Дзета-функция Якоби

В математике дзета-функция Якоби Z ( u ) является логарифмической производной тета -функции Якоби Θ(u). Его также обычно обозначают как ^[1]${\displaystyle \operatorname {zn} (u,k)}$

${\displaystyle \Theta (u)=\Theta _{4}\left({\frac {\pi u}{2K}}\right)}$

${\displaystyle Z(u)={\frac {\partial }{\partial u}}\ln \Theta (u)}$ ${\displaystyle ={\frac {\Theta '(u)}{\Theta (u)}}}$^[2]

${\displaystyle Z(\phi |m)=E(\phi |m)-{\frac {E(m)}{K(m)}}F(\phi |m)}$^[3]

Где E, K и F — общие неполные эллиптические интегралы первого и второго рода. Дзета-функции Якоби, являясь видами тета-функций Якоби, имеют приложения во всех соответствующих областях и приложениях.

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,k)=Z(u)=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}v-{\frac {E}{K}} дв}$^[1]

Это связывает общепринятую нотацию Якоби, , , . ^[1] с дзета-функцией Якоби.${\displaystyle \operatorname {dn} {u}={\sqrt {1-m\sin {\theta }^{2}}}}$${\displaystyle \operatorname {sn} u=\sin {\theta }}$${\displaystyle \operatorname {cn} u=\cos {\theta }}$

Некоторые дополнительные отношения включают в себя,

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,k)={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\Theta _{1}'{\frac {\pi u}{2K}}}{\Theta _{1}{\frac {\pi u}{2K}}}}-{\frac {\operatorname {cn} {u}\,\operatorname {dn} {u}}{\operatorname {sn} {u}}}}$^[1]

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,k)={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\Theta _{2}'{\frac {\pi u}{2K}}}{\Theta _{2}{\frac {\pi u}{2K}}}}-{\frac {\operatorname {sn} {u}\,\operatorname {dn} {u}}{\operatorname {cn} {u}}}}$^[1]

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,k)={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\Theta _{3}'{\frac {\pi u}{2K}}}{\Theta _{3}{\frac {\pi u}{2K}}}}-k^{2}{\frac {\operatorname {sn} {u}\,\operatorname {cn} {u}}{\operatorname {dn} {u}}}}$^[1]

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,k)={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\Theta _{4}'{\frac {\pi u}{2K}}}{ \Theta _{4}{\frac {\pi u}{2K}}}}}$^[1]

• https://booksite.elsevier.com/samplechapters/9780123736376/Sample_Chapters/01~Front_Matter.pdf Pg.xxxiv
• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 16". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Applied Mathematics. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 578. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• http://mathworld.wolfram.com/JacobiZetaFunction.html

Эта статья, связанная с математическим анализом , является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е