ограничение Вейля

В математике ограничение скаляров ( также известное как « ограничение Вейля ») — это функтор , который для любого конечного расширения полей L/k и любого алгебраического многообразия X над L производит другое многообразие Res _{L / k} X , определенное над k . Это полезно для сведения вопросов о многообразиях над большими полями к вопросам о более сложных многообразиях над меньшими полями.

Пусть L/k — конечное расширение полей, а X — многообразие, определенное над L. Функтор из k - схем ^оп в множества определяется как${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X}$

${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X(S)=X(S\times _{k}L)}$

(В частности, k -рациональные точки являются L -рациональными точками X. ) Многообразие, представляющее этот функтор, называется ограничением скаляров и является единственным с точностью до единственного изоморфизма, если он существует.${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X}$

С точки зрения пучков множеств ограничение скаляров является просто проталкиванием вперед вдоль морфизма и является правым сопряженным к волокнистому произведению схем , поэтому приведенное выше определение можно перефразировать в гораздо более общей форме. В частности, можно заменить расширение полей любым морфизмом кольцевых топосов , а гипотезы относительно X можно ослабить, например, до стеков. Это достигается ценой меньшего контроля над поведением ограничения скаляров.${\displaystyle \operatorname {Spec} (L)\to \operatorname {Spec} (k)}$

Пусть будет морфизмом схем . Для -схемы , если контравариантный функтор${\displaystyle h:S'\to S}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Res} _{S'/S}(X):\mathbf {Sch/S} ^{op}\to \mathbf {Set} ,\quad T\mapsto \operatorname {Hom} _{S'}(T\times _{S}S',X)}$

представимо , то мы называем соответствующую -схему, которую мы также обозначаем через , ограничением Вейля относительно . ^[1]${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {Res} _{S'/S}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle ч}$

Где обозначает двойственную категорию схем над фиксированной схемой .${\displaystyle \mathbf {Sch/S} ^{op}}$${\displaystyle S}$

Для любого конечного расширения полей ограничение скаляров переводит квазипроективные многообразия в квазипроективные многообразия. Размерность полученного многообразия умножается на степень расширения.

При соответствующих гипотезах (например, плоских, собственных, конечно представленных) любой морфизм алгебраических пространств дает ограничение функтора скаляров, который переводит алгебраические стеки в алгебраические стеки, сохраняя такие свойства, как свойства Артина, Делиня-Мамфорда и представимость.${\displaystyle T\to S}$

Вот простые примеры:

1. Пусть L — конечное расширение k степени s . Тогда и является s -мерным аффинным пространством над Spec k .${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}(\operatorname {Spec} (L))=\operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}\mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{s}}$
2. Если X является аффинным L -многообразием, определяемым соотношением , то мы можем записать его как Spec , где ( ) — новые переменные, а ( ) — многочлены от , заданные путем взятия k -базиса L и установки и .$${\displaystyle X=\operatorname {Spec} L[x_{1},\dots ,x_{n}]/(f_{1},\dotsc ,f_{m});}$$${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X}$${\displaystyle k[y_{i,j}]/(g_{l,r})}$${\displaystyle y_{i,j}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n,1\leq j\leq s}$${\displaystyle g_{л,р}}$${\displaystyle 1\leq л\leq м,1\leq г\leq с}$${\displaystyle y_{i,j}}$${\displaystyle e_{1},\dotsc,e_{s}}$${\displaystyle x_{i}=y_{i,1}e_{1}+\dotsb +y_{i,s}e_{s}}$${\displaystyle f_{t}=g_{t,1}e_{1}+\dotsb +g_{t,s}e_{s}}$

Если схема является групповой схемой , то любое ограничение Вейля для нее также будет групповым. Это часто используется в теории чисел, например:

1. Тор, где обозначает мультипликативную группу, играет важную роль в теории Ходжа, поскольку таннакианская категория вещественных структур Ходжа эквивалентна категории представлений Вещественные точки имеют структуру группы Ли, изоморфную . См. группу Мамфорда–Тейта .$${\displaystyle \mathbb {S} :=\operatorname {Res} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\mathbb {G} _{m}}$$${\displaystyle \mathbb {G} _{м}}$${\displaystyle \mathbb {S} .}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$
2. Ограничение Вейля (коммутативного) группового многообразия снова является (коммутативным) групповым многообразием размерности, если L отделимо над k .${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}\mathbb {G} }$${\displaystyle \mathbb {G} }$${\displaystyle [L:k]\dim \mathbb {G} ,}$
3. Ограничение скаляров на абелевых многообразиях (например, эллиптических кривых ) даёт абелевы многообразия, если L сепарабельно над k . Джеймс Милн использовал это, чтобы свести гипотезу Бирча и Суиннертона-Дайера для абелевых многообразий над всеми числовыми полями к той же гипотезе над рациональными числами.
4. В криптографии эллиптических кривых атака спуска Вейля использует ограничение Вейля для преобразования задачи дискретного логарифмирования на эллиптической кривой над конечным полем расширения L/K в задачу дискретного логарифмирования на якобиевом многообразии гиперэллиптической кривой над базовым полем K, которую потенциально проще решить из-за меньшего размера K.

Ограничение скаляров аналогично преобразованию Гринберга, но не обобщает его, поскольку кольцо векторов Витта на коммутативной алгебре A в общем случае не является A -алгеброй.

Первоначальная ссылка — раздел 1.3 лекций Вейля 1959–1960 годов, опубликованных как:

• Андре Вайль. «Адели и алгебраические группы», Progress in Math. 23 , Биркхойзер 1982. Заметки лекций, прочитанных в 1959-1960 гг.

Другие ссылки:

• Зигфрид Босх, Вернер Люткебомерт, Мишель Рейно. «Модели Нерона», Springer-Verlag, Берлин, 1990.
• Джеймс С. Милн. «Об арифметике абелевых многообразий», Invent. Math. 17 (1972) 177-190.
• Мартин Олссон. «Hom-стеки и ограничение скаляров», Duke Math J., 134 (2006), 139–164. http://math.berkeley.edu/~molsson/homstackfinal.pdf
• Бьорн Пунен. "Рациональные точки на многообразиях", http://math.mit.edu/~poonen/papers/Qpoints.pdf
• Найджел Смарт , страница с библиографией по происхождению Вейля, https://homes.esat.kuleuven.be/~nsmart/weil_descent.html