Эквивалентный радиус

В прикладных науках эквивалентный радиус (или средний радиус ) — это радиус круга или сферы с тем же периметром, площадью или объемом, что и некруглый или несферический объект. Эквивалентный диаметр (или средний диаметр ) ( ) в два раза больше эквивалентного радиуса.${\displaystyle D}$

Периметр круга радиусом R равен . Зная периметр некруглого объекта P , можно вычислить его эквивалентный периметру радиус , установив${\displaystyle 2\пи R}$

${\displaystyle P=2\пи R_{\text{eq}}}$

или, альтернативно:

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\frac {P}{2\pi }}}$

Например, квадрат со стороной L имеет периметр . Приравнивая этот периметр к периметру круга, получаем, что${\displaystyle 4L}$

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\frac {2L}{\pi }}\approx 0.6366L}$

Приложения:

• Размер шляпы в США — это окружность головы, измеренная в дюймах, деленная на число пи и округленная до ближайшей 1/8 дюйма. Это соответствует среднему диаметру 1D. ^[1]
• Диаметр на высоте груди — это окружность ствола дерева , измеренная на высоте 4,5 фута, деленная на число пи. Это соответствует среднему диаметру 1D. Его можно измерить непосредственно с помощью обхватной ленты. ^[2]

Площадь круга радиусом R равна . Зная площадь некруглого объекта A , можно вычислить его эквивалентный радиус площади , установив${\displaystyle \пи R^{2}}$

${\displaystyle A=\pi R_{\text{eq}}^{2}}$

или, альтернативно:

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}}$

Часто рассматриваемая площадь представляет собой площадь поперечного сечения .

Например, квадрат со стороной L имеет площадь . Приравнивая эту площадь к площади круга, получаем, что${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt {\frac {1}{\pi }}}L\approx 0.3183L}$

Аналогично, эллипс с большой полуосью и малой полуосью имеет средний радиус .${\displaystyle а}$ ${\displaystyle б}$${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt {a\cdot b}}}$

Для круга, где , это упрощается до .${\displaystyle а=б}$${\displaystyle R_{\text{eq}}=a}$

Приложения:

• Гидравлический диаметр определяется аналогично как 4-кратная площадь поперечного сечения трубы A , деленная на ее «смоченный» периметр P. Для круглой трубы радиусом R при полном потоке это

${\displaystyle D_{\text{H}}={\frac {4\pi R^{2}}{2\pi R}}=2R}$

как и следовало ожидать. Это эквивалентно приведенному выше определению 2D среднего диаметра. Однако по историческим причинам гидравлический радиус определяется как площадь поперечного сечения трубы A , деленная на ее смоченный периметр P , что приводит к , а гидравлический радиус составляет половину 2D среднего радиуса. ^[3]${\displaystyle D_{\text{H}}=4R_{\text{H}}}$

• В классификации агрегатов эквивалентный диаметр — это «диаметр круга с равной площадью сечения агрегата», который рассчитывается по формуле . Он используется во многих программах цифровой обработки изображений. ^[4]${\displaystyle D=2{\sqrt {\frac {A}{\pi }}}}$

Объем сферы радиусом R равен . Зная объем несферического объекта V , можно вычислить его эквивалентный радиус объема , установив${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi R^{3}}$

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi R_{\text{eq}}^{3}}$

или, альтернативно:

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt[{3}]{\frac {3V}{4\pi }}}}$

Например, куб со стороной L имеет объем . Приравнивая этот объем к объему сферы, получаем, что${\displaystyle L^{3}}$

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt[{3}]{\frac {3}{4\pi }}}L\approx 0.6204L}$

Аналогично, трехосный эллипсоид с осями , и имеет средний радиус . ^[5] Формула для эллипсоида вращения является частным случаем, когда . Аналогично, сплющенный сфероид или эллипсоид вращения с осями и имеет средний радиус . ^[6] Для сферы, где , это упрощается до .${\displaystyle а}$${\displaystyle б}$${\displaystyle с}$${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt[{3}]{a\cdot b\cdot c}}}$${\displaystyle а=б}$${\displaystyle а}$${\displaystyle с}$${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt[{3}]{a^{2}\cdot c}}}$${\displaystyle а=б=с}$${\displaystyle R_{\text{eq}}=a}$

Приложения:

• Для планеты Земля , которую можно аппроксимировать как сплющенный сфероид с радиусами6 378,1 км и6 356 .8 км , 3D средний радиус . ^[6]${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{6378,1^{2}\cdot 6356,8}}=6371,0{\text{ км}}}$

Площадь поверхности сферы радиусом R равна . Зная площадь поверхности несферического объекта A , можно вычислить радиус, эквивалентный его площади поверхности, установив ${\displaystyle 4\пи R^{2}}$

${\displaystyle 4\пи R_{\text{eq}}^{2}=A}$

или эквивалентно

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt {\frac {A}{4\pi }}}}$

Например, куб длины L имеет площадь поверхности . Следовательно, куб имеет радиус, эквивалентный площади поверхности${\displaystyle 6L^{2}}$

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt {\frac {6L^{2}}{4\pi }}}=0.6910L}$

Соприкасающаяся окружность и соприкасающаяся сфера определяют радиусы кривизны , эквивалентные радиусам в конкретной точке касания для плоских фигур и объемных фигур соответственно.

• Эквивалентный радиус антенны
• Эффективный радиус падения облаков
• Кубическое среднее
• Земной эллипсоид
• Радиус Земли
• Эффективный радиус галактики
• Геоид
• Геометрическое среднее
• Полудиаметр