Матрица узловой проводимости

Матрица N x N, описывающая линейную систему электропитания с N шинами

В энергетике матрица узловых проводимостей (или просто матрица проводимостей ) — это матрица N x N , описывающая линейную энергосистему с N шинами . Она представляет узловую проводимость шин в энергосистеме. В реальных системах, которые содержат тысячи шин, матрица проводимостей довольно разрежена. Каждая шина в реальной энергосистеме обычно соединена только с несколькими другими шинами через линии электропередачи . ^[1] Матрица узловых проводимостей используется при формулировке задачи потока мощности .

Построение по однолинейной схеме

Матрица узловых проводимостей энергосистемы является формой матрицы Лапласа диаграммы узловых проводимостей энергосистемы, которая выводится путем применения законов Кирхгофа к диаграмме проводимостей энергосистемы. Начиная с однолинейной диаграммы энергосистемы, диаграмма узловых проводимостей выводится следующим образом:

заменяя каждую линию на диаграмме ее эквивалентной проводимостью, и
преобразование всех источников напряжения в эквивалентные им источники тока.

Рассмотрим граф проводимости с шинами. Вектор напряжений шин , , является вектором , где - напряжение шины , а вектор токовых инжекций шины , , является вектором , где - кумулятивный ток, инжектируемый на шину всеми нагрузками и источниками, подключенными к шине. Проводимость между шинами и является комплексным числом , и является суммой проводимостей всех линий, соединяющих шины и . Проводимость между шиной и землей равна , и является суммой проводимостей всех нагрузок, подключенных к шине . $N$ $V$ $N\times 1$ $V_{k}$ $к$ $Я$ $N\times 1$ $I_{k}$ $к$ $к$ $я$ $y_{ki}$ $к$ $я$ $я$ $y_{k}$ $к$

Рассмотрим введение тока , , в шину . Применяем закон тока Кирхгофа $I_{k}$ $к$

I_{k}=\sum _{i=1,2,\ldots ,N}I_{ki}

где - ток от шины к шине для и - ток от шины к земле через нагрузку шины. Применяя закон Ома к диаграмме проводимости, напряжения шины и токи линии и нагрузки связаны соотношением $I_{ки}$ $к$ $я$ $k\neq i$ $I_{kk}$ $к$

I_{ki}={\begin{cases}V_{k}{y_{k}},&{\mbox{if}}\quad i=k\\(V_{k}-V_{i})y_{ki},&{\mbox{if}}\quad i\neq k.\end{cases}}

Поэтому,

I_{k}=\sum _{i=1,2,\ldots ,N \atop i\neq k}{(V_{k}-V_{i})y_{ki}}+V_{k}y_{k}=V_{k}\left(y_{k}+\sum _{i=1,2,\ldots ,N \atop i\neq k}y_{ki}\right)-\sum _{i=1,2,\ldots ,N \atop i\neq k}V_{i}y_{ki}

Это отношение можно кратко записать в матричной форме с использованием матрицы проводимости. Узловая матрица проводимости — это матрица, такая, что напряжение шины и инжекция тока удовлетворяют закону Ома $Y$ $N\times N$

YV=I

в векторном формате. Затем записи определяются уравнениями для текущих инъекций в шины, что приводит к $Y$

Y_{kj}={\begin{cases}y_{k}+\sum _{i=1,2,\ldots ,N \atop i\neq k}{y_{ki}},&{\mbox{if}}\quad k=j\\-y_{kj},&{\mbox{if}}\quad k\neq j.\end{cases}}

В качестве примера рассмотрим диаграмму проводимости полностью связанной трехшинной сети на рисунке 1. Матрица проводимости, полученная из трехшинной сети на рисунке, имеет вид:

Y={\begin{pmatrix}y_{1}+y_{12}+y_{13}&-y_{12}&-y_{13}\\-y_{12}&y_{2}+y_{ 12}+y_{23}&-y_{23}\\-y_{13}&-y_{23}&y_{3}+y_{13}+y_{23}\\\end{pmatrix}}

Диагональные элементы называются самопроводимостью узлов сети. Недиагональные элементы являются взаимными проводимостями узлов, соответствующими индексам элемента. Матрица проводимости обычно является симметричной матрицей , как . Однако расширения линейной модели могут сделать асимметричной. Например, моделирование фазосдвигающих трансформаторов приводит к эрмитовой матрице проводимости. ^[2] $Y_{11},Y_{22},...,Y_{nn}$ $Y$ $Y_{ki}=Y_{ik}$ $Y$

Приложения

Матрица проводимости чаще всего используется при формулировке задачи потока мощности . ^[3]^[4]

Смотрите также

Ссылки

^ Грейнджер, Джон (1994). Анализ энергосистемы . McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0070612938.
^ Саадат, Хади (1999). "6.7 Трансформаторы с переключением ответвлений". Анализ энергосистемы . Соединенное Королевство: WCB/McGraw-Hill. ISBN 978-0075616344.
^ МакКэлли, Джеймс. "Уравнения потока мощности" (PDF) . Инженерное дело штата Айова .
^ Саадат, Хади (1999). Анализ энергосистемы . Соединенное Королевство: WCB/McGraw-Hill. ISBN 978-0075616344.

Внешние ссылки

Программа и исходный код на языке AC/C++ для вычисления матриц Ybus и Zbus

[1] Грейнджер, Джон (1994). Анализ энергосистемы . McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0070612938.

[2] Саадат, Хади (1999). "6.7 Трансформаторы с переключением ответвлений". Анализ энергосистемы . Соединенное Королевство: WCB/McGraw-Hill. ISBN 978-0075616344.

[3] МакКэлли, Джеймс. "Уравнения потока мощности" (PDF) . Инженерное дело штата Айова .

[4] Саадат, Хади (1999). Анализ энергосистемы . Соединенное Королевство: WCB/McGraw-Hill. ISBN 978-0075616344.