Корректно поставленная задача

В математике корректно поставленная задача — это задача, для которой выполняются следующие свойства: ^[a]

1. У проблемы есть решение
2. Решение уникально
3. Поведение решения непрерывно меняется в зависимости от начальных условий.

Примерами архетипических корректно поставленных задач являются задача Дирихле для уравнения Лапласа и уравнение теплопроводности с указанными начальными условиями. Их можно рассматривать как «естественные» задачи, поскольку существуют физические процессы, моделируемые этими задачами.

Задачи, которые не являются корректно поставленными в указанном выше смысле, называются некорректно поставленными . Простым примером является глобальная задача оптимизации, поскольку местоположение оптимумов, как правило, не является непрерывной функцией параметров, задающих цель, даже когда сама цель является гладкой функцией этих параметров. Обратные задачи часто являются некорректно поставленными; например, обратное уравнение теплопроводности, выводящее предыдущее распределение температуры из конечных данных, не является корректно поставленным, поскольку решение очень чувствительно к изменениям в конечных данных.

Континуальные модели часто должны быть дискретизированы для получения численного решения. Хотя решения могут быть непрерывными относительно начальных условий, они могут страдать от численной нестабильности при решении с конечной точностью или с ошибками в данных.

Даже если проблема хорошо поставлена, она все равно может быть плохо обусловленной , то есть небольшая ошибка в исходных данных может привести к гораздо большим ошибкам в ответах. Проблемы в нелинейных сложных системах (так называемых хаотических системах) дают хорошо известные примеры неустойчивости. Плохо обусловленная проблема обозначается большим числом условий .

Если задача поставлена ​​корректно, то у нее есть хорошие шансы на решение на компьютере с использованием устойчивого алгоритма . Если задача поставлена ​​некорректно, ее необходимо переформулировать для численной обработки. Обычно это включает включение дополнительных предположений, таких как гладкость решения. Этот процесс известен как регуляризация . ^[1] Регуляризация Тихонова является одной из наиболее часто используемых для регуляризации линейных некорректных задач.

Существование локальных решений часто является важной частью проблемы корректности и лежит в основе многих методов оценки, например, энергетического метода, представленного ниже.

На эту тему получено много результатов. Например, теорема Коши–Ковалевской для задач Коши с начальными значениями по сути утверждает, что если члены уравнения с частными производными все состоят из аналитических функций и выполняется определенное условие трансверсальности (гиперплоскость или, в более общем смысле, гиперповерхность, где задаются начальные данные, должна быть нехарактеристической по отношению к оператору с частными производными), то в определенных областях обязательно существуют решения, которые также являются аналитическими функциями. Это фундаментальный результат в изучении аналитических уравнений с частными производными. Удивительно, но теорема не выполняется в случае гладких функций; пример, открытый Гансом Леви в 1957 году, состоит из линейного уравнения с частными производными, коэффициенты которого являются гладкими (т. е. имеют производные всех порядков), но не аналитическими, для которых не существует решения. Таким образом, теорема Коши–Ковалевской обязательно ограничена в своей области аналитическими функциями.

Энергетический метод полезен для установления как единственности, так и непрерывности относительно начальных условий (т.е. он не устанавливает существование). Метод основан на выводе верхней границы функционала, подобного энергии, для данной задачи.

Пример : Рассмотрим уравнение диффузии на единичном интервале с однородными граничными условиями Дирихле и подходящими начальными данными (например, для которого ).${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(0)=f(1)=0}$

$${\displaystyle {\begin{align}u_{t}&=Du_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\u(x,0)&=f(x),\\u(0,t)&=0,\\u(1,t)&=0,\\\end{align}}}$$

Умножьте уравнение на и проинтегрируйте в пространстве на единичном интервале, чтобы получить${\displaystyle u_{t}=Du_{xx}}$${\displaystyle u}$

$${\displaystyle {\begin{align}&&\int _{0}^{1}uu_{t}dx&=D\int _{0}^{1}uu_{xx}dx\\\Longrightarrow &&\int _{0}^{1}{\frac {1}{2}}\partial _{t}u^{2}dx&=Duu_{x}{\Big |}_{0}^{1}-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\\\Longrightarrow &&{\frac {1}{2}}\partial _{t}\|u\|_{2}^{2}&=0-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\leq 0\end{align}}}$$

Это говорит нам, что ( p-норма ) не может расти со временем. Умножая на два и интегрируя по времени, от до , находим${\displaystyle \|u\|_{2}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle т}$

$${\displaystyle \|u(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq \|f(\cdot )\|_{2}^{2}}$$

Этот результат представляет собой оценку энергии для данной задачи.

Чтобы показать единственность решений, предположим, что есть два различных решения проблемы, назовем их и , каждое из которых удовлетворяет тем же исходным данным. После определения затем, через линейность уравнений, находим, что удовлетворяет${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w=u-v}$${\displaystyle w}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{t}&=Dw_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\w(x,0)&=0,\\w(0,t)&=0,\\w(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

Применение оценки энергии говорит нам, что подразумевает ( почти везде ).${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq 0}$${\displaystyle u=v}$

Аналогично, чтобы показать непрерывность относительно начальных условий, предположим, что и являются решениями, соответствующими различным начальным данным и . Рассматривая еще раз, находим, что удовлетворяет тем же уравнениям, что и выше, но с . Это приводит к оценке энергии , которая устанавливает непрерывность (т.е. поскольку и становятся ближе, измеряемой нормой их разности, то ).${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$${\displaystyle v(x,0)=g(x)}$${\displaystyle w=u-v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w(x,0)=f(x)-g(x)}$${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq D\|f(\cdot )-g(\cdot )\|_{2}^{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}\to 0}$

Принцип максимума является альтернативным подходом к установлению единственности и непрерывности решений относительно начальных условий для этого примера. Существование решений этой задачи может быть установлено с помощью рядов Фурье .

Если возможно обозначить решение задачи Коши , где A — линейный оператор, отображающий плотное линейное подпространство D(A) пространства X в X, причем , где — семейство линейных операторов на X , удовлетворяющее условию${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=Au,u(0)=u_{0}{\text{ (1)}}}$${\displaystyle u(t)=S(t)u_{0}}$${\displaystyle \{S(t);t\geq 0\}}$

• С(0)=Я
• S(a+b)=S(a)S(b)=S(b)S(a) для любых a,b≥0
• ${\displaystyle t\mapsto S(t)w}$непрерывен для каждого w из X
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}S(t)w=AS(t)w}$для каждого w в X

тогда (1) корректно поставлено.

Теорема Хилле-Йосиды устанавливает критерии для A , при которых такое существует.${\displaystyle \{S(t);t\geq 0\}}$

• Спектроскопия полного поглощения – пример обратной задачи или некорректной задачи в реальной жизненной ситуации, которая решается с помощью алгоритма максимизации ожидания.

• Адамар, Жак (1902). Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur означает телосложение . Бюллетень Принстонского университета. стр.  49–52 .
• Паркер, Сибил Б., ред. (1989) [1974]. Словарь научных и технических терминов McGraw-Hill (4-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 0-07-045270-9.
• Тихонов, АН; Арсенин, ВЯ (1977). Решения некорректно поставленных задач . Нью-Йорк: Winston. ISBN 0-470-99124-0.
• Штраус, Вальтер А. (2008). Уравнения с частными производными; Введение (2-е изд.). Hoboken: Wiley. ISBN 978-0470-05456-7.
• Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения с частными производными (PDF) . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0772-2.