критерий текучести фон Мизеса

Часть серии статей о
Механика сплошной среды
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}$ Законы диффузии Фика
Законы Консервации Масса Импульс Энергия Неравенства Клаузиус–Дюгем (энтропия)
Механика твёрдого тела Деформация Эластичность линейный Plasticity Hooke's law Stress Strain Finite strain Infinitesimal strain Compatibility Bending Contact mechanics frictional Material failure theory Fracture mechanics
Fluid mechanics Fluids Statics · Dynamics Archimedes' principle · Bernoulli's principle Navier–Stokes equations Poiseuille equation · Pascal's law Viscosity (Newtonian · non-Newtonian) Buoyancy · Mixing · Pressure Liquids Adhesion Capillary action Chromatography Cohesion (chemistry) Surface tension Gases Atmosphere Boyle's law Charles's law Combined gas law Fick's law Gay-Lussac's law Graham's law Plasma
Rheology Viscoelasticity Rheometry Rheometer Smart fluids Electrorheological Magnetorheological Ferrofluids
Scientists Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Fick Gay-Lussac Graham Hooke Newton Navier Noll Pascal Stokes Truesdell
v t e

В механике сплошной среды критерий максимальной энергии искажения (также критерий текучести фон Мизеса ^[1] ) утверждает, что текучесть пластичного материала начинается, когда второй инвариант девиаторного напряжения достигает критического значения. ^[2] Это часть теории пластичности , которая в основном применяется к пластичным материалам, таким как некоторые металлы . До текучести можно предположить, что реакция материала имеет линейно-упругое , нелинейно-упругое или вязкоупругое поведение. ${\displaystyle J_{2}}$

В материаловедении и инженерии критерий текучести по Мизесу также формулируется в терминах напряжения по Мизесу или эквивалентного растягивающего напряжения , . Это скалярное значение напряжения, которое можно вычислить из тензора напряжений Коши . В этом случае говорят, что материал начинает течь, когда напряжение по Мизесу достигает значения, известного как предел текучести , . Напряжение по Мизесу используется для прогнозирования текучести материалов при сложной нагрузке по результатам одноосных испытаний на растяжение . Напряжение по Мизесу удовлетворяет свойству, при котором два напряженных состояния с одинаковой энергией искажения имеют одинаковое напряжение по Мизесу.${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$

Поскольку критерий текучести фон Мизеса не зависит от первого инварианта напряжения , он применим для анализа пластической деформации пластичных материалов, таких как металлы, поскольку начало текучести для этих материалов не зависит от гидростатической составляющей тензора напряжений .${\displaystyle I_{1}}$

Хотя считалось, что он был сформулирован Джеймсом Клерком Максвеллом в 1865 году, Максвелл описал только общие условия в письме Уильяму Томсону (лорду Кельвину). ^[3] Ричард Эдлер фон Мизес строго сформулировал его в 1913 году. ^{[2] [4]} Титус Максимилиан Хубер (1904) в статье, написанной на польском языке, в некоторой степени предвосхитил этот критерий, правильно полагаясь на энергию деформации искажения, а не на полную энергию деформации, как его предшественники. ^{[5] [6] [7]} Генрих Генки сформулировал тот же критерий, что и фон Мизес, независимо в 1924 году. ^[8] По вышеуказанным причинам этот критерий также называют «теорией Максвелла–Хубера–Хенки–фон Мизеса».

Математически критерий текучести фон Мизеса выражается как:

${\displaystyle J_{2}=k^{2}\,\!}$

Здесь предел текучести материала при чистом сдвиге. Как показано далее в этой статье, в начале текучести величина предела текучести при сдвиге при чистом сдвиге в √3 раза меньше предела текучести при растяжении в случае простого растяжения. Таким образом, имеем:${\displaystyle k}$

${\displaystyle k={\frac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}}$

где — предел текучести материала при растяжении. Если мы установим напряжение по Мизесу равным пределу текучести и объединим приведенные выше уравнения, критерий текучести по Мизесу запишется как:${\displaystyle \sigma _{y}}$

${\displaystyle \sigma _{v}=\sigma _{y}={\sqrt {3J_{2}}}}$

или

${\displaystyle \sigma _{v}^{2}=3J_{2}=3k^{2}}$

Заменяя компонентами тензора напряжений Коши , получаем${\displaystyle J_{2}}$

${\displaystyle \sigma _{\text{v}}^{2}={\frac {1}{2}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6\left(\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}+\sigma _{12}^{2}\right)\right]={\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}}$,

где называется девиаторным напряжением. Это уравнение определяет поверхность текучести как круговой цилиндр (см. рисунок), кривая текучести которого, или пересечение с девиаторной плоскостью, представляет собой окружность с радиусом , или . Это подразумевает, что условие текучести не зависит от гидростатических напряжений.${\displaystyle s}$${\displaystyle {\sqrt {2}}k}$${\textstyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}\sigma _{y}}$

В случае одноосного напряжения или простого растяжения критерий фон Мизеса просто сводится к${\displaystyle \sigma _{1}\neq 0,\sigma _{3}=\sigma _{2}=0}$

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{\text{y}}\,\!}$,

Это означает, что материал начинает течь, когда достигает предела текучести материала , в соответствии с определением предела текучести при растяжении (или сжатии).${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$

Эквивалентное растягивающее напряжение или эквивалентное напряжение фон Мизеса используется для прогнозирования текучести материалов в условиях многоосной нагрузки с использованием результатов простых одноосных испытаний на растяжение. Таким образом, мы определяем${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\text{v}}&={\sqrt {3J_{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+\left(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\right)}{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}}}\end{aligned}}\,\!}$

где — компоненты тензора девиатора напряжений :${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}\right)}{3}}\mathbf {I} \,\!}$.

В этом случае текучесть происходит, когда эквивалентное напряжение, , достигает предела текучести материала при простом растяжении, . Например, напряженное состояние стальной балки при сжатии отличается от напряженного состояния стальной оси при кручении, даже если оба образца сделаны из одного и того же материала. С учетом тензора напряжений, который полностью описывает напряженное состояние, эта разница проявляется в шести степенях свободы , поскольку тензор напряжений имеет шесть независимых компонент. Поэтому трудно сказать, какой из двух образцов находится ближе к пределу текучести или даже достиг его. Однако с помощью критерия текучести по Мизесу, который зависит исключительно от значения скалярного напряжения по Мизесу, т. е. одной степени свободы, это сравнение становится простым: большее значение по Мизесу означает, что материал находится ближе к пределу текучести.${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$

В случае чистого касательного напряжения , , тогда как для всех остальных , критерий фон Мизеса становится следующим:${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}\neq 0}$${\displaystyle \sigma _{ij}=0}$

${\displaystyle \sigma _{12}=k={\frac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}\,\!}$.

Это означает, что в начале текучести величина касательного напряжения при чистом сдвиге в раз меньше, чем предел текучести при простом растяжении. Критерий текучести фон Мизеса для чистого касательного напряжения, выраженный в главных напряжениях, равен${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

${\displaystyle (\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{2}=2\sigma _{y}^{2}\,\!}$

В случае главного плоского напряжения и критерий фон Мизеса принимает вид:${\displaystyle \sigma _{3}=0}$${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{23}=\sigma _{31}=0}$

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}-\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}^{2}=3k^{2}=\sigma _{y}^{2}\,\!}$

Это уравнение представляет собой эллипс на плоскости .${\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{2}}$

Состояние стресса	Граничные условия	Уравнения фон Мизеса
Общий	Никаких ограничений	${\displaystyle \sigma _{\text{v}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}\right]+3\left(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\right)}}}$
Главные напряжения	${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{31}=\sigma _{23}=0\!}$	${\displaystyle \sigma _{\text{v}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}}$
Общее плоское напряжение	${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{3}&=0\!\\\sigma _{31}&=\sigma _{23}=0\!\end{aligned}}}$	${\displaystyle \sigma _{\text{v}}={\sqrt {\sigma _{11}^{2}-\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}^{2}+3\sigma _{12}^{2}}}\!}$
Напряжение в главной плоскости	${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{3}&=0\!\\\sigma _{12}&=\sigma _{31}=\sigma _{23}=0\!\end{aligned}}}$	${\displaystyle \sigma _{\text{v}}={\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}\sigma _{2}}}\!}$
Чистый сдвиг	${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}&=\sigma _{2}=\sigma _{3}=0\!\\\sigma _{31}&=\sigma _{23}=0\!\end{aligned}}}$	${\displaystyle \sigma _{\text{v}}={\sqrt {3}}|\sigma _{12}|\!}$
Одноосный	${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{2}&=\sigma _{3}=0\!\\\sigma _{12}&=\sigma _{31}=\sigma _{23}=0\!\end{aligned}}}$	${\displaystyle \sigma _{\text{v}}=\sigma _{1}\!}$

Хенки (1924) предложил физическую интерпретацию критерия фон Мизеса, предполагая, что текучесть начинается, когда упругая энергия искажения достигает критического значения. ^[6] По этой причине критерий фон Мизеса также известен как критерий максимальной энергии деформации искажения. Это происходит из соотношения между и упругой энергией деформации искажения :${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle W_{\text{D}}}$

${\displaystyle W_{\text{D}}={\frac {J_{2}}{2G}}\,\!}$с модулем упругого сдвига .${\displaystyle G={\frac {E}{2(1+\nu )}}\,\!}$

В 1937 году ^[9] Арпад Л. Надаи предположил, что текучесть начинается, когда октаэдрическое напряжение сдвига достигает критического значения, т. е. октаэдрического напряжения сдвига материала при пределе текучести при простом растяжении. В этом случае критерий текучести фон Мизеса также известен как критерий максимального октаэдрического напряжения сдвига ввиду прямой пропорциональности, которая существует между и октаэдрическим напряжением сдвига, которое по определению равно${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle \tau _{\text{oct}}}$

${\displaystyle \tau _{\text{oct}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}J_{2}}}\,\!}$

таким образом, мы имеем

${\displaystyle \tau _{\text{oct}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}\sigma _{\text{y}}\,\!}$

Плотность энергии деформации состоит из двух компонент - объемной или диалистической и дисторсионной. Объемная компонента отвечает за изменение объема без изменения формы. Дисторсионная компонента отвечает за деформацию сдвига или изменение формы.

Как показано в приведенных выше уравнениях, использование критерия фон Мизеса в качестве критерия текучести применимо только тогда, когда следующие свойства материала являются изотропными, а отношение предела текучести при сдвиге к пределу текучести при растяжении имеет следующее значение: ^[10]

${\displaystyle {\frac {F_{sy}}{F_{ty}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 0.577\!}$

Поскольку ни один материал не будет иметь это соотношение точно, на практике необходимо использовать инженерное суждение, чтобы решить, какая теория разрушения подходит для данного материала. В качестве альтернативы, для использования теории Треска, то же самое соотношение определяется как 1/2.

Запас прочности по доходности записывается как

${\displaystyle MS_{\text{yld}}={\frac {F_{y}}{\sigma _{\text{v}}}}-1}$