кривая Уатта

В математике кривая Уатта — это трехкруговая плоская алгебраическая кривая шестой степени . Она образована двумя окружностями радиуса b с центрами, расположенными на расстоянии 2 a друг от друга (принимаем, что они находятся в точке (± a , 0)). Отрезок прямой длиной 2 c присоединяется к точке на каждой из окружностей, а середина отрезка прямой вычерчивает кривую Уатта, когда окружности частично вращаются вперед и назад или полностью вокруг своей оси. Она возникла в связи с пионерской работой Джеймса Уатта над паровым двигателем.

Уравнение кривой можно задать в полярных координатах как

${\displaystyle r^{2}=b^{2}-\left[a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}\right]^{2}.}$

Полярное уравнение для кривой можно вывести следующим образом: ^[1] Работая в комплексной плоскости , пусть центры окружностей будут в a и −a , а соединительный отрезок имеет концы в −a + be ^{i  λ} и a + be ^{i ρ} . Пусть угол наклона отрезка будет ψ с его серединой в re ^{i θ} . Тогда концы также будут заданы как re ^{i θ} ± ce ^{i ψ} . Приравнивая выражения для тех же точек друг к другу, получаем

${\displaystyle a+be^{i\rho}=re^{i\theta}+ce^{i\psi}.\,}$

${\displaystyle -a+be^{i\lambda}=re^{i\theta}-ce^{i\psi}\,}$

Сложите их и разделите на два, чтобы получить

${\displaystyle re^{i\theta}={\tfrac {b}{2}}(e^{i\rho}+e^{i\lambda})=b\cos({\tfrac {\rho -\lambda}{2}})e^{i{\tfrac {\rho +\lambda}{2}}}.}$

Сравнение радиусов и аргументов дает

${\displaystyle r=b\cos \alpha ,\ \theta ={\tfrac {\rho +\lambda }{2}}\ {\mbox{где}}\ \alpha ={\tfrac {\rho -\lambda }{2}}.}$

Аналогично, вычитание первых двух уравнений и деление на 2 дает

${\displaystyle ce^{i\psi }-a={\tfrac {b}{2}}(e^{i\rho }-e^{i\lambda})=ib\sin \alpha e^{i \тета }.}$

Писать

${\ displaystyle a = a \ cos \ theta \ e ^ {i \ theta } -ia \ sin \ theta \ e ^ {i \ theta }. \,}$

Затем

${\displaystyle ce^{i\psi }=ib\sin \alpha e^{i\theta}+a\cos \theta \ e^{i\theta} -ia\sin \theta \ e^{i\theta }=(a\cos \theta \ +i(b\sin \alpha -a\sin \theta ))e^{i\theta },}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}\cos ^{2}\theta +(b\sin \alpha -a\sin \theta )^{2},\,}$

${\displaystyle b\sin \alpha =a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }},\,}$

${\displaystyle r^{2}=b^{2}\cos ^{2}\alpha =b^{2}-b^{2}\sin ^{2}\alpha =b^{2}-\left[a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}\right]^{2}.,\,}$

Разложение полярного уравнения дает

${\displaystyle r^{2}=b^{2}-(a^{2}\sin ^{2}\theta \ +c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta \pm 2a\sin \theta {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}),\,}$

${\displaystyle r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2}+2a^{2}\sin ^{2}\theta =\pm 2a\sin \theta {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}),\,}$

${\displaystyle (r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}+4a^{2}(r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})\sin ^{2}\theta +4a^{4}\sin ^{4}\theta =4a^{2}\sin ^{2}\theta (c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta ),\,}$

${\displaystyle (r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}+4a^{2}(r^{2}-b^{2})\sin ^{2}\theta =0,\,}$

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0.\,}$

Положим d ² = a ² + b ² – c ^{2 ,} и это упростится до

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-d^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0.\,}$

Для построения требуется четырехугольник со сторонами 2 a , b , 2 c , b . Любая сторона должна быть меньше суммы оставшихся сторон, поэтому кривая пуста (по крайней мере в вещественной плоскости), если только a < b + c и c < b + a .

Кривая имеет точку пересечения в начале координат, если существует треугольник со сторонами a , b и c . Учитывая предыдущие условия, это означает, что кривая пересекает начало координат тогда и только тогда, когда b < a + c . Если b = a + c , то две ветви кривой встречаются в начале координат с общей вертикальной касательной, что делает ее четверной точкой.

При b < a + c форма кривой определяется относительной величиной b и d . Если d мнимое, то есть если a ² + b ² < c ^{2 ,} то кривая имеет форму восьмерки. Если d равно 0, то кривая представляет собой восьмерку с двумя ветвями кривой, имеющими общую горизонтальную касательную в начале координат. Если 0 < d < b, то кривая имеет две дополнительные двойные точки в ± d , и кривая пересекает себя в этих точках. Общая форма кривой в этом случае похожа на крендель. Если d = b, то a = c , и кривая распадается на окружность радиусом b и лемнискату Бута , кривую в форме восьмерки. Частным случаем этого является a = c , b =√2 c , что дает лемнискату Бернулли . Наконец, если d > b , то точки ± d по-прежнему являются решениями декартова уравнения кривой, но кривая не пересекает эти точки, и они являются acnodes . Кривая снова имеет форму восьмерки, хотя форма искажается, если d близка к b .

При b > a + c форма кривой определяется относительными размерами a и c . Если a < c, то кривая имеет вид двух петель, пересекающих друг друга в точке ± d . Если a = c , то кривая распадается на окружность радиусом b и овал Бута . Если a > c , то кривая вообще не пересекает ось x и состоит из двух сплющенных овалов. ^[2]

Когда кривая пересекает начало координат, начало координат является точкой перегиба и, следовательно, имеет контакт порядка 3 с касательной. Однако, если ( что имеет место, если треугольник со сторонами , и является прямоугольным треугольником), то касательная имеет контакт порядка 5 с касательной, другими словами, кривая является близким приближением прямой линии. Это основа для связи Уатта.${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

• Четырехзвенная связь
• связь Уатта

• Вайсштейн, Эрик В. «Кривая Уатта». MathWorld .
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Кривая Уатта», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
• Каталан, Э. (1885). «Сюр ла Курб де Ватт». Матезис . В : 154.
• Раттер, Джон В. (2000). Геометрия кривых. CRC Press. стр. 73 и далее. ISBN 1-58488-166-6.