преобразование Вейля

В теоретической физике преобразование Вейля , названное в честь немецкого математика Германа Вейля , представляет собой локальное изменение масштаба метрического тензора :

$${\displaystyle g_{ab}\rightarrow e^{-2\omega (x)}g_{ab}}$$

которая производит другую метрику в том же конформном классе . Теория или выражение, инвариантные относительно этого преобразования, называются конформно инвариантными или, как говорят, обладают инвариантностью Вейля или симметрией Вейля . Симметрия Вейля является важной симметрией в конформной теории поля . Это, например, симметрия действия Полякова . Когда квантово-механические эффекты нарушают конформную инвариантность теории, говорят, что она проявляет конформную аномалию или аномалию Вейля .

Обычная связность Леви-Чивиты и связанные со спиновыми связностями не инвариантны относительно преобразований Вейля. Связности Вейля — это класс аффинных связностей, которые инвариантны, хотя ни одна связность Вейля не является индивидуально инвариантной относительно преобразований Вейля.

Величина имеет конформный вес , если при преобразовании Вейля она преобразуется посредством ${\displaystyle \varphi}$ ${\displaystyle к}$

${\displaystyle \varphi \to \varphi e^{k\omega}.}$

Таким образом, конформно взвешенные величины принадлежат определенным пучкам плотности ; см. также конформную размерность . Пусть будет связностью, связанной с Леви-Чивитой связностью . Введем связность, которая зависит также от исходной одинарной формы через${\displaystyle A_{\mu }}$${\displaystyle г}$${\displaystyle \partial _{\mu }\omega }$

${\displaystyle B_{\mu }=A_{\mu }+\partial _{\mu }\omega .}$

Тогда является ковариантным и имеет конформный вес .${\displaystyle D_{\mu }\varphi \equiv \partial _ {\mu } \varphi +kB_ {\mu }\varphi }$${\displaystyle к-1}$

Для преобразования

${\displaystyle g_{ab}=f(\phi (x)){\bar {g}}_{ab}}$

Мы можем вывести следующие формулы

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{ab}&={\frac {1}{f(\phi (x))}}{\bar {g}}^{ab}\\{\sqrt {-g}}&={\sqrt {-{\bar {g}}}}f^{D/2}\\\Гамма _{ab}^{c}&={\bar {\Gamma }}_{ab}^{c}+{\frac {f'}{2f}}\left(\delta _{b}^{c}\partial _{a}\phi +\delta _{a}^{c}\partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial ^{c}\phi \right)\equiv {\bar {\Gamma }}_{ab}^{c}+\gamma _{ab}^{c}\\R_{ab}&={\bar {R}}_{ab}+{\frac {f''ff^{\prime 2}}{2f^{2}}}\left((2-D)\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial ^{c}\phi \partial _{c}\phi \right)+{\frac {f'}{2f}}\left((2-D){\bar {\nabla }}_{a}\partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}{\bar {\Box }}\phi \right)+{\frac {1}{4}}{\frac {f^{\prime 2}}{f^{2}}}(D-2)\left(\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \right)\\R&={\frac {1}{f}}{\bar {R}}+{\frac {1-D}{f}}\left({\frac {f''ff^{\prime 2}}{f^{2}}}\partial ^{c}\phi \partial _{c}\phi +{\frac {f'}{f}}{\bar {\Box }}\phi \right)+{\frac {1}{4f}}{\frac {f^{\prime 2}}{f^{2}}}(D-2)(1-D)\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \end{aligned}}}$

Обратите внимание, что тензор Вейля инвариантен относительно масштабирования Вейля.

• Вейль, Герман (1993) [1921]. Raum, Zeit, Materie [ Пространство, Время, Материя ]. Лекции по общей теории относительности (на немецком языке). Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-56978-2.

Эта статья по теории относительности — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е

Эта статья по квантовой механике — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е

Эта статья о теоретической физике — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е

Эта статья по дифференциальной геометрии — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е