Гротендик, Александр ; Жан Дьедонне (1964), «Элементы алгебраической геометрии (редигес с сотрудничеством Жана Дьедонне): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première party», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 20 : 5– 259, номер документа : 10.1007/bf02684747, S2CID  118147570
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1964), «Элементы алгебраической геометрии (редиги с сотрудничеством Жана Дьедонне): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première party», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 20 : 5– 259, номер документа : 10.1007/bf02684747, S2CID  118147570
• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1967), «Элементы алгебраической геометрии (редигес с сотрудничеством Жана Дьедонне): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 32 : 5– 333, номер документа : 10.1007/BF02732123, S2CID  189794756
• Гротендик, Александр ; Рейно, Мишель (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe Fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ) , Париж: Société Mathématique de France, xviii+327, arXiv : math.AG/0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2
• Дж. С. Милн (1980), Этальные когомологии , Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, ISBN 0-691-08238-3
• JS Milne (2008). Лекции по этальному когомологизму