Полиномы Золотарева

В математике многочлены Золотарева — это многочлены, используемые в теории приближения . Иногда их используют как альтернативу многочленам Чебышева, где точность приближения вблизи начала координат имеет меньшее значение. Многочлены Золотарева отличаются от многочленов Чебышева тем, что два коэффициента фиксируются заранее, а не могут принимать какие-либо значения. Многочлены Чебышева первого рода являются частным случаем многочленов Золотарева. Эти многочлены были введены русским математиком Егором Ивановичем Золотаревым в 1868 году.

Определение и свойства

Полиномы Золотарева степени имеют вид н {\displaystyle n} х {\displaystyle x}

З н ( х , σ ) = х н − σ х н − 1 + ⋯ + а к х к + ⋯ + а 0   , {\displaystyle Z_{n}(x,\sigma )=x^{n}-\sigma x^{n-1}+\cdots +a_{k}x^{k}+\cdots +a_{0}\ ,}

где — заданное значение для и выбираются таким образом, чтобы отклонение от нуля было минимальным в интервале . [1] σ {\displaystyle \сигма} а н − 1 {\displaystyle a_{n-1}} а к ∈ Р {\displaystyle a_{k}\in \mathbb {R} } З н ( х ) {\displaystyle Z_{n}(x)} [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]}

Подмножество полиномов Золотарева можно выразить через полиномы Чебышева первого рода, . Для Т н ( х ) {\displaystyle T_{n}(x)}

0 ≤ σ ≤ 1 н загар 2 ⁡ π 2 н {\displaystyle 0\leq \sigma \leq {\dfrac {1}{n}}\tan ^{2}{\dfrac {\pi }{2n}}}

затем

З н ( х , σ ) = ( 1 + σ ) н Т н ( х − σ 1 + σ )   . {\displaystyle Z_{n}(x,\sigma )=(1+\sigma )^{n}T_{n}\left({\frac {x-\sigma }{1+\sigma }}\right)\ .}

Для значений, больших, чем максимум этого диапазона, полиномы Золотарева могут быть выражены через эллиптические функции . Для полином Золотарева идентичен эквивалентному полиному Чебышева. Для отрицательных значений полином может быть найден из полинома положительного значения, [2] σ {\displaystyle \сигма} σ = 0 {\displaystyle \sigma =0} σ {\displaystyle \sigma }

Z n ( x , − σ ) = ( − 1 ) n Z n ( − x , σ )   . {\displaystyle Z_{n}(x,-\sigma )=(-1)^{n}Z_{n}(-x,\sigma )\ .}

Полином Золотарева можно разложить в сумму полиномов Чебышева, используя соотношение [3]

Z n ( x ) = ∑ k = 0 n a k T k ( x )   . {\displaystyle Z_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}T_{k}(x)\ .}
Полином Золотарева 8-й степени (слева) и 9-й степени (справа). [4] Шкала x обозначена как частота прототипа , как это было бы сделано при использовании полинома в конструкции фильтра.

В терминах эллиптических функций Якоби

Первоначальное решение задачи аппроксимации, данное Золотаревым, было в терминах эллиптических функций Якоби . Золотарев дал общее решение, где число нулей слева от пикового значения ( ) в интервале не равно числу нулей справа от этого пика ( ). Степень полинома равна . Для многих приложений используется и затем нужно только рассматривать. Общие полиномы Золотарева определяются как [5] q {\displaystyle q} [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} p {\displaystyle p} n = p + q {\displaystyle n=p+q} p = q {\displaystyle p=q} n {\displaystyle n}

Z n ( x | κ ) = ( − 1 ) p 2 [ ( H ( u − v ) H ( u + v ) ) n + ( H ( u + v ) H ( u − v ) ) n ] {\displaystyle Z_{n}(x|\kappa )={\frac {(-1)^{p}}{2}}\left[\left({\dfrac {H(u-v)}{H(u+v)}}\right)^{n}+\left({\dfrac {H(u+v)}{H(u-v)}}\right)^{n}\right]}
где
u = F ( sn ⁡ ( v | κ ) 1 + x x + 2 sn 2 ⁡ ( v | κ ) − 1 | κ ) {\displaystyle u=F\left(\left.\operatorname {sn} \left(\left.v\right|\kappa \right){\sqrt {\dfrac {1+x}{x+2\operatorname {sn} ^{2}\left(\left.v\right|\kappa \right)-1}}}\right|\kappa \right)}
v = p n K ( κ ) {\displaystyle v={\dfrac {p}{n}}K(\kappa )}
H ( φ ) {\displaystyle H(\varphi )} это функция Якоби эта
F ( φ | κ ) {\displaystyle F(\varphi |\kappa )} — неполный эллиптический интеграл первого рода
K ( κ ) {\displaystyle K(\kappa )} является четвертьволновым полным эллиптическим интегралом первого рода . То есть, [6] K ( κ ) = F ( π 2 | κ ) {\displaystyle K(\kappa )=F\left(\left.{\frac {\pi }{2}}\right|\kappa \right)}
κ {\displaystyle \kappa } эллиптический модуль Якоби
sn ⁡ ( φ | κ ) {\displaystyle \operatorname {sn} (\varphi |\kappa )} — эллиптический синус Якоби .

Изменение функции в интервале [−1,1] является равноволнистым, за исключением одного пика, который больше остальных. Положение и ширина этого пика могут быть установлены независимо. Положение пика задается формулой [7]

x max = 1 − 2 sn 2 ⁡ ( v | κ ) + 2 sn ⁡ ( v | κ ) cn ⁡ ( v | κ ) dn ⁡ ( v | κ ) Z ( v | κ ) {\displaystyle x_{\text{max}}=1-2\operatorname {sn} ^{2}(v|\kappa )+2{\dfrac {\operatorname {sn} (v|\kappa )\operatorname {cn} (v|\kappa )}{\operatorname {dn} (v|\kappa )}}Z(v|\kappa )}
где
cn ⁡ ( φ | κ ) {\displaystyle \operatorname {cn} (\varphi |\kappa )} это эллиптический косинус Якоби
dn ⁡ ( φ | κ ) {\displaystyle \operatorname {dn} (\varphi |\kappa )} это амплитуда дельта Якоби
Z ( φ | κ ) {\displaystyle Z(\varphi |\kappa )} это дзета-функция Якоби
v {\displaystyle v} как определено выше.

Высота пика определяется по формуле [8]

Z n ( x max | κ ) = cosh ⁡ 2 n ( σ max Z ( v | κ ) − Π ( σ max , v | κ ) ) {\displaystyle Z_{n}(x_{\text{max}}|\kappa )=\cosh 2n{\bigl (}\sigma _{\text{max}}Z(v|\kappa )-\varPi (\sigma _{\text{max}},v|\kappa ){\bigr )}}
где
Π ( ϕ 1 , ϕ 2 | κ ) {\displaystyle \varPi (\phi _{1},\phi _{2}|\kappa )} — неполный эллиптический интеграл третьего рода
σ max = F ( sin − 1 ⁡ ( 1 κ sn ⁡ ( v | κ ) x max − x L x max + 1 ) | κ ) {\displaystyle \sigma _{\text{max}}=F\left(\left.\sin ^{-1}\left({\dfrac {1}{\kappa \operatorname {sn} (v|\kappa )}}{\sqrt {\dfrac {x_{\text{max}}-x_{\mathrm {L} }}{x_{\text{max}}+1}}}\right)\right|\kappa \right)}
x L {\displaystyle x_{\mathrm {L} }} — это положение на левом плече пика, которое имеет ту же высоту, что и равноволнистые пики.

функция Якоби эта

Эта-функция Якоби может быть определена через вспомогательную тета-функцию Якоби , [9]

H ( φ | κ ) = θ 1 ( a | b ) {\displaystyle H(\varphi |\kappa )=\theta _{1}(a|b)}
где,
a = π φ 2 K ′ ( κ ) {\displaystyle a={\frac {\pi \varphi }{2K'(\kappa )}}}
b = exp ⁡ ( − π K ′ ( κ ) K ( κ ) ) {\displaystyle b=\exp \left(-{\frac {\pi K'(\kappa )}{K(\kappa )}}\right)}
K ′ ( κ ) = K ( 1 − κ 2 )   . {\displaystyle K'(\kappa )=K({\sqrt {1-\kappa ^{2}}})\ .} [10]

Приложения

Многочлены были введены Егором Ивановичем Золотаревым в 1868 году как средство равномерного приближения многочленов степени на интервале [−1,1]. Пафнутий Чебышев показал в 1858 году, что можно приблизить на этом интервале многочленом степени не более с погрешностью . В 1868 году Золотарев показал, что можно приблизить многочленом степени не более , на две степени ниже. Погрешность метода Золотарева определяется по формуле [11] x n + 1 {\displaystyle x^{n+1}} x n + 1 {\displaystyle x^{n+1}} n {\displaystyle n} 2 − n {\displaystyle 2^{-n}} x n + 1 − σ x n {\displaystyle x^{n+1}-\sigma x^{n}} n − 1 {\displaystyle n-1}

2 − n ( 1 + σ 1 + n ) n + 1   . {\displaystyle 2^{-n}\left({\dfrac {1+\sigma }{1+n}}\right)^{n+1}\ .}

Процедура была дополнительно развита Наумом Ачиезером в 1956 году. [12]

Полиномы Золотарева используются при проектировании фильтров Ахизера-Золотарева . Впервые они были использованы в этой роли в 1970 году Ральфом Леви при проектировании микроволновых волноводных фильтров . [13] Фильтры Ахизера-Золотарева похожи на фильтры Чебышева в том, что они имеют одинаковое затухание пульсаций через полосу пропускания , за исключением того, что затухание превышает заданную пульсацию для пика, ближайшего к началу координат. [14]

Полиномы Золотарева могут быть использованы для синтеза диаграмм направленности линейных антенных решеток , впервые предложенных DA McNamara в 1985 году. Работа была основана на применении фильтра с углом луча, используемым в качестве переменной вместо частоты. Диаграмма луча Золотарева имеет боковые лепестки равного уровня. [15]

Ссылки

  1. ↑ Пинкус, стр. 463–464.
  2. ^ Пинкус, стр. 464
  3. ^ Заградник и Влчек, стр. 58
  4. ^ Кэмерон и др. , стр. 400
  5. ^ Заградник и Мирослав, стр. 57–58.
  6. ^ Биби, стр. 624
  7. ^ Заградник и Мирослав, стр. 58
  8. ^ Заградник и Мирослав, стр. 58
  9. ^ Биби, стр. 679
  10. ^ Биби, стр. 625
  11. ↑ Ньюман и Редди, стр. 310
  12. ↑ Ньюман и Редди, стр. 310, 316.
  13. ^ Хансен, стр.87
  14. ^ Кэмерон и др. , стр. 399
  15. ^ Хансен, стр.87

Библиография

  • Achieser, Naum , Hymnan, CJ (перевод), Theory of Approximation , New York: Frederick Ungar Publishing, 1956. Переиздание Dover 2013 ISBN  0486495434 .
  • Биби, Нельсон Х. Ф., Справочник по вычислению математических функций , Springer, 2017 ISBN 978-3-319-64110-2 . 
  • Кэмерон, Ричард Дж.; Кудсия, Чандра М.; Мансур, Раафат Р., Микроволновые фильтры для систем связи , John Wiley & Sons, 2018 ISBN 1118274342 . 
  • Хансен, Роберт С., Фазированные антенные решетки , Wiley, 2009 ISBN 0470529172 . 
  • Макнамара, Д.А., «Оптимальное возбуждение моноимпульсной линейной решетки с использованием полиномов Золотарева», Электрон , т. 21, вып. 16, стр. 681–682, август 1985 г.
  • Ньюман, DJ, Редди, AR, «Рациональные приближения к x n {\displaystyle x^{n}} II», Канадский математический журнал , т. 32, № 2, стр. 310–316, апрель 1980 г.
  • Пинкус, Аллан, «Полиномы Золотарева», Хазевинкель, Михил (редактор), Математическая энциклопедия, Приложение III , Springer Science & Business Media, 2001 ISBN 1402001983 . 
  • Влчек, Мирослав, Унбехауен, Рольф, «Полиномы Золотарева и оптимальные КИХ-фильтры», IEEE Transactions on Signal Processing , т. 47, вып. 3, стр. 717–730, март 1999 г. (исправления от июля 2000 г.).
  • Заградник, Павел; Влчек, Мирослав, «Аналитическое проектирование двумерных узкополосных режекторных КИХ-фильтров», стр. 56–63 в Computational Science — ICCS 2004: Proceedings of the 4th International Conference , Bubak, Marian; van Albada, Geert D.; Sloot, Peter MA; Dongarra, Jack (редакторы), Springer Science & Business Media, 2004 ISBN 3540221298 . 
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Zolotarev_polynomials&oldid=1225201480"