Уравнение распыления Уильямса

В горении уравнение распыления Вильямса , также известное как уравнение Вильямса–Больцмана , описывает статистическую эволюцию распылений, содержащихся в другой жидкости, аналогично уравнению Больцмана для молекул, названному в честь Формана А. Уильямса , который вывел это уравнение в 1958 году . [1] [2]

Математическое описание[3]

Предполагается, что спреи имеют сферическую форму с радиусом , хотя это предположение справедливо для твердых частиц (капель жидкости), когда их форма не влияет на горение. Для того чтобы капли жидкости были почти сферическими, спрей должен быть разбавленным (общий объем, занимаемый спреями, намного меньше объема газа), а число Вебера , где — плотность газа, — скорость капель распыления, — скорость газа, а — поверхностное натяжение спрея жидкости, должно быть . г {\displaystyle r} Вт е = 2 г ρ г | в − ты | 2 / σ {\displaystyle We=2r\rho _{g}|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}/\sigma } ρ г {\displaystyle \rho _{g}} в {\displaystyle \mathbf {v} } ты {\displaystyle \mathbf {u} } σ {\displaystyle \сигма} Вт е ≪ 10 {\displaystyle Нам\10}

Уравнение описывается функцией плотности чисел , которая представляет вероятное число распыляемых частиц (капель) химических видов (от общего количества видов), которые можно найти с радиусами между и , расположенных в пространственном диапазоне между и , движущихся со скоростью между и , имеющих температуру между и в момент времени . Тогда уравнение распыления для эволюции этой функции плотности задается как ф дж ( г , х , в , Т , т ) г г г х г в г Т {\ displaystyle f_ {j} (r, \ mathbf {x}, \ mathbf {v}, T, t) \, dr \, d \ mathbf {x} \, d \ mathbf {v} \, dT} дж {\displaystyle j} М {\displaystyle М} г {\displaystyle r} г + г г {\displaystyle r+dr} х {\displaystyle \mathbf {x} } х + г х {\displaystyle \mathbf {x} +d\mathbf {x} } в {\displaystyle \mathbf {v} } в + г в {\displaystyle \mathbf {v} +d\mathbf {v} } Т {\displaystyle Т} Т + г Т {\displaystyle T+dT} т {\displaystyle т}

∂ ф дж ∂ т + ∇ х ⋅ ( в ф дж ) + ∇ в ⋅ ( Ф дж ф дж ) = − ∂ ∂ г ( Р дж ф дж ) − ∂ ∂ Т ( Э дж ф дж ) + В дж + Г дж , дж = 1 , 2 , … , М . {\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial t}}+\nabla _{x}\cdot (\mathbf {v} f_{j})+\nabla _{v}\cdot (F_{j}f_{j})=-{\frac {\partial }{\partial r}}(R_{j}f_{j})-{\frac {\partial }{\partial T}}(E_{j}f_{j})+Q_{j}+\Gamma _{j},\quad j=1,2,\ldots ,M.}

где

Ф дж = ( г в г т ) дж {\displaystyle F_{j}=\left({\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right)_{j}} - сила на единицу массы, действующая на брызги вида (ускорение, приложенное к брызгам), дж й {\displaystyle j^{\text{th}}}
Р дж = ( г г г т ) дж {\displaystyle R_{j}=\left({\frac {dr}{dt}}\right)_{j}} скорость изменения размера видовой аэрации, дж й {\displaystyle j^{\text{th}}}
Э дж = ( г Т г т ) дж {\displaystyle E_{j}=\left({\frac {dT}{dt}}\right)_{j}} - скорость изменения температуры распыляемого вида за счет теплопередачи, [4] дж й {\displaystyle j^{\text{th}}}
В дж {\displaystyle Q_{j}} - скорость изменения функции плотности числа частиц распыляемой жидкости из-за зародышеобразования, распада жидкости и т. д., дж й {\displaystyle j^{\text{th}}}
Г дж {\displaystyle \Гамма _{j}} скорость изменения функции плотности численности частиц аэрозоля из-за столкновения с другими частицами аэрозоля. дж й {\displaystyle j^{\text{th}}}

Упрощенная модель ракеты на жидком топливе

Эта модель для ракетного двигателя была разработана Пробертом, [5] Уильямсом [1] [6] и Танасавой. [7] [8] Разумно пренебречь , для расстояний, не очень близких к распылителю, где происходит основная часть сгорания. Рассмотрим одномерный жидкостный ракетный двигатель, расположенный в , где распыляется топливо. Пренебрегая (функция плотности определена без температуры, поэтому соответственно размеры изменяются) и в связи с тем, что средний поток параллелен оси, уравнение стационарного распыления сводится к В дж ,   Г дж {\displaystyle Q_{j},\ \Gamma _{j}} х = 0 {\displaystyle x=0} Э дж {\displaystyle E_{j}} ф дж {\displaystyle f_{j}} х {\displaystyle x}

∂ ∂ г ( Р дж ф дж ) + ∂ ∂ х ( ты дж ф дж ) + ∂ ∂ ты дж ( Ф дж ф дж ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}(R_{j}f_{j})+{\frac {\partial }{\partial x}}(u_{j}f_{j})+{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}(F_{j}f_{j})=0}

где - скорость в направлении. Интегрирование по скорости дает u j {\displaystyle u_{j}} x {\displaystyle x}

∂ ∂ r ( ∫ R j f j d u j ) + ∂ ∂ x ( ∫ u j f j d u j ) + [ F j f j ] 0 ∞ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}\left(\int R_{j}f_{j}\,du_{j}\right)+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\int u_{j}f_{j}\,du_{j}\right)+[F_{j}f_{j}]_{0}^{\infty }=0}

Вклад последнего члена (член ускорения распыления) становится нулевым (используя теорему о дивергенции ), поскольку когда очень большой, что обычно имеет место в ракетных двигателях. Скорость размера капли хорошо моделируется с использованием механизмов испарения, как f j → 0 {\displaystyle f_{j}\rightarrow 0} u {\displaystyle u} R j {\displaystyle R_{j}}

R j = − χ j r k j , χ j ≥ 0 , 0 ≤ k j ≤ 1 {\displaystyle R_{j}=-{\frac {\chi _{j}}{r^{k_{j}}}},\quad \chi _{j}\geq 0,\quad 0\leq k_{j}\leq 1}

где не зависит от , но может зависеть от окружающего газа. Определение количества капель на единицу объема на единицу радиуса и средних количеств, усредненных по скоростям, χ j {\displaystyle \chi _{j}} r {\displaystyle r}

G j = ∫ f j d u j , R ¯ j = ∫ R j f j d u j G j , u ¯ j = ∫ u j f j d u j G j {\displaystyle G_{j}=\int f_{j}\,du_{j},\quad {\bar {R}}_{j}={\frac {\int R_{j}f_{j}\,du_{j}}{G_{j}}},\quad {\bar {u}}_{j}={\frac {\int u_{j}f_{j}\,du_{j}}{G_{j}}}}

уравнение становится

∂ ∂ r ( R ¯ j G j ) + ∂ ∂ x ( u ¯ j G j ) = 0. {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}({\bar {R}}_{j}G_{j})+{\frac {\partial }{\partial x}}({\bar {u}}_{j}G_{j})=0.}

Если далее предположить, что не зависит от , и с преобразованной координатой u ¯ j {\displaystyle {\bar {u}}_{j}} r {\displaystyle r}

η j = [ r k j + 1 + ( k j + 1 ) ∫ 0 x χ j u ¯ j d x ] 1 / ( k j + 1 ) {\displaystyle \eta _{j}=\left[r^{k_{j}+1}+(k_{j}+1)\int _{0}^{x}{\frac {\chi _{j}}{{\bar {u}}_{j}}}\,dx\right]^{1/(k_{j}+1)}}

Если камера сгорания имеет переменную площадь поперечного сечения , известную функцию для и с площадью в месте распыления, то решение задается выражением A ( x ) {\displaystyle A(x)} x > 0 {\displaystyle x>0} A o {\displaystyle A_{o}}

G j ( η j ) = G j , o ( η j ) A o u ¯ j , o A u ¯ j ( r η j ) k j {\displaystyle G_{j}(\eta _{j})=G_{j,o}(\eta _{j}){\frac {A_{o}{\bar {u}}_{j,o}}{A{\bar {u}}_{j}}}\left({\frac {r}{\eta _{j}}}\right)^{k_{j}}} .

где — распределение численности и средняя скорость соответственно. G j , 0 = G j ( r , 0 ) ,   u ¯ j , 0 = u ¯ j ( x = 0 ) {\displaystyle G_{j,0}=G_{j}(r,0),\ {\bar {u}}_{j,0}={\bar {u}}_{j}(x=0)} x = 0 {\displaystyle x=0}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab Williams, FA (1958). "Горение и распыление распылением". Physics of Fluids . 1 (6). AIP Publishing: 541. Bibcode : 1958PhFl....1..541W. doi : 10.1063/1.1724379. ISSN  0031-9171.
  2. ^ Уильямс, ФА (1961). «Прогресс в анализе распылительного горения». Симпозиум (международный) по горению . 8 (1). Elsevier BV: 50– 69. doi :10.1016/s0082-0784(06)80487-x. ISSN  0082-0784.
  3. ^ Уильямс, ФА (1985). Теория горения: фундаментальная теория химически реагирующих систем потока . Редвуд-Сити, Калифорния: Addison/Wesley Pub. Co. ISBN 978-0-201-40777-8. OCLC  26785266.
  4. ^ Эмре, О.; Ках, Д.; Джей, Стефан; Тран, К.-Х.; Вельге, А.; де Шейзмартен, С.; Фокс, РО; Лоран, Ф.; Массо, М. (2015). «Методы моментов Эйлера для автомобильных распылителей» (PDF) . Распыление и распылители . 25 (3). Begell House: 189– 254. doi :10.1615/atomizspr.2015011204. ISSN  1044-5110.
  5. ^ Проберт, РП (1946). "XV. Влияние размера и распределения распыляемых частиц на сгорание капель масла". Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 37 (265). Informa UK Limited: 94– 105. doi : 10.1080/14786444608561330. ISSN  1941-5982.
  6. ^ Уильямс, ФА «Введение в аналитические модели высокочастотной неустойчивости горения». Восьмой симпозиум (международный) по горению. Уильямс и Уилкинс. 1962.
  7. ^ Танасава, Y. «О скорости сгорания группы топливных частиц, впрыскиваемых через вихревое сопло». Technology Reports of Tohoku University 18 (1954): 195–208.
  8. ^ ТАНАСАВА, Ясуси; ТЕСИМА, Тунео (1958). «К теории скорости горения брызг жидкого топлива». Бюллетень JSME . 1 (1): 36–41 . doi : 10.1299/jsme1958.1.36 . ISSN  1881-1426.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Williams_spray_equation&oldid=1267216147"