алгебра Пуассона

В математике алгебра Пуассона — это ассоциативная алгебра вместе со скобкой Ли , которая также удовлетворяет закону Лейбница ; то есть скобка также является дифференцированием . Алгебры Пуассона естественным образом появляются в гамильтоновой механике , а также играют центральную роль в изучении квантовых групп . Многообразия со структурой алгебры Пуассона известны как многообразия Пуассона , из которых симплектические многообразия и группы Пуассона–Ли являются частным случаем. Алгебра названа в честь Симеона Дени Пуассона .

Алгебра Пуассона — это векторное пространство над полем K, снабженное двумя билинейными произведениями ⋅ и {, }, обладающее следующими свойствами:

• Произведение ⋅ образует ассоциативную K -алгебру .
• Произведение {, }, называемое скобкой Пуассона , образует алгебру Ли , поэтому оно антисимметрично и подчиняется тождеству Якоби .
• Скобка Пуассона действует как вывод ассоциативного произведения ⋅, так что для любых трех элементов x , y и z в алгебре имеем { x , y ⋅ z } = { x , y } ⋅ z + y ⋅ { x , z }.

Последнее свойство часто позволяет задать множество различных формулировок алгебры, как отмечено в примерах ниже.

Алгебры Пуассона встречаются в различных ситуациях.

Пространство действительнозначных гладких функций над симплектическим многообразием образует алгебру Пуассона. На симплектическом многообразии каждая действительнозначная функция H на многообразии индуцирует векторное поле X _H , гамильтоново векторное поле . Тогда, если заданы любые две гладкие функции F и G над симплектическим многообразием, скобка Пуассона может быть определена как:

${\displaystyle \{F,G\}=dG(X_{F})=X_{F}(G)\,}$.

Это определение является последовательным отчасти потому, что скобка Пуассона действует как вывод. Эквивалентно, можно определить скобку {,} как

${\displaystyle X_{\{F,G\}}=[X_{F},X_{G}]\,}$

где [,] — производная Ли . Когда симплектическое многообразие — это R ^{2 n} со стандартной симплектической структурой, то скобка Пуассона принимает хорошо известную форму

${\displaystyle \{F,G\}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial q_{i}}}.}$

Аналогичные соображения применимы к многообразиям Пуассона , которые обобщают симплектические многообразия, допуская, чтобы симплектический бивектор имел дефицит ранга.

Тензорная алгебра алгебры Ли имеет структуру алгебры Пуассона. Очень явная конструкция этого дана в статье об универсальных обертывающих алгебрах .

Построение продолжается, сначала строя тензорную алгебру базового векторного пространства алгебры Ли. Тензорная алгебра — это просто несвязное объединение ( прямая сумма ⊕) всех тензорных произведений этого векторного пространства. Затем можно показать, что скобка Ли может быть последовательно поднята до всей тензорной алгебры: она подчиняется как правилу произведения, так и тождеству Якоби скобки Пуассона и, таким образом, является скобкой Пуассона при поднятии. Пара произведений {,} и ⊗ затем образуют алгебру Пуассона. Заметим, что ⊗ не является ни коммутативной, ни антикоммутативной: она просто ассоциативна.

Таким образом, мы имеем общее утверждение, что тензорная алгебра любой алгебры Ли является алгеброй Пуассона. Универсальная обертывающая алгебра получается путем модификации структуры алгебры Пуассона.

Если A — ассоциативная алгебра , то наложение коммутатора [ x , y ] = xy − yx превращает ее в алгебру Пуассона (и, таким образом, также в алгебру Ли) A _L . Обратите внимание, что полученную A _L не следует путать с конструкцией тензорной алгебры, описанной в предыдущем разделе. При желании можно было бы применить и эту конструкцию, но это дало бы другую алгебру Пуассона, которая была бы намного больше.

Для алгебры вершинных операторов ( V , Y , ω , 1) пространство V / C ₂ ( V ) является алгеброй Пуассона с { a , b } = a0b и a ⋅ b = a ₋ 1b . Для некоторых алгебр вершинных операторов _{эти алгебры Пуассона} являются конечномерными.

Алгебрам Пуассона можно задать Z ₂ - градуировку одним из двух способов. Эти два результата дают супералгебру Пуассона и алгебру Герстенхабера . Разница между ними заключается в градуировке самого произведения. Для супералгебры Пуассона градуировка задается как

${\displaystyle |\{a,b\}|=|a|+|b|}$

тогда как в алгебре Герстенхабера скобка уменьшает оценку на единицу:

${\displaystyle |\{a,b\}|=|a|+|b|-1}$

В обоих этих выражениях обозначает градацию элемента ; обычно он подсчитывает, как может быть разложен на четное или нечетное произведение порождающих элементов. Алгебры Герстенхабера традиционно встречаются в BRST-квантовании .${\displaystyle |a|=\deg a}$${\displaystyle а}$${\displaystyle а}$

• Кронштейн Moyal
• Формула квантования Концевича

• Ю. Косман-Шварцбах (2001) [1994], «Алгебра Пуассона», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Бхаскара, КХ; Вишванат, К. (1988). Пуассоновы алгебры и пуассоновы многообразия . Лонгман. ISBN 0-582-01989-3.