Бета-отрицательное биномиальное распределение
Бета-отрицательный биномиальный
Параметры α > 0 {\displaystyle \альфа >0} shape ( real ) shape ( real ) — количество успехов до остановки эксперимента ( целое число , но может быть расширено до действительного числа )
β > 0 {\displaystyle \бета >0}
г > 0 {\displaystyle r>0}
Поддерживать к ∈ { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots \}}
ПМФ Б ( г + к , α + β ) Б ( г , α ) Г ( к + β ) к ! Г ( β ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {B} (r+k,\alpha +\beta )}{\mathrm {B} (r,\alpha )}}{\frac {\Gamma (k+\beta )}{k!\;\Gamma (\beta )}}}
Иметь в виду { r β α − 1 if   α > 1 ∞ otherwise   {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {r\beta }{\alpha -1}}&{\text{if}}\ \alpha >1\\\infty &{\text{otherwise}}\ \end{cases}}}
Дисперсия { r β ( r + α − 1 ) ( β + α − 1 ) ( α − 2 ) ( α − 1 ) 2 if   α > 2 ∞ otherwise   {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {r\beta (r+\alpha -1)(\beta +\alpha -1)}{(\alpha -2){(\alpha -1)}^{2}}}&{\text{if}}\ \alpha >2\\\infty &{\text{otherwise}}\ \end{cases}}}
Асимметрия { ( 2 r + α − 1 ) ( 2 β + α − 1 ) ( α − 3 ) r β ( r + α − 1 ) ( β + α − 1 ) α − 2 if   α > 3 ∞ otherwise   {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {(2r+\alpha -1)(2\beta +\alpha -1)}{(\alpha -3){\sqrt {\frac {r\beta (r+\alpha -1)(\beta +\alpha -1)}{\alpha -2}}}}}&{\text{if}}\ \alpha >3\\\infty &{\text{otherwise}}\ \end{cases}}}
МГФне существует
CF 2 F 1 ( β , r ; α + β + r ; e i t ) ( α ) ( r ) ( α + β ) ( r ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(\beta ,r;\alpha +\beta +r;e^{it}){\frac {(\alpha )^{(r)}}{(\alpha +\beta )^{(r)}}}\!} где — символ Похгаммера , — гипергеометрическая функция . ( x ) ( r ) = Γ ( x + r ) Γ ( x ) {\displaystyle (x)^{(r)}={\frac {\Gamma (x+r)}{\Gamma (x)}}} 2 F 1 {\displaystyle {}_{2}F_{1}}
ПГФ 2 F 1 ( β , r ; α + β + r ; z ) ( α ) ( r ) ( α + β ) ( r ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(\beta ,r;\alpha +\beta +r;z){\frac {(\alpha )^{(r)}}{(\alpha +\beta )^{(r)}}}}

В теории вероятностей бета -отрицательное биномиальное распределение — это распределение вероятностей дискретной случайной величины,  равное числу неудач, необходимых для получения успеха в последовательности независимых испытаний Бернулли . Вероятность успеха в каждом испытании остается постоянной в пределах любого данного эксперимента, но меняется в разных экспериментах в соответствии с бета-распределением . Таким образом, распределение является составным распределением вероятностей . X {\displaystyle X} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p}

Это распределение также называют как обратным распределением Маркова-Полиа , так и обобщенным распределением Варинга [1] или просто сокращенно распределением BNB . Смещенная форма распределения называется распределением бета-Паскаля . [1]

Если параметры бета-распределения равны и , и если α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta }

X ∣ p ∼ N B ( r , p ) , {\displaystyle X\mid p\sim \mathrm {NB} (r,p),}

где

p ∼ B ( α , β ) , {\displaystyle p\sim {\textrm {B}}(\alpha ,\beta ),}

тогда предельное распределение (т.е. апостериорное предсказательное распределение ) представляет собой бета-отрицательное биномиальное распределение: X {\displaystyle X}

X ∼ B N B ( r , α , β ) . {\displaystyle X\sim \mathrm {BNB} (r,\alpha ,\beta ).}

В приведенном выше примере — отрицательное биномиальное распределение , а — бета-распределение . N B ( r , p ) {\displaystyle \mathrm {NB} (r,p)} B ( α , β ) {\displaystyle {\textrm {B}}(\alpha ,\beta )}

Определение и вывод

Обозначая плотности отрицательного биномиального и бета-распределения соответственно, получаем PMF распределения BNB путем маргинализации: f X | p ( k | q ) , f p ( q | α , β ) {\displaystyle f_{X|p}(k|q),f_{p}(q|\alpha ,\beta )} f ( k | α , β , r ) {\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)}

f ( k | α , β , r ) = ∫ 0 1 f X | p ( k | r , q ) ⋅ f p ( q | α , β ) d q = ∫ 0 1 ( k + r − 1 k ) ( 1 − q ) k q r ⋅ q α − 1 ( 1 − q ) β − 1 B ( α , β ) d q = 1 B ( α , β ) ( k + r − 1 k ) ∫ 0 1 q α + r − 1 ( 1 − q ) β + k − 1 d q {\displaystyle {\begin{aligned}f(k|\alpha ,\beta ,r)\;=&\;\int _{0}^{1}f_{X|p}(k|r,q)\cdot f_{p}(q|\alpha ,\beta )\mathrm {d} q\\=&\;\int _{0}^{1}{\binom {k+r-1}{k}}(1-q)^{k}q^{r}\cdot {\frac {q^{\alpha -1}(1-q)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\mathrm {d} q\\=&\;{\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\binom {k+r-1}{k}}\int _{0}^{1}q^{\alpha +r-1}(1-q)^{\beta +k-1}\mathrm {d} q\end{aligned}}}

Отмечая, что интеграл оценивается как:

∫ 0 1 q α + r − 1 ( 1 − q ) β + k − 1 d q = Γ ( α + r ) Γ ( β + k ) Γ ( α + β + k + r ) {\displaystyle \int _{0}^{1}q^{\alpha +r-1}(1-q)^{\beta +k-1}\mathrm {d} q={\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)}{\Gamma (\alpha +\beta +k+r)}}}

мы можем прийти к следующим формулам путем относительно простых манипуляций.

Если — целое число, то PMF можно записать в терминах бета-функции : r {\displaystyle r}

f ( k | α , β , r ) = ( r + k − 1 k ) B ( α + r , β + k ) B ( α , β ) {\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}} .

В более общем виде PMF можно записать

f ( k | α , β , r ) = Γ ( r + k ) k ! Γ ( r ) B ( α + r , β + k ) B ( α , β ) {\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}

или

f ( k | α , β , r ) = B ( r + k , α + β ) B ( r , α ) Γ ( k + β ) k ! Γ ( β ) {\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\mathrm {B} (r+k,\alpha +\beta )}{\mathrm {B} (r,\alpha )}}{\frac {\Gamma (k+\beta )}{k!\;\Gamma (\beta )}}} .

PMF выражено с помощью гамма

Используя свойства бета -функции , PMF с целым числом можно переписать как: r {\displaystyle r}

f ( k | α , β , r ) = ( r + k − 1 k ) Γ ( α + r ) Γ ( β + k ) Γ ( α + β ) Γ ( α + r + β + k ) Γ ( α ) Γ ( β ) {\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +r+\beta +k)\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}} .

В более общем виде PMF можно записать как

f ( k | α , β , r ) = Γ ( r + k ) k ! Γ ( r ) Γ ( α + r ) Γ ( β + k ) Γ ( α + β ) Γ ( α + r + β + k ) Γ ( α ) Γ ( β ) {\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +r+\beta +k)\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}} .

PMF выражено восходящим символом Почаммера

PMF часто также представляется в виде символа Почаммера для целых чисел. r {\displaystyle r}

f ( k | α , β , r ) = r ( k ) α ( r ) β ( k ) k ! ( α + β ) ( r + k ) {\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {r^{(k)}\alpha ^{(r)}\beta ^{(k)}}{k!(\alpha +\beta )^{(r+k)}}}}

Характеристики

Факториальные моменты

k -й факториальный момент бета-отрицательной биномиальной случайной величины X определяется для и в этом случае равен k < α {\displaystyle k<\alpha }

E ⁡ [ ( X ) k ] = Γ ( r + k ) Γ ( r ) Γ ( β + k ) Γ ( β ) Γ ( α − k ) Γ ( α ) . {\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{k}{\bigr ]}={\frac {\Gamma (r+k)}{\Gamma (r)}}{\frac {\Gamma (\beta +k)}{\Gamma (\beta )}}{\frac {\Gamma (\alpha -k)}{\Gamma (\alpha )}}.}

Неидентифицируемый

Бета-отрицательный бином неидентифицируем , что можно легко увидеть, просто поменяв местами и в приведенной выше плотности или характеристической функции и отметив, что она не изменилась. Таким образом, оценка требует, чтобы ограничение было наложено на , или на оба. r {\displaystyle r} β {\displaystyle \beta } r {\displaystyle r} β {\displaystyle \beta }

Связь с другими дистрибутивами

Бета-отрицательное биномиальное распределение содержит бета-геометрическое распределение как частный случай, когда либо или . Поэтому оно может аппроксимировать геометрическое распределение произвольно хорошо. Оно также произвольно аппроксимирует отрицательное биномиальное распределение для больших . Поэтому оно может произвольно аппроксимировать распределение Пуассона для больших , и . r = 1 {\displaystyle r=1} β = 1 {\displaystyle \beta =1} α {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } r {\displaystyle r}

Тяжелый хвост

Используя приближение Стирлинга к бета-функции, можно легко показать, что для больших k {\displaystyle k}

f ( k | α , β , r ) ∼ Γ ( α + r ) Γ ( r ) B ( α , β ) k r − 1 ( β + k ) r + α {\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)\sim {\frac {\Gamma (\alpha +r)}{\Gamma (r)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {k^{r-1}}{(\beta +k)^{r+\alpha }}}}

что означает, что бета-отрицательное биномиальное распределение имеет тяжелый хвост и что моментов, меньших или равных , не существует. α {\displaystyle \alpha }

Бета-геометрическое распределение

Бета-геометрическое распределение является важным частным случаем бета-отрицательного биномиального распределения, имеющего место для . В этом случае pmf упрощается до r = 1 {\displaystyle r=1}

f ( k | α , β ) = B ( α + 1 , β + k ) B ( α , β ) {\displaystyle f(k|\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} (\alpha +1,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}} .

Это распределение используется в некоторых моделях Buy Till you Die (BTYD).

Далее, когда бета-геометрическое сводится к распределению Юла-Саймона . Однако более распространено определять распределение Юла-Саймона в терминах смещенной версии бета-геометрического. В частности, если то . β = 1 {\displaystyle \beta =1} X ∼ B G ( α , 1 ) {\displaystyle X\sim BG(\alpha ,1)} X + 1 ∼ Y S ( α ) {\displaystyle X+1\sim YS(\alpha )}

Бета-отрицательный бином как модель урны Пойя

В случае, когда 3 параметра и являются положительными целыми числами, бета-отрицательный бином также может быть мотивирован моделью урны - или, более конкретно, базовой моделью урны Пойа . Рассмотрим урну, изначально содержащую красные шары (цвет остановки) и синие шары. На каждом шаге модели шар вытаскивается из урны случайным образом и заменяется вместе с одним дополнительным шаром того же цвета. Процесс повторяется снова и снова, пока не будут вытащены красные шары. Случайная величина наблюдаемых извлечений синих шаров распределяется в соответствии с . Обратите внимание, что в конце эксперимента урна всегда содержит фиксированное количество красных шаров, в то время как содержит случайное количество синих шаров. r , α {\displaystyle r,\alpha } β {\displaystyle \beta } α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } r {\displaystyle r} X {\displaystyle X} B N B ( r , α , β ) {\displaystyle \mathrm {BNB} (r,\alpha ,\beta )} r + α {\displaystyle r+\alpha } X + β {\displaystyle X+\beta }

По свойству неидентифицируемости можно эквивалентно сгенерировать урну, изначально содержащую красные шары (цвет остановки) и синие шары, и останавливающуюся при обнаружении красных шаров. X {\displaystyle X} α {\displaystyle \alpha } r {\displaystyle r} β {\displaystyle \beta }


Смотрите также

Примечания

  1. ^ ab Джонсон и др. (1993)

Ссылки

  • Джонсон, Н. Л.; Коц, С.; Кемп, А. В. (1993) Одномерные дискретные распределения , 2-е издание, Wiley ISBN  0-471-54897-9 (Раздел 6.2.3)
  • Кемп, CD; Кемп, AW (1956) «Обобщенные гипергеометрические распределения» , Журнал Королевского статистического общества , Серия B, 18, 202–211
  • Ван, Чжаолян (2011) «Одно смешанное отрицательное биномиальное распределение с применением», Журнал статистического планирования и вывода , 141 (3), 1153-1160 doi :10.1016/j.jspi.2010.09.020
  • Интерактивная графика: Одномерные распределительные соотношения
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Beta_negative_binomial_distribution&oldid=1255559472"