Виртуальная оценка

В теории аукционов , в частности, в разработке байесовско-оптимальных механизмов , виртуальная оценка агента — это функция, которая измеряет излишек, который можно извлечь из этого агента.

Типичное применение — продавец, который хочет продать товар потенциальному покупателю и хочет выбрать оптимальную цену. Оптимальная цена зависит от оценки покупателем товара, . Продавец не знает точно, но он предполагает, что — случайная величина с некоторой кумулятивной функцией распределения и функцией распределения вероятностей . ${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$ ${\displaystyle F(v)}$ ${\displaystyle f(v):=F'(v)}$

Виртуальная оценка агента определяется как:

${\displaystyle r(v):=v- {\frac {1-F(v)}{f(v)}}}$

Ключевая теорема Майерсона ^[1] гласит:

Ожидаемая прибыль любого правдивого механизма равна его ожидаемому виртуальному излишку.

В случае одного покупателя это означает, что цена должна определяться в соответствии с уравнением:${\displaystyle p}$

${\displaystyle r(p)=0}$

Это гарантирует, что покупатель купит товар, если и только если его виртуальная оценка слабоположительна, поэтому продавец будет иметь слабоположительную ожидаемую прибыль.

Это в точности соответствует оптимальной цене продажи — цене, которая максимизирует ожидаемую величину прибыли продавца, учитывая распределение оценок:

${\displaystyle p=\operatorname {argmax} _{v}v\cdot (1-F(v))}$

Виртуальные оценки могут использоваться для построения байесовско-оптимальных механизмов также в случае наличия нескольких покупателей или различных типов товаров. ^[2]

1. Оценка покупателя имеет непрерывное равномерное распределение в . Итак:${\displaystyle [0,1]}$

• ${\displaystyle F(v)=v{\text{ в }}[0,1]}$
• ${\displaystyle f(v)=1{\text{ в }}[0,1]}$
• ${\displaystyle r(v)=2v-1{\text{ в }}[0,1]}$
• ${\displaystyle r^{-1}(0)=1/2}$, поэтому оптимальная цена за единицу товара составляет 1/2.

2. Оценка покупателя имеет нормальное распределение со средним значением 0 и стандартным отклонением 1. монотонно увеличивается и пересекает ось x примерно через 0,75, поэтому это оптимальная цена. Точка пересечения смещается вправо, когда стандартное отклонение больше. ^[3]${\displaystyle w(v)}$

Функция распределения вероятностей называется регулярной , если ее функция виртуальной оценки слабо возрастает. Регулярность важна, поскольку она подразумевает, что виртуальный излишек может быть максимизирован истинным механизмом .

Достаточным условием регулярности является монотонность интенсивности риска, что означает, что следующая функция является слабовозрастающей:

${\displaystyle r(v):={\frac {f(v)}{1-F(v)}}}$

Монотонная интенсивность риска подразумевает регулярность, но обратное неверно.

Доказательство простое: монотонная ставка риска подразумевает слабое возрастание в , и, следовательно, виртуальная оценка строго возрастает в .${\displaystyle -{\frac {1}{r(v)}}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v-{\frac {1}{r(v)}}}$${\displaystyle v}$

• Майерсон гладильная
• Алгоритмическое ценообразование